Основы теории цепей. Часть 1

Найти: мгновенное значение тока i в неразветвленной части цепи. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Решение

1. Найдем комплекс тока в ветви с активным сопротивлением:

2. Определим комплексные сопротивления ветвей с реактивными элементами:

X L = jωL = j103 1 10−3 = j1 Ом;

CωC 1000 500 10−6 = − j2 Ом.

3.Найдем напряжение на входе цепи (оно является одинаковым для всех параллельно включенных ветвей):jj

U& = RI& =1 1 = 1 В. 2 2

4. Подсчитаем токи в ветвях с реактивными элементами:

5. Найдем комплекс тока в общей ветви по первому закону Кирхгофа:

6. Мгновенное значение тока в общей ветви:

i(t) = 1,12 2 sin(1000t − 26,6°) =1,12sin(1000t − 26,6°) А. 2

121

7. Векторная диаграмма (рис. 3.32 и 3.33).

Построение векторной диаграммы параллельного соединения удобнее начинать с напряжения.

При построении токов параллельных ветвей удобно каждый последующий ток строить из конца предыдущего (см. рис. 3.33).

Первые два пункта решения осуществляются независимо от выбранного расчетного метода.

1.Зададим положительные направления токов в ветвях.

2.Заменим мгновенные значения ЭДС, токов и сопротивлений их комплексными значениями (рис. 3.35):

122

Z 3 = R3 =10 Ом.

Метод узловых потенциалов

В цепи (см. рис. 3.35) два узла, поэтому используем метод двух узлов.

3. Выбираем узел 0 опорным (его комплексный потенциал принимаем равным нулю). Система уравнений для узловых потенциалов вырождается в одно уравнение с одним неизвестным потенциалом узла 1:

Y 11ϕ&1 = J&11 , откуда ϕ&1 = J&11 .

Y 11

4. Определим коэффициенты уравнения и потенциал узла 1:

123

Метод контурных токов

3.Выбираем независимые контуры и задаем направление контурных токов.

4.Записываем уравнения для контурных токов и подготовим численные значения коэффициентов:

где

Z11 = Z1 + Z 2 = 5 − j15 Ом; Z 22 = Z 2 + Z 3 =15 − j5 Ом;

Z12 = Z 21 = −Z 2 = −5 + j5 Ом;

E&11 = E&1 = 20 В; E&22 = −E&2 = −20 В.

5. Результат решения системы уравнений:

I&11 = j1 А; I&22 = −1 А.

6. Токи в ветвях:

I&1 = I&11 = j1 А; I&2 = I&11 − I&22 =1 + j = 2e j 45° А; I&3 = −I&22 =1 А.

7. Для проверки правильности решения составим уравнение баланса мощности. Комплекс полной мощности источника питания определяется как произведение комплекса ЭДС источника на сопряженный комплекс тока источника, причем при совпадении направлений ЭДС и тока это произведение берется со знаком «плюс», при несовпадении – со знаком «минус».

S%ист = E&1 I*1 + E&3 I*3 = 20(− j1) + 20 1 = 20 − j20 ВА; Рист = 20 Вт; Qист = –20 вар.

124

Комплексная мощность потребителей вычисляется как произведение комплексного сопротивления и квадрата действующего значения тока (модуля комплекса тока):

= 20 − j20 В·А;

Рист = 20 Вт; Qист = – 20 вар.

Как видно, баланс мощностей выполняется, что свидетельствует о правильности расчета.

8. Построим векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений. На схеме (рис. 3.36) обозначим точки, в которых изменяется потенциал, и рассчитаем значения этих потенциалов по следующим формулам:

ϕ&b = 0 В;

ϕ&α = ϕ&b − I&1 (− jX&C1 ) = I&1 jX&C1 = j j10 = −10 В;

125

проверка выполнения II закона Кирхгофа:

Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений представлены на рис 3.37.

Вопросы и упражнения для самоконтроля

1. Заменить пассивный двухполюсник (рис. 3.38) эквивалентным сопротивлением Zэкв , если R = XL = XC =

= 1 Ом. Какой характер имеет цепь по отношению к входным зажимам? Изобразить эквивалентный треугольник сопротивления.

2. Дана цепь переменного си-

что активная мощность данной цепи Р = 540 Вт, коэффициент мощности cos ϕ = 0,5. Определить:

1) показания амперметра;

2) сопротивления R и XL пассивных элементов цепи;

3) какое активное сопротивление R необходимо подключить последовательно к данной идеальной катушке индуктивности L для того, чтобы при увеличениичастоты питающего напря-

126

жения в 1,2 раза показание амперметра осталось неизменным при том жедействующем значении входного напряжения?

3. Известно, что в цепи (рис. 3.40) при R = XL = 10 Ом и ЭДС источника e(t) =100sin(ωt +45o ) В напряжение на источнике тока u j (t) =100sin(ωt +45o) В. Определить мгновенное значение заданно-

го тока j(t) источника тока.

4. В цепи (рис. 3.41)

E&1 = 20 2e j 45o В, E&2 = 20 В, R1 = = R2 = R3 = 10 Ом. Чему должны быть равны XL, XC, I&1 и I&2 , если известно, что I&3 = 0, мощ-

ность тепловых потерь составляет 40 Вт, а реактивная мощность цепи равна 0.

5. Даны показания измерительных приборов в цепи переменного синусоидаль-

последовательной цепью и рассчитать параметры Rэкв и Хэкв. Чему равно действующее значение тока в преобразованной цепи при неизменном входном напряжении?

6. Определить частоту работы цепи (рис. 3.43), при которой показания вольтметра V1 больше показания вольтметра V2 в два раза.

127

3.6. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №2

РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ С ИСТОЧНИКАМИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

Задание

1.По заданному номеру варианта изобразить цепь, подлежащую расчету, выписать значения параметров элементов.

2.Записать в общем виде систему уравнений Кирхгофа для полученной цепи.

3.Рассчитать токи во всех ветвях и напряжение на источнике тока методом контурных токов.

4.Составить баланс активных и реактивных мощностей.

5.Записать мгновенные значения токов ветвей и напряжение на источнике тока.

6.Записатьрешениеметодомузловыхпотенциаловвобщемвиде.

7.Рассчитать ток указанной ветви методом эквивалентного генератора.

8.Найти ток указанной ветви методом наложения в общем виде.

9.Определить потенциалы всех точек цепи и построить на комплексной плоскости векторную топографическую диаграмму напряжений и токов.

Выбор варианта цепи

1.Граф цепи, подлежащей расчету, выбирать в соответствии

срис. 2.27. Расположение источников напряжения и тока, а также пассивных элементов в ветвях выбирать с помощью табл. 3.1. Направление действия источников произвольное.

2. Численные значения параметров источников напряжения и тока выбирать с помощью табл. 3.2. Частота питающего напряжения и тока f = 50 Гц.

3. Численные значения параметров пассивных элементов определяются по формулам:

128

где N – номер группы, значения коэффициентов R0, L0, C0 заданы в табл. 3.3, а каждый из дополнительных коэффициентов AR, AL, AC, имея соответствующую размерность (Ом, мГн, мкФ), равен сумме цифр номера варианта.

129

Таблица 3 . 2

Пример расчета

Задание

Рассчитать цепь, изображенную на рис. 3.44, в которой

E& = 150e j 30o В; J& = 3e j 45o А; f = 50 Гц.

Параметры пассивных элементов:

R2 = R4 = R6 = 38 Oм; R5 = 66 Oм;

L3 = 176 мГн; XL5 = 2πfL = 55,292 Ом;

C4 = 136 мкФ; XC4 = 1/(2πfC) = 23,405 Ом.

Подлежащаярасчетусхемаимеетвид, представленныйнарис. 3.44 Число узлов n = 4. Число независимых контуров p = 3.

130