тельно соответствующих фазных напряжений на угол ϕ. Линейные напряжения опережают фазные напряжения на 30° (U&ab →U&a ,
U&bc →U&b , U&ca → U&c ).
2. Переключатели П1 и П2 разомкнуты (режим холостого хода или обрыв фазы А). При этом схема из трехфазной цепи преобразуется в однофазную с напряжением U&bc на сопротивлениях Z b + Z c = 2Z
(рис. 7.14). Потенциал точки О1 становится равным U&BC . 2
Векторные диаграммы представлены на рис. 7.15.
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
I |
|
|
& |
O |
U&OO |
|
|
|
1 |
|
|
|
U с |
|
|
O |
|
|
U& |
с |
1 |
b |
|
|
|
|
b |
|
|
c |
|
O1 & |
b |
|
|
|
|
|
|
Ubc |
|
|
|
|
Ubc |
|
|
|
|
|
|
I& |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.14 |
|
|
|
Рис. 7.15 |
В сопротивлениях Z b |
и Z c ток |
|
|
|
|
|
|
|
& |
& |
|
− j120o |
|
|
|
I&b = I&c |
= I& = Ubc = Uabe |
|
. |
|
|
|
2Z |
2Z |
|
|
I |
фb |
= I |
фc |
= |
Uл |
; U |
=U |
ф |
sin 30o = 0,5U |
; |
|
|
|
|
2Z |
OO1 |
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UaO1 = 3UOO1 =1,5Uф.
Таким образом, фазный ток и фазное напряжение неповрежденных фаз уменьшились в 2
3 ≈1,15 раза.
3. Переключатели П1 и П2 замкнуты (режим короткого замыкания фазы А). Потенциал точки О1 принимает значение потенциала точки a. Векторные диаграммы представлены на рис. 7.16.
Врассматриваемом режиме U&c =U&ca ; U&b = −U&ab ; Uc =Ub =Uл ;
I |
b |
= I |
c |
= |
Uл |
= I |
л |
; I |
a |
= I |
л |
cos30o = |
3I |
л |
. |
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, фазные напряжения и токи неповрежденных фазB и C увеличились в 3 раз, а ток закороченной фазы Ia – в 3 раза посравнениюссимметричным режимомработысхемы.
|
|
a (O1) |
|
|
I&a |
|
& |
U&ca U&ab |
U&b |
|
30° |
|
Uс |
O |
I&c |
I&b |
|
c |
U&bc |
b |
|
|
− I&a |
|
|
|
|
|
Рис. 7.16
На рис. 7.17 приведена схема, состоящая из трех одинаковых сопротивлений Z = Z ab = Z bc = Z ca , соединенных треугольником, которые подключены к симметричной системе линейных напряжений
U&ab , U&bc , U&ca .
Рассмотрим три режима работы этой схемы.
1. Переключатели П1 и П2 замкнуты. При этом имеет место симметричный режим работы трехфазной цепи:
Iab = Ibc = Ica = Iф; Ia = Ib = Ic = I л = 3Iф. |
(7.16) |
Рис. 7.17
Векторные диаграммы напряжений и токов при активно-индук- тивнойнагрузкеприведенынарис. 7.18.
Фазные токи I&ab , I&bc , I&ca отстают от соответствующих фазных
напряжений U&ab , U&bc , |
U&ca на угол ϕ. Линейные токи I&a , I&b , |
I&c |
отстают |
от соответствующих фазных токов I&ab , |
I&bc , |
I&ca на 30°. |
|
|
Iab = Ibc = Ica = Iф; |
Iл = |
3Iф. |
|
(7.17) |
2. Переключатель П1 разомкнут (режим холостого хода или |
обрыв фазы bc), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I&bc = 0; |
I&ab = |
U&ab |
; |
I&ca = |
U&ca |
; Iab |
= Ica = Iф. |
|
(7.18) |
|
|
|
|
|
Z ab |
|
Z ca |
|
|
|
|
Линейные токи |
I&a = I&ab − I&ca , I&b |
= −I&ab , |
I&c = I&ca , т.е. |
Ia |
= 3Iф, |
Ib = Ic = Iф . Таким образом, линейный ток в проводе, не связанном
гальванически с «поврежденной» фазой, остается неизменным по сравнению с симметричным режимом, а линейные токи Ib и Ic становятся
равными фазным токам при симметричном режиме. Векторные диаграммы напряжений и токов приведены на рис. 7.19.
3. Переключатель П1 замкнут, а переключатель П2 разомкнут (обрыв линии В). При этом трехфазная цепь преобразуется в однофазную, и все три сопротивления подключаются к напряжению U&ca
(рис. 7.20). Векторные диаграммы напряжений и токов для этой схемы представлены на рис. 7.21.
Ток, протекающий по двум сопротивлениям Z bc и Z ab ,
I& |
= I& |
= I& |
= |
U&ca |
; I |
|
= |
U |
= |
1 |
I |
ф |
, |
|
|
|
|
1 |
ab |
bc |
|
2Z |
1 |
|
2Z 2 |
|
ток в фазе ca
204
I&ca = U&ca ; Ica = Iф .
Z ca
Линейные токи I |
|
= I |
|
= I |
|
+ I |
|
= |
1 |
I |
ф |
+ I |
ф |
= |
3 |
I |
ф |
= |
3 |
|
Uca |
. |
c |
a |
1 |
ca |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 Z |
Таким образом, при обрыве линейного провода в фазах, гальванически связанных с ним, токи уменьшаются в 2 раза, в третьей фазе ток остается неизменным, линейный ток в неповрежденной линии уменьшается по сравнению с симметричным режимом в 1,15 раза.
7.3.2. Выражение фазных напряжений трехфазной системы звезда–звезда без нейтрального провода через линейное напряжение
В схеме на рис. 7.22 в общем случае Z a ≠ Z b ≠ Z c . Токи в фазах определяются из соотношений
|
I& =Y U& |
a |
; |
I& =Y U& |
b |
; |
I& |
=Y U& |
c |
. |
(7.19) |
|
a |
a |
|
b |
b |
|
|
c |
c |
|
|
|
По первому закону Кирхгофа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I& |
+ I& + I& |
=Y U& |
+Y U& |
b |
+Y U& |
c |
= 0 . |
(7.20) |
a |
b |
c |
|
|
a a |
b |
|
|
c |
|
|
|
Выразим U&b |
и U&c |
через фазное напряжение U&a |
и соответствую- |
щиелинейныенапряжения U&ab |
и U&ca : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U&b =U&a −U&ab ; U&c =U&a +U&ca .
Подставив эти выраже-
ния в (1.20):
Y aU&a +Y b (U&a −U&ab ) + +Y c (U&a +U&ca ) = 0,
получим
U&a = |
Y U& |
−Y U& |
b |
ab |
c ca |
(7.21) |
|
|
|
|
Y a |
+Y b +Y c |
I&a |
|
a |
Z a |
|
I&b |
U&ab |
|
Z b |
|
b |
Z b |
О1 |
|
|
|
Z b |
I&c |
U&bc U&ca c |
|
Z с |
|
Рис. 7.22
Заменяя в (7.21) U&a на U&b , U&a на U&c , U&ab на U&bc , U&ca на U&bc , получим выражения для фазных напряжений U&b и U&c через линейные напряжения
|
Y U& |
−Y U& |
|
Y U |
−Y U& |
|
U&b = |
c bc |
a ab |
, U&c |
= |
a ca |
b bc |
. |
(7.22) |
|
|
|
|
|
Y a +Y b +Y c |
|
Y a +Y b +Y c |
|
7.4. МОЩНОСТИ В ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЯХ
Мощности в трехфазных цепях рассчитываются так же, как и в разветвленных гармонических цепях. Мощность трехфазного генератора, соединенного в треугольник,
|
|
|
S%∆ = S%AB + S%BC + S%CA =U&AB I&AB +U&BC I&BC +U&CA I&CA . |
|
(7.23) |
Для звезды |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S% = S%A + S%B + S%C =U&A I&A +U&B I&B +U&C I&C . |
|
(7.24) |
Мощности потребителей, соединенных в треугольник, |
|
|
Pпотр∆ |
=Uab Iab |
cos ϕab |
+Ubc Ibc cos ϕbc |
+Uca Ica cos ϕca |
= |
(7.25) |
|
= I 2 R + I 2 R + I 2 |
R , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ab |
ab |
|
|
bc |
|
bc |
|
ca |
|
ca |
|
|
|
|
|
|
Qпотр∆ |
=Uab Iab sin ϕab |
+Ubc Ibc sin ϕbc |
+Uca Ica sin ϕca |
= |
(7.26) |
|
= I 2 |
X |
|
|
|
+ I 2 |
|
X |
|
+ I |
2 |
X |
|
. |
|
|
|
ab |
|
bc |
ca |
|
|
|
|
|
|
ab |
|
bc |
|
|
ca |
|
|
|
|
|
|
Для звезды |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pпотр |
=Ua Ia cos ϕa |
+Ub Ib cos ϕb +Uc Ic cos ϕc +Uo1o Io cos ϕo |
= |
= I 2 R + I 2 R + I 2 R + I 2 R , |
|
|
|
|
(7.27) |
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
b |
|
b |
c |
|
c |
|
o |
o |
|
|
|
|
|
|
|
Qпотрλ |
=Ua Ia sin ϕa |
+Ub Ib sin ϕb +Uc Ic sin ϕc +Uo1o Io sin ϕo = |
= I 2 X |
|
+ I 2 X |
|
+ I 2 X |
|
+ I 2 X |
|
, |
|
|
|
(7.28) |
a |
b |
c |
o |
|
|
|
|
a |
|
|
b |
|
|
c |
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
здесь Uo1o , Io , ϕo , Ro , X o – соответственно напряжение, ток, аргумент, активноеиреактивноесопротивлениянейтрали(нулевогопровода).
В симметричных трехфазных цепях
S∆ =3U |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф I ф; S∆ =3UфIф = 3UфIл ; |
|
|
|
Р |
=3U |
ф |
I |
ф |
cos ϕ= |
3U |
ф |
I |
л |
cos ϕ=3I 2 R ; |
|
потр∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
ф |
|
(7.29) |
Q |
=3U |
|
I |
|
sin ϕ= |
3U |
|
I |
|
|
sin ϕ=3I 2 X |
|
; |
ф |
ф |
ф |
л |
ф |
|
потр∆ |
|
|
|
|
|
|
|
ф |
|
|
Sλ =3U |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф I ф; Sλ =3UфIф = 3UлIф ; |
|
|
|
Р |
=3U |
ф |
I |
ф |
cos ϕ= |
3U |
л |
I |
ф |
cos ϕ=3I 2 R ; |
|
потрλ |
|
|
|
|
|
|
|
ф |
ф |
|
(7.30) |
Q |
=3U |
|
I |
|
sin ϕ= |
3U |
|
I |
|
|
|
sin ϕ=3I 2 X |
|
. |
ф |
ф |
л |
ф |
ф |
|
потрλ |
|
|
|
|
|
|
ф |
|
|
7.5. КРУГОВОЕ ВРАЩАЮЩЕЕСЯ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТРЕХФАЗНОГО ТОКА
При протекании тока по катушке в направлении, указанном
на рис. 7.23, вектор магнитной индукции B направлен вверх. Если изменить направление тока на противополож-
ное, то и вектор B изменит направление на противоположное.
При изменении тока по синусоидальному
закону i = Im sin ωt вектор |
|
изменит свое на- |
Рис. 7.23 |
B |
правление дважды за период. Известно, что модуль B при этом тоже является синусоидальной функцией B = Bm sin ω t , т.е. B при данных
условиях в пространстве может принимать два противоположных направления, авовремениизменяться погармоническому закону.
Разместим одинаковые катушки 1, 2, 3 так, чтобы их оси были смещены в пространстве на 120° относительно друг друга (рис. 7.24).
Примем за положительное направление векторов B1 , B2 , B3
каждой катушки так, как это показано на рис. 7.24, при указанных направлениях токов. Подключим эти катушки к трехфазной цепи:
i1 = Im sin ωt; i2 = Im sin(ωt −120o ); i3 = Im sin(ωt − 240o ).
При этом модули вектора магнитной индукции каждой катушки будут изменяться:
B1 (1)
3
1
B1 |
= Bm sin ωt; |
B3 (3) |
B2 (2) |
B |
= B |
sin(ωt −120o ); . |
|
2 |
|
|
2 |
m |
|
|
Рис. 7.24 |
B |
= B |
sin(ωt − 240o ) |
|
3 |
m |
|
|
|
Проанализируем, чему будет равняться сумма B1 + B2 + B3 = B
при ωt = 0; π; π; 3 π.
22
1.При ωt = 0
|
B1 = 0; B2 = Bm sin (−120o ) = − |
|
|
|
3 |
|
|
Bm ; B3 = Bm sin (−240o ) = |
3 |
Bm . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Векторная диаграмма векторов |
|
|
|
|
для данного момента представ- |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
Bm cos30o =1,5Bm . |
|
ленанарис. 7.25, а. Модульвектора B = |
B |
2 + |
B |
3 |
|
=2 |
|
|
|
|
2 |
|
2. При ωt = π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 = Bm ; B2 = Bm sin (−30o ) = − |
Bm |
; B3 = Bm sin (−210o ) = − |
Bm |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Векторнаядиаграммавекторов |
|
|
представленанарис. 7.25, б. Мо- |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
o |
|
1 |
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дульвектора B = |
B1 + B2 + B3 |
|
= Bm 1 |
+ |
|
|
|
|
cos 60 |
|
+ |
|
|
cos 60 |
|
=1,5Bm . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3. При ωt = π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 = 0; B2 = Bm sin 60o = |
|
3 |
Bm ; B3 = Bm sin (−60o ) = − |
|
3 |
Bm . |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из представленного анализа следует, что при подключении трехфазной цепи к трем одинаковым катушкам, сдвинутым относительно друг друга в пространстве на 120°, возникает вращающееся магнитное поле. Вектор магнитной индукции такого поля по модулю равен 1,5Bm и вращается с угловой скоростью ω по направлению от начала первой катушки с током Im sin ωt к началу второй катушки
с токомIm sin(ωt −120o ) , то есть вектор результирующей магнитной индукции вращается в сторону катушки с отстающим током.
Если ток Im sin(ωt −120o ) пропустить по третьей катушке, а ток Im sin(ωt +120o ) – по второй катушке, то направление вращения поля
изменится на обратное.
Если произойдет обрыв одной из фаз или ток в ней по амплитуде не будет равен току в какой-либо другой фазе или сдвинут по фазе не на 120o , то образуется эллиптическое вращающееся маг-
нитное поле. При возникновении его конец вектора результирующей магнитной индукции будет скользить по эллипсу.
Для усиления вращающегося магнитного поля внутрь катушек помещают полый или сплошной ферромагнитный цилиндр, а стороны катушек заключают в пазы внешнего ферромагнитного цилиндра.
Эффект вращающегося магнитного поля используется для создания асинхронных и синхронных трехфазных двигателей.
7.6. ЗАДАЧИ И ВОПРОСЫ
Типовые задачи
Задача 1.
Дано: к зажимам симметричного трехфазного генератора (рис. 7.26) подсоединена симметричная нагрузка. Ваттметр, включенный в фазу А, показывает 40 Вт.
Найти: показания ваттметра в случае: а) обрыва фазы В; б) короткого замыкания фазы В.
