Основы теории цепей. Часть 1

Метод наложения опирается на принцип наложения и заключается в следующем: ток или напряжение произвольной ветви или участка разветвленной электрической цепи постоянного тока определяется как алгебраическая сумма токов или напряжений, вызванных каждым из источников в отдельности.

При использовании этого метода задача расчета разветвленной электрической цепи с n источниками сводится к совместному решению n цепей с одним источником.

Алгоритм расчета линейной электрической цепи методом наложения:

1.Произвольно задать направление токов в ветвях исследуемой цепи.

2.Исходную цепь, содержащую n источников, преобразовать

вn подсхем, каждая из которых содержит только один из источников, прочие источники исключаются следующим образом: источники напряжения замыкаются накоротко, а ветви с источниками тока обрываются. При этом необходимо помнить, что внутренние сопротивления реальных источников играют роль потребителей, и поэтому они должны оставаться в подсхемах.

3.Определить токи каждой из подсхем, задавшись их направлением в соответствии с полярностью источника, любым из известных методов. В большинстве случаев расчет ведется по закону Ома с использованием метода эквивалентных преобразований пассивных цепей.

4.Полный ток в любой ветви исходной цепи определяется как алгебраическая сумма токов вспомогательных подсхем, причем при суммировании со знаком «+» берутся токи подсхем, направление которых совпадает с направлением тока в исходной цепи, со знаком «–» – остальные.

К достоинствам метода относят то, что расчет производится по частям, где составляющие тока и напряжения определяются довольно просто. Однако, поскольку решение предполагает произведение множества преобразований, метод не рекомендуется применять для схем, содержащих большое количество источников.

51

Пример. Определить ток I2 в цепи, изображенной на рис. 2.8, а. Для данной цепи должны быть изображены две расчетные подсхемы (рис. 2.8, б, в). С помощью подсхемы 1 (см. рис. 2.8, б) найдем составляющую I2J по формуле о токах в двух параллельных ветвях:

Направление тока в подсхеме 1 совпадает с направлением искомого тока.

С помощью подсхемы 2 (рис. 2.8, в) найдем составляющую I2E :

Рис. 2.8

Направление тока в подсхеме 2 (см. рис. 2.8, в) противоположно направлению искомого тока. Ток в исходной цепи определится следующим образом: I2 = I2J − I2E .

52

2.3.5. Метод эквивалентного источника напряжения (генератора)

При расчете тока в одной из ветвей разветвленной цепи, содержащей произвольное число источников и потребителей, удобно рассматривать цепь, состоящую из двух частей: искомой ветви и осталь-

лением R.

Согласно II закону Кирхгофа ток не изменится, если в цепь, образованную активным двухполюсником и потребителем, включить последовательно два идеализированных встречно направленных источника с одинаковыми ЭДС (рис. 2.10). Величину каждой из них выбираем совпадающей с напряжением UХХ на зажимах активного двухполюсника в режиме холостого хода (ХХ), который имеет место

Ток I в цепи с двумя источниками определим методом наложения. Сэтойцельюисточникиразбиваем надвегруппы(рис. 2.11 и2.12):

1. Источники активного двухполюсника и Е1, которые сохраняются в подсхеме (см. рис. 2.11).

53

Эта формула отражает теорему об активном двухполюснике или об эквивалентном источнике напряжения: относительно любой ветви разветвленной электрической цепи вся остальная часть схемы может быть представлена как источник напряжения, ЭДС которого равна UХХ, а внутреннее сопротивление равно Rэкв.

При коротком замыкании (КЗ) ветви с нагрузкой R = 0 ток превращается в ток короткого замыкания:

Параметры активного двухполюсника можно определить опытным путем. Для этого необходимо разомкнуть i-ю ветвь и измерить UХХ , затем замкнуть накоротко Ri и измерить IКЗ:

IКЗ

i

54

Сопротивление Rвх можно найти расчетным путем, если известна конфигурация цепи и величины сопротивлений.

Алгоритм расчета линейной электрической цепи методом эквивалентного генератора:

1.Отключается потребитель в ветви с искомым током и на разомкнутых зажимах обозначается UХХ по направлению тока.

2.В образовавшейся более простой цепи находится UХХ с помощью II закона Кирхгофа, записанного для любого контура, содержа-

щего UХХ. Токи в ветвях упрощенной схемы определяются любым известным методом.

3.Определяется Rвх на зажимах разомкнутой ветви при условии E = 0 и J = 0. В полученной пассивной цепи пользуются правилами эквивалентных преобразований для потребителей.

4.По найденным UХХ и Rвх определяется ток в искомой ветви, значение которого может быть и отрицательным.

Замечание 1: Rвх можно найти по формуле Rвх =UХХ IКЗ при

условии Ri = 0 любым известным методом.

Замечание 2: если ветвь, в которой определяется ток, содержит источник ЭДС, следует данный источник отнести к активному двухполюснику, отключив только сопротивление Ri. Тогда величина E войдет в расчет UХХ.

Пример. Определить ток I2 в цепи, изображенной на рис. 2.14, а.

Запишем II закон Кирхгофа для внешнего контура цепи

(рис. 2.14, б):

UХХ + I1хR1 = E1 − E2 , I1х = −J3 .

55

Следовательно, UХХ = E1 − E2 + J3 R1 .

Rвх определим по схеме (рис. 2.14, в), в которой удалены все источники: Rвх = Rэквab = R1 .

Тогда искомый ток

2.4.ЗАДАЧИ И ВОПРОСЫ

Типовая задача

Решение.

Метод, основанный на применении I и II законов Кирхгофа

Реализуем алгоритм расчета (п. 2.3.1):

–зададим положительные направления токов в ветвях, как показано на схеме (рис. 2.15);

–схема содержит 3 узла (0, 1, 2), для двух из них (1, 2) составим независимые уравнения по I закону Кирхгофа:

– схема содержит 3 независимых контура I, II, III (стрелками показаны направления обходов контуров), для каждого из которых запишем II закон Кирхгофа:

56

– подставляя численные значения и решая совместно уравнения (1) – (4), найдем токи, а из уравнения (5) – напряжение на источнике тока. Окончательно имеем:

I1 = 9 A; I2 = – 3 A; I3 = 6 A; I4 = 2 A; UJ = 6 B.

Составим уравнение баланса мощности цепи:

R1I12 + R2 I22 + R3 I22 + R4 I42 = E1I1 − E2 I2 +U J J .

После подстановки численных значений имеем 408 Вт = 408 Вт, что свидетельствует о правильности расчета.

Метод контурных токов

Реализуем алгоритм, изложенный в п. 2.3.2:

–схема содержит три независимых контура; при наличии ветви

систочником тока выбираем контуры так, чтобы эта ветвь принадлежала только одному контуру (при таком выборе контурный ток этого контура равен задающему току источника тока); выберем контуры так же, как и в предыдущем методе, а направления контурных токовI11, I22, I33 = J – совпадающимиснаправлениями обходовонтуров;

–уравнения по методу контурных токов:

Численные значения коэффициентов:

R11 = R1 + R2 = 8 Ом; R22 = R2 + R3 + R4 = 8 Ом; R33 = R4 = 3 Ом; R12 = R21 = – R2 = – 4Ом; R13 = R31 = 0; R23 = R32 = R4 = 3 Ом;

I33 = J = 8 A; E11 = – E1 – E2= – 48 B; E22 = E2 = 12 B; E33 = UJ.

Решение уравнений (1), (2) дает I11 = – 9 A; I22 = – 6 A.

57

Из уравнения (3) определяется напряжение на источнике тока UJ = 6 B. Найдем токи в ветвях:

I1 = – I11 = 9 A; I2 = I11 – I22 = – 3 A; I3 = – I22 = 6 A; I4 = I22 + I33 = 2 A.

Метод узловых потенциалов

Реализуем алгоритм, изложенный в п. 2.3.3:

–схема содержит три узла; в качестве опорного (базисного) выбираем узел 0, тогда подлежат определению потенциалы узлов 1 и 2;

–уравнения для узловых потенциалов:

– расшифруем значения коэффициентов:

– решая систему уравнений (1) и (2), имеем

ϕ1 = 0, ϕ2 = 6 B;

– по закону Ома определяем токи в ветвях:

58

Метод наложения

Реализуем алгоритм, изложенный в п.2.3.4:

–зададим положительные направления токов в ветвях,

–разобьем заданную схему на три частичных (по количеству источников), в каждой из которых действует только один источник питания (рис. 2.16).

Произведем расчет каждой схемы.

Рассмотрим схему, изображенную на рис 2.16, а. Воспользуемся методом эквивалентных преобразований, в результате схема примет вид, представленный на рис. 2.17. Входное сопротивление

R0 = R1 + R2,3,4,

где R2,3,4 – эквивалентное сопротивление ветвей 2, 3, 4.

59

Токи:

Преобразуем схему (см. рис. 2.16, в) в схему, представленную на рис. 2.19.

Эквивалентное сопротивление ветвей 1, 2, 3:

60