Основы теории цепей. Часть 1

uab (t) = uR +uL +uC ,

−Im XC cos (ωt +ψi ) = Im (R sin (ωt +ψi ) +( X L − XC )cos(ωt +ψi )).

Из тригонометрии известно, что

Применим формулу (3.23) к выражению (3.22):

91

Полное сопротивление цепи

Z = Um = U = R2 + X 2 = R2 +( X L − X C )2 ;

Im I

угол разности фаз

определяется по оси ωt от кривой напряжения к кривой тока и бывает острым или прямым: ϕ < 0 при емкостном характере цепи (ток опережает напряжение), ϕ > 0 при индуктивном характере цепи (ток отстает по фазе от напряжения), ϕ = 0 при резистивном характере цепи (индуктивное и емкостное сопротивления равны) – такой режим цепи называют резонансом напряжений.

Из выражений ϕ = arctg X и Z = R2 + X 2 следует, что связь

R

активного и реактивного сопротивлений с полным сопротивлением выражается следующими формулами:

ϕдля сопротивлений (3.25) на действующее значе-

Uа = IR = IZ cos ϕ =U cos ϕ, Uр = IX = IZ sin ϕ =U sin ϕ. (3.26)

Тогда действующее значение суммарного напряжения можно определить как U = Ua2 +Up2 . Для напряжений также можно построить прямоугольный треугольник напряжений.

92

3.2.5. Параллельное соединение R, L, C

Выражение (3.27) является тригонометрической формой записи I закона Кирхгофа для мгновенных значений.

93

Активная проводимость цепи G = 1 всегда положительна.

R

Реактивная проводимость цепи B = BL − BC , в зависимости

от знака которой цепь может иметь индуктивный (В > 0) или емкостный (B < 0) характер. Если В = 0, цепь носит активный характер.

т.е. ток отстает от напряжения на угол ϕ. Здесь ψu – начальная фаза напряжения;

ψu + γ – начальная фаза тока; ψu −ψi = −γ = ϕ – разность фаз;

Im =Um G2 + B2 =UmY – амплитудное значение тока;

ется по оси ωt в направлении от напряжения к току и является ост-

рым или прямым ϕ ≤ π . 2

ϕ > 0 при индуктивном характере цепи, т.е. при B > 0; при

этом напряжение опережает ток по фазе.

ϕ< 0 при емкостном характере цепи, т.е. при B < 0; при этом

ток опережает по фазе напряжение.

ϕ = 0 при резистивном характере цепи, т.е. при равенстве индуктивной и емкостной проводимостей B = BL − BC = 0; при этом ток

94

совпадает по фазе с напряжением. Такой режим работы электрической цепи называют резонансом токов.

Активная и реактивная проводимости цепи связаны с полной проводимостью формулами

Для проводимостей также можно построить треугольник проводимостей.

Активная и реактивная составляющие тока определяются следующим образом:

токов также можно построить треугольник токов.

Следует отметить, что описывать электрические цепи синусоидального тока, оперируя понятиями мгновенного значения тока и напряжения, достаточно трудоемко и применимо только для простейших электрических цепей, не содержащих большого числа контуров и источников. С усложнением электрических цепей такая форма расчета становится крайне затруднительной и требуется метод, позволяющий рассчитывать электрические цепи переменного тока алгебраически аналогично цепям постоянного тока. Таким удобным расчетным методом служит символический метод.

3.3.СИМВОЛИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ

СГАРМОНИЧЕСКИМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ

Известно несколько способов представления синусоидально изменяющихся величин: в виде тригонометрических функций, в виде графиков изменения во времени, в виде вращающихся векторов и в виде комплексных чисел.

95

Расчет цепей периодического синусоидального тока облегчается, если изображать синусоидально изменяющиеся токи, напряжения

иЭДС векторами или комплексными числами. Установим данное соотношение.

Пусть некоторая электрическая величина (ток, напряжение, ЭДС

ит.д.) изменяетсяпосинусоидальномузакону v =Vm sin (ωt + ψ) . В пря-

моугольной системе координат (рис. 3.12) расположим под углом ψ вектор, длина кото-

рого в выбранном масштабе равна амплитуде Vm (причем

ψ > 0, если отсчитывается против часовой стрелки).

Представим себе, что вектор с момента t = 0 начинает вращаться вокруг начала

координат в положительном направлении с постоянной угловой скоростью, равной угловой частоте ω. В момент времени t ≠ 0 вектор составляет с осью абсцисс угол ωt + ψ . А его проекция на ось ординат будет равна мгновенному значению величины v. Таким образом, между мгновенным значением v(t) и вектором Vm можно установить однозначное соответствие. На этом основании будем называть вектор Vm вектором, изображающим функцию времени, и обозна-

чать V& . Конечно, эти векторы имеют смысл, отличный от смысла векторов, определяющих физические величины в пространстве (скорость, силу и др.). Поэтому такие изображения функции време-

ни называют символическими.

Если считать ось абсцисс осью вещественных величин, а ось ординат – осью мнимых величин на комплексной плоскости, то вектор V& соответствует комплексному числу с модулем Vm и аргумен-

том ψ. Это комплексное число называют комплексной амплитудой. Иначе говоря, это комплексная величина, не зависящая от времени,

96

модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе заданной синусоидальной функции.

где a = Re( A&) = Acos ϕ и b = Im( A&) = Asin ϕ – соответственно действи-

тельная и мнимая составляющие комплексного числа; A = a2 +b2 ;

ϕ = arctg b . a

Переход от показательной формы к тригонометрической выполняется при помощи формулы Эйлера: A& = Ae jϕ = Acos ϕ + jAsin ϕ.

При значении угла ϕ = π и ϕ= − π из формулы Эйлера следуют два

97

Сопряженным комплексным числом I& = a + jb = Ae jϕ называют число, имеющее противоположный знак фазы или мнимой части,

*

I = a − jb = Ae− jϕ .

Если i = Im sin (ωt + ψi ) , то I&m = Ime jψi – комплексная амплиту-

значения, где e jωi называют фактором поворота, умножение на который означает поворот на угол ψi в комплексной плоскости; e jωt называют фактором вращения, умножение на который означает вращение вектора с постоянной частотой ω в положительном направлении вокруг начала координат.

В этой связи следует отметить, что умножение комплексного числа на «–1» означает поворот вектора на π(e± jπ ) , умножение

на ± j – поворот на ± π2 (e± j π2 ) .

Комплексное мгновенное значение может быть представлено с помощью формулы Эйлера в тригонометрической форме I&m = Ime j(ωt +ψi ) = Im cos (ωt + ψi ) + jIm sin (ωt + ψi ) . Интересующая нас функция времени, описывающая изменение тока в цепи, есть мнимая часть мгновенного комплексного значения тока I&: Im(I&) = i(t) . Именно

это соотношение позволяет утверждать, что между мгновенным значением синусоидальной величины и ее символическим изображением существует однозначное соответствие.

При анализе цепей синусоидального тока применяют главным образом комплексные действующие значения, сокращенно их назы-

вают комплексными значениями, а соответствующие им векторы на комплексной плоскости – векторами комплексных значений. Связь между комплексом амплитуды и комплексом действующего значения устанавливается по формуле

98

Совокупность векторов комплексных значений синусоидальных величин одной частоты, изображенных на комплексной плоскости, называют векторной диаграммой. Пользуясь векторной диаграммой, сложение и вычитание комплексных значений можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов. Векторные диаграммы, как правило, используются для качественной оценки расчетов и их наглядности. Они являются графическим отображением математических соотношений и расчетов электрической цепи.

Взаимное расположение векторов комплексных значений на векторной диаграмме не изменится, если начальные фазы ψ всех комплексных значений уменьшить или увеличить на одну и ту же величину. Это означает лишь одновременный поворот всех векторов на один и тот же угол. Часто при анализе цепей векторную диаграмму строят так, чтобы вектор одного комплексного значения был направлен вдоль оси действительных величин. Такой вектор называют

исходным вектором.

Направления синусоидальных величин (ток, напряжение и др.) вцепи периодически изменяются, но одно из двух направлений выби-

99

ся мгновенным значением i = Im sin (ωt +ψi ) и соответствующим

комплексным значением I& = Ie jψi . Следовательно, взаимно однозначному представлению синусоидальных токов, напряжений и других величин в виде мгновенных и комплексных значений соответствуют их одинаковыеположительныенаправления.

Теоремы символического метода

1. Об однозначном соответствии символического изображения данной тригонометрической функции: u(t) ↔U& . Это было показано выше: u(t) = Im(U&s ) , где U&s =Um e j(ωt +ψu ) .

2.О линейном преобразовании: если uk (t) = Im(Umk e jψu e jωt ) , то

λk uk (t) = Im(λkUmk e jψu e jωt ) , т.е. λk uk (t) → λkU&k .

3.О сумме: если u1 →U&1 , u2 →U&2 , то u1 +u2 →U&1 +U&2 . Следствие: ∑λk uk (t) → ∑λkU&k . Следует отметить, что в правой части

складываются векторы по правилам векторной алгебры.

4. О производной: если u(t) →U& , а u(t) = Im(Um e jωt e jψu ) , тогда

u′(t) = (Im (Um e jωt e jψu ))′ = Im ( jωUm e jωt e jψu ) , т.е. взятие производной во временной области означает умножение вектора на jω в ком-

гралу функции во временной области соответствует деление вектора

на jω в комплексной области или поворот вектора на угол − π . 2

100