Экономические задачи линейного программирования и их решение с испол

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

Н.М. Левда, В.П. Постников

ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ИХ РЕШЕНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ

MICROSOFT EXCEL

Допущено Учебно-методическим объединением по образованию

вобласти статистики и математических методов в экономике

вкачестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению «Экономика»

идругим экономическим направлениям

Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов РФ

вобласти экономики, менеджмента, логистики и бизнес-информатики

вкачестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки

080100.62 «Экономика», 080200.62 «Менеджмент»

Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета

2015

УДК 330.45+519.852 ББК 22.161.8

Л34

Рецензенты:

д-р физ.-мат. наук, профессор П.М. Симонов, д-р экон. наук, профессор Т.Г. Шешукова (Пермский государственный национальный

исследовательский университет) д-р экон. наук, доцент И.В. Елохова

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет)

Левда, Н.М.

Л34 Экономические задачи линейного программирования и их решение с использованием Microsoft Excel : учеб. пособие / Н.М. Левда, В.П. Постников. – Пермь : Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2015. – 170 с.

ISBN 978-5-398-01375-7

Приведены общие положения и основные понятия линейного программирования. Рассмотрены вопросы построения экономико-математических моделей задач линейного программирования, продемонстрировано использование известных методов решения подобных задач, включая графический способ и симплекс-метод.

Рассмотрено решение типовых экономических задач: определение оптимального ассортимента, использование взаимозаменяемых ресурсов, раскрой материала, развитие и размещение производства, а также задача о назначении, транспортные задачи и др. Основной используемый сервис – надстройка Microsoft Excel «Поиск решения». Рассмотрено применение компьютера для решения экономических задач линейного программирования.

Предназначено для студентов экономических и управленческих специальностей, аспирантов и преподавателей, для всех, кто занимается научными исследованиями в экономике с использованием методов линейного программирования.

УДК 330.45+519.852 ББК 22.161.8

2

3

4

ВВЕДЕНИЕ

Данная работа призвана подготовить будущих экономистовменеджеров к принятию обоснованных, эффективных решений при планировании и управлении экономическими процессами.

Пособие освещает основные понятия и общие теоретические аспекты линейного программирования, иллюстрирует пути решения широкого ряда экономических задач линейного программирования с применением современных средств вычислительной техники. Для того чтобы научиться самостоятельно решать эти задачи, необходимо:

–изучить теоретические основы задач линейного программирования;

–уметь составлять математические модели экономических задач и решать эти задачи на ЭВМ, используя современное программное обеспечение (Microsoft Excel).

Первым, кто сформулировал задачу оптимального (т.е. наилучшего из всех возможных вариантов при определенных ограничениях) использования ограниченных производственных ресурсов

ипредложил соответствующий математический метод ее решения, был советский экономист-математик Л.В. Канторович. Позднее американский математик Дж. Данциг разработал соответствующий математический аппарат, который назвал «линейное программирование», и предложил для машинного решения задачи эффективный симплекс-метод.

На практике для решения задачи линейного программирования с использованием Microsoft Excel необходимо:

–составить математическую модель задачи,

–организовать рабочий лист в Microsoft Excel,

–применить надстройки Microsoft Excel Поиск решения,

–проанализировать полученные результаты.

Все эти этапы рассмотрены в данном учебном пособии: освещены теоретические аспекты линейного программирования, даны методические указания по использованию надстройки Microsoft

5

Excel Поиск решения, приведены примеры решения типовых экономических задач линейного программирования в Microsoft Excel, а также представлен образец оформления отчета.

Пособие состоит из трех глав.

В первой главе изложены основные понятия моделирования, приведена историческая справка об экономико-математическом моделировании, рассмотрена постановка и методы решения задач линейного программирования, построение двойственной задачи линейного программирования.

Во второй главе подробно рассмотрена надстройка Поиск решения и ее параметры, алгоритм постановки и решения задач. Также глава содержит пример решения задачи линейного программирования и оформления отчета.

Особое внимание нами уделено конкретным примерам решения экономических задач линейного программирования. В третьей главе подробно рассмотрена технология решения задач оптимального использования ресурсов и специальных задач линейного программирования (транспортная задача, задача о назначении, целочисленная задача линейного программирования и др.).

Таким образом, пособие включает в себя теоретическую часть, практические рекомендации по использованию надстройки Microsoft Excel Поиск решения, а также рекомендации по решению типовых экономических задач линейного программирования.

6

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

1.1. Понятия модели и моделирования

Модель – упрощенная копия, искусственно создаваемый объект, в котором воспроизводятся определенные характеристики реального объекта с целью его изучения. Точность результата зависит от соответствия математической модели действительности.

Моделирование – это метод научного исследования окружающего нас мира, заключающийся в подмене реальных объектов или явлений их заведомо упрощенными образами (моделями) с целью изучения этих образов и последующего переноса полученных результатов и выводов на объекты и явления реального мира. Необходимость моделирования обусловлена сложностью, а порой и невозможностью прямого изучения реального объекта (процесса). Значительно доступнее создавать и изучать модели реальных объектов (процессов). В этом и состоит основное достоинство моделирования.

Связь между объектом реального мира и его моделью может проиллюстрировать обобщенный цикл моделирования (рис. 1.1).

Рис. 1.1

7

Экономико-математическая модель – это абстрактная модель, состоящая из функций, уравнений и неравенств, схем и графиков. Точность результата математической модели зависит от ее адекватности (соответствия) действительности.

Экономико-математическое моделирование заключается в использовании методов и средств математического моделирования для исследования экономических объектов и явлений. Цель эконо- мико-математического моделирования – повышение эффективности управления экономикой на разных уровнях управления (предприятия, региона, страны).

Для развития экономико-математического моделирования необходимы следующие условия:

1)зрелая экономическая наука (анализ и налаженный учет информации);

2)развитие математических методов (линейное программирование, динамическое программирование, теория массового обслуживания, математическая статистика, теория игр);

3)наличие вычислительной техники.

Именно наличие этих трех факторов и привело к прорыву в области экономико-математического моделирования начиная со второй половины XX в.

В настоящее время наблюдается внедрение в отечественную практику экономико-математических методов и моделей с использованием программных комплексов. Растет роль экономикоматематического моделирования как одного из средств совершенствования экономики путем научного обоснования вариантов последующего развития и создания прогнозов в рыночных условиях.

Экономико-математическое моделирование можно разделить на следующие четыре этапа:

I этап – выбор объекта исследования и составление экономической модели: определяется цель исследования, выполняется постановка задачи, проводится качественное описание объекта или процесса в виде экономической модели.

8

II этап – построение экономико-математической модели: на основе экономической модели формируется математическая модель изучаемого объекта или процесса (объект представляют в виде системы уравнений, неравенств и функции) – это основной этап моделирования.

III этап – применение математического аппарата для решения задачи, сформулированной на базе построенной математической модели (применение математических методов для расчета модели).

IV этап – анализ полученных результатов решения; проверка полученных результатов на их адекватность изучаемому объекту и оценка их устойчивости; возможная корректировка первоначальной математической модели.

Для корректировки модели меняют условие или критерии модели, после чего снова приступают к моделированию объекта исследования (рис. 1.2).

Рис. 1.2

Линейные модели являются одним из наиболее простых и часто используемых в экономике классов математических моделей. Они изучаются в рамках линейного программирования – одного из самых проработанных разделов исследования операций.

Инструменты, с помощью которых находятся оптимальные решения экономико-математических моделей, называются экономикоматематическими методами. Математический метод позволяет, не перебирая все варианты, найти оптимальный вариант. К экономи- ко-математическим методам относятся методы линейной алгебры, математического (линейного и нелинейного) программирования, тео-

9

рии вероятностей и математической статистики, методы экономическойкибернетики, методытеорииигрипринятиярешенийидр.

Линейное программирование – раздел математического программирования, позволяющий решать задачи оптимального распределения имеющихся ограниченных ресурсов (денег, материалов, времени и т.п.) для достижения определенной экстремальной цели (максимума прибыли или минимума издержек). При этом система ограничений и целевая функция линейны.

Оптимальные модели всегда связаны с выбором, и оптимальность выбора всегда относительна. Одно и то же решение может быть оптимальным в одних условиях и неоптимальным в других.

В экономике часто стоит вопрос выбора одного варианта из множества других. Обычно выбирают наиболее эффективный вариант, для этого сравнивают результаты и затраты. Если рассматривать этот выбор в условиях сферы планирования, то говорится об оптимальном плане.

Оптимальный план бывает двух видов:

1.План, обеспечивающий заданный результат при минимальных затратах ресурсов.

2.План, обеспечивающий максимальный результат при заданном объеме ресурсов.

Оптимальный план находится с помощью математических методов, расчет по выбранному методу перекладывается на ЭВМ.

Многие задачи оптимального планирования в экономике могут быть решены методами линейного программирования. Однако

врамках линейного программирования может быть решена только часть задач оптимального планирования. Эти задачи должны удовлетворять следующим условиям:

1.В задаче оптимального планирования должен использоваться единый критерий оптимальности (показатель эффективности). Выбор показателя зависит от цели исследования, условий деятельности предприятия. На практике строят несколько моделей с разными критериями оптимальности.

10