Экономические задачи линейного программирования и их решение с испол

Итерация 1 (табл. 1.6):

Таблица 1.6

Необходима еще одна итерация. Выделяем разрешающий элемент

31

После итерации 2 нет отрицательных оценок. План является оптимальным.

Если переменная в базисе, то ее значение – в столбце «план», если переменной нет в базисе, то ее значение равно нулю.

Оптимальное решение: x1 = 0, x2 = 6, x3 = 0, x4 = 73, x5 = 8,

x6 = 0, x7 = 0; z 6 18 73 30 2298.

Анализ

Для достижения максимальной прибыли необходимо производить товар 2 в количестве 6 шт. и товар 4 в количестве 73 шт. При этом сырья остается не использованным в количестве 8 кг, рабочая сила и оборудование используются полностью. Максимальная прибыль равна 2298 руб.

1.5. Двойственная задача линейного программирования

Пусть задача линейного программирования дана в стандартной форме (ограничения в виде неравенств, направленных в одну сторону):

z c1x1 ... c j x j c j 1x j 1 ... cn xn max,

x1, ..., x j 0.

Обычно для экономических задач:

– переменные xj, j = 1, …, n означают выпуск продукции различных наименований;

32

–cj – коэффициент эффективности единицы j-й продукции;

–aij – норма расхода i-го ресурса на единицу продукции j-го

вида;

–bi – объем i-го ресурса.

Тогда целевая функция – это суммарный эффект. Левая часть ограничений – затраты ресурсов, правая часть – обеспеченность ресурсами.

На основе данной информации можно составить другую задачу линейного программирования, число переменных которой равно числу ограничений исходной задачи, т.е. каждая переменная соответствует неравенству исходной задачи. Обозначим их как y1, y2, …, ym. Этазадачаимеетвид:

(1.14)

Поясним экономический смысл задачи. Переменные y1, y2, …, ym называются двойственными оценками или теневыми ценами соответствующих ресурсов. Тогда целевая функция – это оценка всех имеющихся ресурсов. Левая часть ограничения – оценка затрат ресурсов, идущих на единицу продукции, правая часть ограничения – эффективностьединицыпродукции.

33

Вторая задача называется двойственной для первой, а первая – прямой задачей. Если для второй задачи составить двойственную задачу по таким же правилам, то получим первую. Таким образом, сформулированные задачи составляют пару взаимно двойственных задач линейного программирования. Обе задачи записаны в симметричной форме, поэтому их называют парой симметричных взаимно двойственных задач.

Пропишем правила построения двойственной задачи:

1.Коэффициенты системы ограничений двойственной задачи – это матрица, полученная путем транспонирования матрицы коэффициентов системы ограничений прямой задачи.

2.Если прямая задача – на максимум, то двойственная – на минимум, и наоборот.

3.Неравенства в системе ограничений двойственной задачи направлены в противоположную сторону относительно прямой задачи.

4.Коэффициенты целевой функции двойственной задачи – свободные члены системы ограничений прямой задачи, и наоборот, свободные члены системы ограничений двойственной задачи – коэффициенты целевой функции прямой задачи.

5.Между переменными прямой и двойственной задач есть соответствие: дополнительные переменные прямой задачи соответствуют основным переменным двойственной, и наоборот.

6.Число основных переменных прямой задачи равно числу ограничений двойственной задачи, а число основных переменных двойственной задачи равно числу ограничений прямой задачи.

7.Все переменные в обеих задачах неотрицательны.

Решив прямую задачу, мы автоматически находим ответ и для двойственной задачи: переменные двойственной задачи равны оценкам соответствующих переменных ( j ) прямой задачи в оп-

тимальном плане (см. табл. 1.5).

34

Переменные двойственной задачи образуют систему условных оценок используемых ресурсов. Таким образом, двойственная задача линейного программирования устанавливает связь между оптимальным распределением ресурсов и некоторой системой оценок этих ресурсов.

Таким образом, в двойственной задаче:

– переменные y1, y2 , ..., yn оценивают единицу соответствующего ресурса (теневая цена);

–целевая функция (1.12) оценивает объем всех ресурсов;

–левая часть ограничения системы (1.13) оценивает затраты на единицу соответствующей продукции.

Покажем взаимосвязь прямой и двойственной задач:

Сформулированные задачи составляют пару взаимно двойственных задач линейного программирования.

Рассмотрим пару несимметрических взаимно двойственных задач:

xj 0.

35

Рассмотрим задачу линейного программирования в общем виде и составим для нее двойственную задачу:

Для составления двойственной задачи при смешанных ограничениях пропишем дополнительные правила:

1.Если на переменную хj прямой задачи наложено условие неотрицательности, то j-е условие системы ограничений двойственной задачи записывается в виде неравенства, и наоборот.

2.Если на переменную хj прямой задачи не наложено условие неотрицательности, то j-е ограничение двойственной задачи записывается в виде равенства.

3.Если в прямой задаче имеются ограничения равенства, то на соответствующие переменные двойственной задачи не налагается условие неотрицательности.

Фундаментальные свойства, которыми обладают взаимно двойственные задачи линейного программирования, могут быть сформулированы в виде приводимых ниже утверждений. Их обыч-

но называют теоремами двойственности.

Теорема 1. Для взаимно двойственных задач линейного программирования возможно два случая:

1.Если прямая задача имеет оптимальное решение, то и двойственная задача имеет оптимальное решение, значения целевых

функций на этих оптимальных решениях совпадают: z(x * ) f ( y* ) .

36

2. Если прямая задача не имеет решения, то и двойственная задача не имеет решения.

Экономическое содержание первой основной теоремы двойственности состоит в том, что если прямая задача определения оптимального плана на максимум разрешима, то разрешима и двойственная задача определения оптимального вектора оценок ресурсов. Причем результат, полученный при реализации оптимального плана, совпадает с суммарной оценкой ресурсов.

Следовательно, план производства и вектор оценок ресурсов являются оптимальными тогда и только тогда, когда цена произведенной продукции и суммарная оценка ресурсов совпадают.

Теорема 2. Если для двух взаимно двойственных задач линейного программирования x* – допустимое решение прямой задачи, а y* – допустимое решение двойственной задачи, то для того, что-

бы эти решения были оптимальными для соответствующих задач, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

j 1

Если какое-либо ограничение одной из задач в оптимальном плане обращается в строгое неравенство, то соответствующая переменная оптимального плана двойственной задачи должна равняться нулю; если же какая-либо переменная оптимального плана одной из задач положительна, то соответствующее ограничение двойственной задачи в оптимальном плане должно быть равенством.

Из теоремы 2 вытекает четыре условия дополняющей нежесткости:

1. Если в оптимальном плане переменная прямой задачи равна нулю (xj* = 0), то соответствующее ограничение двойственной задачи из условия (1.15) выполняется как строгое неравенство

37

m

aij yi* cj , т.е. дополнительная переменная соответствующего

i 1

ограничения двойственной задачи больше нуля. Таким образом, на основе экономического смысла модели (1.12)–(1.14) делаем вывод, что если изделие невыгодно и оно не вошло в оптимальный план

( x*j 0 ), то оценка затрат на единицу продукции больше эффек-

тивности единицы продукции.

2. Если в оптимальном плане переменная прямой задачи больше нуля (xj* > 0), то из условия (1.15) соответствующее ограничение двойственной задачи выполняется как строгое равенство

m

aij yi* cj . Для изделия, которое выгодно производить и которое

i 1

вошло в оптимальный план, оценка затрат на одну единицу продукции равна эффективности единицы продукции. Дополнительная переменная соответствующего ограничения двойственной задачи равна нулю. Таким образом, можно судить о выгодности производства той или иной продукции по дополнительным переменным соответствующих ограничений двойственной задачи. Чем меньше дополнительные переменные, тем выгоднее производить соответствующую продукцию. Самая выгодная продукция – та, у которой дополнительная переменная равна нулю.

3. Если какое-либо ограничение прямой задачи выполняется как

n

строгое равенство aij x*j bi 0, то из условия (1.16) соответст-

j 1

вующая переменная двойственной задачи больше нуля (yi* > 0). Если какой-либо вид ресурса полностью тратится на оптимальный план, то его оценка больше нуля.

4. Если какое-то ограничение прямой задачи выполняется как

n

строгое неравенство aij x*j bi 0, то из условия (1.16) соответ-

j 1

38

ствующая переменная двойственной задачи равна нулю (yi* = 0). Если какой-либо ресурс не полностью потрачен на оптимальный план, то его оценка равна нулю. Избыточные ресурсы имеют нулевую оценку.

С экономической точки зрения это означает, что если по оптимальному плану производства x* расход i-го ресурса строго меньше его запаса bi, то в оптимальном плане y* соответствующая

двойственная оценка единицы этого ресурса равна нулю. Если же в некотором оптимальном плане оценок его i-я переменная строго больше нуля, то в оптимальном плане производства расход соответствующего ресурса равен его запасу.

Таким образом, двойственные оценки могут служить мерой дефицитности (эффективности) ресурса. Дефицитный ресурс имеет положительную оценку, а избыточный – нулевую.

Для небольших изменений объема ресурса bi двойственная оценка yi не изменяется, т.е. существуют интервалы устойчивости для bi. Также для небольших изменений коэффициентов целевой функции cj (эффективность единицы продукции) оптимальный выпуск продукции xj не изменяется. Для экономического анализа важное значение имеют интервалы (пределы) устойчивости коэффициентов целевой функции и свободных членов прямой задачи о выпуске продукции.

Из условий 3 и 4 следует, что можно использовать переменные двойственной задачи для оценки дефицитности (эффективности) какого-либо ресурса: чем больше значение переменной двойственной задачи, тем эффективнее соответствующий ресурс.

Величина двойственной оценки ресурса показывает, насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу. Это утверждение верно для небольших изменений объема ресурсов в пределах устойчивости двойственной оценки. Утверждение вытекает из первой теоремы двойственности.

39

Двойственные оценки могут быть использованы следующим образом:

1.Оценки как мера дефицитности ресурсов. Дефицитный ресурс – полностью используемый в оптимальном плане, он имеет

положительную оценку: yi > 0. Избыточный (недефицитный) ресурс, не полностью используемый в оптимальном плане, имеет ну-

левую оценку: yi = 0. Чем больше оценка, тем дефицитнее (эффективнее) ресурс.

2.Оценки как мера влияния ограничения на целевую функ-

цию. z(x) yi* bi (из 1-й теоремы) – величина двойственной

оценки характеризует прирост (снижение) значения целевой функции при увеличении (уменьшении) объема соответствующего ресурса bi на одну единицу (в пределах устойчивости двойственной оценки).

3. Оценки как инструмент для определения эффективности отдельных вариантов плана. Это свойство вытекает из 1-го и 2-го ус-

можно судить об эффективности того или иного варианта плана.

вариант плана рациональный (неплохой). Таким образом, по дополнительной переменной двойственной задачи можно оценивать соответствующий вариант плана. Чем меньше дополнительные переменные, тем лучше соответствующий вариант плана.

4.Оценки как инструмент балансирования суммарных затрат

ирезультата: z(x*) = f(y*). Двойственная оценка относительно устойчива, т.е. при небольших изменениях свободных членов системы ограничений прямой задачи двойственная оценка не меняется. Важно знать пределы устойчивости двойственной оценки.

40