Экономические задачи линейного программирования и их решение с испол

Анализ отчетов

Теперь необходимо проанализировать отчеты, которые мы получили при решении задачи. На рис. 2.19 представлен отчет о результатах.

Рис. 2.19

Проанализировав данные отчета о результатах, получим следующие значения.

Оптимальное значение целевой функции zmax = 2643 руб.

Значения основных переменных прямой задачи:

х1 = 57,14 шт., х2 = 71,43 шт.

Основные переменные не являются целочисленными.

Значения использованных ресурсов:

S1 = 57,14, S2 = 200, S3 = 240, S4 = 57,14.

Значения дополнительных переменных прямой задачи (допуск) –

остаткиресурсов:

x3 = 62,85, x4 = 0, x5 = 0, x6 = 12,86.

На рис. 2.20 представлен отчет об устойчивости. Проанализируем данные отчета об устойчивости. Приведенная стоимость – это значения дополнительных пе-

ременных двойственной задачи; они соответствуют основным переменным прямой задачи и оценивают тот или иной вариант плана.

92

Диапазон устойчивости двойственных оценок ресурсов:

120 62,86 (S1 120) 120 ,

200 56, 25 (S2 200) 200 40, 240 40 (S3 240) 240 30,

70 12,86 (S4 70) 70 .

Таким образом, изменение количества запасов ресурсов в данных пределах не повлияет на значения двойственных оценок, а следовательно, и на эффективность дополнительной единицы соответствующего ресурса.

На рис. 2.21 представлен отчет о пределах.

Рис. 2.21

Проанализировав данные отчета о пределах, сделаем вывод,

что при А = 57,14 и В = 0 получим z = 857,14; при А = 0 и В = 71,43 получим z = 1785,71.

2.7.Пример оформления отчета

орешении задачи

После того как задача решена, необходимо составить отчет о решении данной задачи. Приведем пример оформления отчета задачи, решенной в подразд. 2.6.

Сначала необходимо указать Ф.И.О., группу студента и наименование работы, затем переписать задание, составить математические модели прямой и двойственной задач и решить их. После этого выписать значения, полученные при решении задачи, и сформулировать вывод.

94

Ф.И.О., группа

Решение задач линейного программирования

Постановка задачи

Фирма производит два вида продукции – А и В – по определенной цене. На их производство требуется четыре вида ресурсов: S1, S2, S3, S4, которые есть в наличии на фирме в определенном количестве. Нормы расхода ресурсов на изготовление единицы данного вида продукции, цена, получаемая от реализации единицы продукции, а также запасы ресурсов указаны в табл. 1.

Определить объем производства продукции А и В с целью получения максимальной выручки при ограниченном количестве сырья и существующих нормах.

Моделирование

Пусть х1 – количество выпускаемой продукции А (шт.); х2 – количество выпускаемой продукции В (шт.).

Тогда математическая модель прямой задачи примет вид: z = 15x1 + 25x2 → max,

0,5x1 0, 4x2 120,x1 2x2 200,1,7x1 2x2 240,0,5x1 0, 4x2 70,

х1, х2 ≥ 0.

95

А математическая модель двойственной задачи примет вид: f = 120y1 + 200y2 + 240y3 + 70y4 → min,

0,5y1 y2 1, 7 y3 0,5y4 15,0, 4y1 2y2 2 y3 0, 4y4 25,

y1, y2, y3, y4 ≥ 0.

Решение

Оптимальное значение целевой функции zmax = 2643 руб.

Значения основных переменных прямой задачи: x1 = 57,14 шт., x2 = 71,43 шт.

Значения дополнительных переменных прямой задачи: x3 = 62,85, x4 = 0, x5 = 0, x6 = 12,86.

Значения основных переменных двойственной задачи: y1 = 0, y2 = 8,93, y3 = 3,57, y4 = 0.

Диапазон устойчивости двойственных оценок ресурсов:

57,14 ≤ S1 ≤ ∞, 143,75 ≤ S2 ≤ 240,

200 ≤ S3 ≤ 270, 57,14 ≤ S4 ≤ ∞.

Значения дополнительных переменных двойственной задачи (для соответствующих видов продукции):

–А соответствует приведенная стоимость, равная 0.

–В соответствует приведенная стоимость, равная 0.

Значения коэффициентов эффективности целевой функции и их диапазон: 12,5 ≤ с1 = 15 ≤ 21,25, 17,65 ≤ с2 = 25 ≤ 30.

Выводы

Выпуск продукции

Максимум выручки составит 2643 руб. Для достижения максимальной выручки необходимо производить продукцию А в количестве 57,14 шт. и продукцию B в количестве 71,43 шт.

96

Использование ресурсов

Ресурсы вида S2 и S3 использованы полностью в объемах соответственно 200 и 240 кг. Ресурс вида S1 использован не полностью, остаток ресурса составит 62,85 кг. Ресурс вида S4 использован не полностью, остаток ресурса составит 12,86 кг.

Оценки ресурсов

Оценки единицы ресурсов S1 и S4 равны 0, так как эти виды ресурсов в избытке. Дефицитными ресурсами являются ресурсы S2 и S3, оценки которых равны соответственно 8,93 и 3,57. Это означает, что дополнительная единица ресурса S2 может дать увеличение выручки на 8,93 руб., а дополнительная единица ресурса S3 может дать увеличение выручки на 3,57 руб. Таким образом, если взять не 200, а 201 кг ресурса S2 и оптимально решить задачу, то целевая функция 2643 + 8,93 = 2651,93 руб. Данное утверждение справедливо для всех оценок в пределах их устойчивости. Например, для S2 можно увеличить объем на 40 кг и иметь увеличение выручки на величину 8,93 · 40 = 357,2 руб.

Самым эффективным ресурсом является S2, так как его двойственная оценка максимальная.

Оценки вариантов плана

Продукцию вида А и В выгодно производить, так как соответствующие дополнительные переменные двойственной задачи равны нулю. Эти изделия вошли в оптимальный план. Чем меньше дополнительная переменная двойственной задачи, тем выгоднее производить соответствующий вид продукции.

Оценка коэффициентов эффективности

Объем выручки не изменится, если цены на продукцию будут находиться в следующих пределах:

12,5 руб. ≤ Цена продукции А ≤ 21,25 руб., 17,65 руб. ≤ Цена продукции В ≤ 30 руб.

97

ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ НАДСТРОЙКИ «ПОИСК РЕШЕНИЯ» ДЛЯ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

В данном разделе рассмотрены типовые экономические задачи линейного программирования, а также способ их решения с помощью надстройки Поиск решения.

3.1. Определение оптимального ассортимента

Задача определения оптимального ассортимента позволяет спланировать производство из имеющегося ассортимента таких видов продукции и в таком количестве, которое дает максимальный эффект при заданных ограниченных ресурсах.

Постановка задачи

Суть задачи заключается в определении плана производства одного или нескольких видов продукции, который обеспечивает наиболее рациональное использование имеющихся материальных, финансовых и других видов ресурсов. Такой план должен быть оптимальным с точки зрения выбранного критерия – максимума прибыли, минимума затрат на производство и т.д.

Имеется m видов ресурсов в количестве b1, b2, ..., bт, которые могут быть использованы при производстве n видов продукции. Известны нормы расхода i-го вида ресурса на производство единицы j-го вида продукции (aij). Эффективность выпуска единицы j-й продукции характеризуется коэффициентом cj. Следует определить план выпуска изделий (оптимальный ассортимент), при котором суммарный показатель эффективности принимает наибольшее (наименьшее) значение и расход ресурсов каждого вида не превышает имеющегося объема.

Моделирование

Обозначим оптимальный план выпуска каждого вида продукции соответственно через x1, x2, ..., xn. Тогда математическая модель задачи примет вид:

98

где (3.1) – целевая функция (максимум); (3.2) – система специальных ограничений на объем фактически

имеющихся ресурсов; (3.3) – система общих ограничений (на неотрицательность пе-

ременных).

Задача (3.1)–(3.3) является задачей линейного программирования (ЗЛП) в стандартной форме на максимум.

Примечание: кроме указанных ограничений по ресурсам (3.2) в условие задачи, а следовательно, и в ее математическую модель могут вводиться дополнительные ограничения на планируемый выпуск продукции (ограничения по ассортименту, условия комплектности и т.д.). Например, дополнительные условия, чтобы изделий третьего вида производилось не меньше k штук, а количество изделий первого и второго вида относилось друг к другу как 1:2, запишутся в виде:

x3 k,

2x1 x2 .

С каждой ЗЛП связывают другую ЗЛП, которая записывается по определенным правилам и называется двойственной ЗЛП.

Двойственной по отношению к ЗЛП (3.1)–(3.3) является задача

99

Соответственно, двойственной по отношению к ЗЛП (3.4)– (3.6) является задача (3.1)–(3.3). Каждой переменной (специальному ограничению) исходной задачи соответствует специальное ограничение (переменная) двойственной задачи. Если исходная ЗЛП имеет решение, то имеет решение и двойственная по отношению к ней задача, при этом значения целевых функций для соответствующих оптимальных решений равны.

Перменная yi* оптимального решения двойственной задачи (3.4)–(3.6) называется двойственной оценкой ограничения исходной ЗЛП.

решения задачи (3.1)–(3.3). Тогда при выполнении условий невырожденности оптимального решения имеют место следующие соотношения:

d yi* , i 1, , m. dbi

Изменим значение правой части bi одного основного ограничения исходной ЗЛП. Пусть bi′ – минимальное значение правой части основного ограничения, при котором решение у* двойственной задачи не изменится. Тогда величину bi′ называют нижней границей устойчивости по правой части ограничения. Пусть bi′′ – максимальное значение правой части основного ограничения, при котором решение y* двойственной задачи не изменится. Тогда величину bi′′ называют верхней границей устойчивости по правой части ограничения.

Изменим значение одного коэффициента сj целевой функции исходной ЗЛП.

Пусть сj′ – минимальное значение коэффициента целевой функции, при котором оптимальное решение x* исходной задачи не изменится. Тогда величину сj′ называют нижней границей ус-

100