Экономические задачи линейного программирования и их решение с испол

Модели всех задач на оптимизацию состоят из следующих элементов:

1)переменные – неизвестные величины, которые нужно найти при решении задачи;

2)целевая функция – величина, которая зависит от переменных и является целью, ключевым показателем эффективности или оптимальности;

3)ограничения – условия, которым должны удовлетворять переменные.

Мощным средством анализа данных Excel является надстрой-

ка Поиск решений.

Надстройка Поиск решений является частью набора команд, которые иногда называют средствами анализа «что если». С помощью этой надстройки можно найти оптимальное значение (максимум или минимум) формулы, содержащейся в одной ячейке, называемой целевой, с учетом ограничений на значения в других ячейках с формулами на листе. Надстройка Поиск решений работает

сгруппой ячеек, называемых ячейками переменных решения или просто ячейками переменных, которые используются при расчете формул в целевых ячейках и ячейках ограничения. Надстройка Поиск решений изменяет значения в ячейках переменных решения согласно пределам ячеек ограничения и выводит результат в целевой ячейке.

Размер задачи, которую можно решить с помощью базовой версии этой программы, ограничивается следующими предельными показателями:

1)количество неизвестных 200;

2)количество формульных ограничений на неизвестные 100;

3)количество предельных условий на неизвестные 400. Разработчик программы Поиск решений компания Frontline

System уже давно специализируется на разработке мощных и удобных способов оптимизации, встроенных в среду популярных табличных процессоров разнообразных фирм-производителей.

71

Высокая эффективность их применения объясняется интеграцией программы оптимизации и табличного бизнес-документа. Благодаря мировой популярности табличного процессора MS Excel встроенная в его среду программа Поиск решений является наиболее распространенным инструментом для поиска оптимальных решений в сфере современного бизнеса.

2.2. Организация рабочего листа для решения задач линейного программирования

Существует множество задач, решение которых может быть осуществлено с помощью инструмента Поиск решений. Но для этого следует начать с организации рабочего листа в соответствии с пригодной для поиска решений моделью, для чего нужно хорошо понимать взаимосвязи между переменными и формулами. Хотя постановка задачи обычно представляет основную сложность, время и усилия, затраченные на подготовку модели, вполне оправданны, поскольку полученные результаты могут уберечь от излишней траты ресурсов, помогут увеличить прибыль за счет оптимального управление финансами или выявить наилучшее соотношение объемов производства, запасов и наименований продукции.

Рассмотрим пример оформления задачи оптимизации, с помощью которого можно легко понять принцип построения таблицы для эффективности решений практической проблемы оптимизации.

Пусть дана модель оптимизационной задачи: z = 15x1 + 25x2 → max,

0,5x1 0, 4x2 120,x1 2x2 200,1,7x1 2x2 240,0,5x1 0, 4x2 70.

Организуем рабочий лист для решения данной задачи (рис. 2.1).

72

1) в диалоговом окне Параметры поиска решения нажмем кнопку Добавить. Появится диалоговое окно Добавление ограниче-

ния (рис. 2.5);

Рис. 2.5

2)в поле Ссылка на ячейки введем ссылку на ячейку ограничения или имя диапазона ячеек, на значения которых налагаются ограничения;

3)выберем в раскрывающемся списке отношение (<=, =, >=, цел, бин или раз), которое нужно использовать между ссылкой

иограничением.

Примечание: если выбрать вариант цел, в поле Ограничение появится значение «целое число». Если выбрать вариант бин, в поле Ограничение появится значение «двоичное число». Если выбрать вариант раз, в поле Ограничение появится значение «все разные»;

4)если в поле Ограничение было выбрано отношение <=, = или >=, введем число, ссылку на ячейку (или имя ячейки) или формулу;

5)выполним одно из указанных ниже действий:

–чтобы принять данное ограничение и добавить другое, нажмем кнопку Добавить;

–чтобы принять ограничение и вернуться в диалоговое окно

Параметры поиска решения, нажмем кнопку ОК;

6)чтобы изменить или удалить существующее ограничение, выполним указанные ниже действия:

–в диалоговом окне Параметры поиска решения щелкнем на ограничение, которое требуется изменить или удалить;

76

– нажмем кнопку Изменить и внесем изменения либо нажмем кнопку Удалить.

7. Выберем метод решения:

1)поиск решения нелинейных задач методом ОПГ – для гладких нелинейных задач;

2)поиск решения линейных задач симплекс-методом – для линейных задач;

3)эволюционный поиск решения – для негладких задач.

8.Нажмем кнопку Найти решение и выполним одно из указанных ниже действий:

1)чтобы сохранить значения решения на листе, в диалоговом окне Результаты поиска решения выберем вариант Сохранить найденное решение (рис. 2.6);

2)чтобы восстановить исходные значения, выберем вариант

Восстановить исходные значения.

Рис. 2.6

Примечания:

1) чтобы прервать поиск решения, нажмем клавишу Esc. Лист Microsoft Excel будет пересчитан с учетом последних найденных значений для ячеек переменных решения;

77

2)чтобы создать отчет, основанный на найденном решении, выберем тип отчета в поле Отчеты и нажмем кнопку ОК. Отчет будет помещен на новый лист книги. Если решение не найдено, будут доступны только некоторые отчеты или они вообще не будут доступны;

3)чтобы сохранить значения ячеек переменных решения в качестве сценария, который можно будет отобразить позже, нажмем кнопку Сохранить сценарий в диалоговом окне Результаты поис-

ка решения, а затем введем имя этого сценария в поле Название сценария.

2.4.Параметры надстройки «Поиск решения»

Вдиалоговом окне Параметры поиска решения (см. рис. 2.2)

нажмем на кнопку Параметры, и появится диалоговое окно параметров (рис. 2.7). Опишем функции этих параметров.

Рис. 2.7

Максимальное время – служит для ограничения времени, отпущенного на поиск решения задачи. В этом поле можно ввести время в секундах, не превышающее значения 32 767 (примерно 9 ч); значение 100, используемое по умолчанию, вполне приемлемо для решения большинства простых задач.

78

Предельное число итераций – управляет временем решения задачи путем ограничения числа вычислительных циклов (итераций).

Точность ограничения – определяет точность вычислений. Чем меньше значение этого параметра, тем выше точность вычислений.

Целочисленная оптимальность – параметр предназначен для задания допуска на отклонение от оптимального решения. Чем больше значение допуска, тем меньше времени требуется на поиск решения.

Сходимость – применяется только к нелинейным задачам. Когда относительное изменение значения в целевой ячейке за последние пять итераций становится меньше числа, указанного в поле Сходимость, поиск прекращается.

Неотрицательные значения – позволяет установить нулевую нижнюю границу для тех ячеек, для которых не было задано соответствующее ограничение в диалоговом окне Добавить ограничение.

Показывать результаты итераций – приостанавливает поиск решения для просмотра результатов отдельных итераций.

Загрузить модель – после щелчка на этой кнопке открывается одноименное диалоговое окно, в котором можно ввести ссылку на диапазон ячеек, содержащих модель оптимизации.

Сохранить модель – служит для отображения на экране одноименного диалогового окна, в котором можно ввести ссылку на диапазон ячеек, предназначенный для хранения модели оптимизации.

Оценка линейная – переключатель для работы с линейной моделью.

Оценка квадратичная – переключатель для работы с нелинейной моделью.

Разности прямые – используется в большинстве задач, где скорость изменения ограничений относительно невысока. Увеличивает скорость работы надстройки Поиск решения.

79

Разности центральные – используется для функций, имеющих разрывную производную. Данный способ требует больше вычислений, однако его применение может быть оправданным, если выдано сообщение о том, что получить более точное решение не удается.

2.5. Анализ отчетов

Отчет о результатах

В отчете о результатах выводятся значения целевой функции, переменных и ограничений (рис. 2.8).

Рис. 2.8

Первая строка, которую выдает программа, – это значение целевой функции, где:

–1.1 – ячейка, где располагается формула целевой функции,

–1.2 – наименование целевой функции,

–1.3 – первоначальное значение целевой функции,

–1.4 – оптимальное значение целевой функции.

Вторая строка – это значения основных переменных, где:

–2.1 – ячейки, где располагаются основные переменные прямой задачи,

–2.2 – наименование основных переменных прямой задачи,

–2.3 – первоначальные значения основных переменных прямой задачи,

–2.4 – оптимальные значения основных переменных прямой задачи,

80