Экономические задачи линейного программирования и их решение с испол

–2.5 – условие на целочисленность основных переменных прямой задачи.

Третья строка – значения системы ограничений, где:

–3.1 – ячейки, где располагаются формулы системы ограни-

чений,

–3.2 – наименование ограничений,

–3.3 – количество использованных ресурсов (значения ограничений),

–3.4 – условие ограничения,

–3.5 – состояние использования ресурса (полностью использован или имеются остатки),

–3.6 – количество остатка ресурсов (значение дополнительных переменных прямой задачи).

Отчет об устойчивости

Отчет об устойчивости определяет чувствительность структуры полученного плана к изменению начальных данных и необходим для улучшения результатов. Такой отчет не создается для моделей, значения в которых ограничены множеством целых чисел. Рассмотрим отчет об устойчивости на рис. 2.9.

Рис. 2.9

Ячейки переменных:

–1.1 – ячейки, где располагаются основные переменные прямой задачи;

–1.2 – наименования основных переменных прямой задачи;

81

–1.3 – оптимальные значения основных переменных прямой задачи;

–1.4 – приведенная стоимость (значения дополнительных переменных двойственной задачи) – характеризует эффективность того или иного варианта плана (выпуска продукта). Если приведенная стоимость равна 0, то соответствующую продукцию производить выгодно, она вошла в оптимальный план. Если приведенная стоимость больше 0, то эта продукция на рассматриваемых условиях невыгодна. Чем больше приведенная стоимость, тем менее эффективна соответствующая продукция (см. использование двойственных оценок подразд. 1.5);

–1.5 – коэффициенты эффективности целевой функции;

–1.6 и 1.7 – границы допустимых изменений значений коэффициентов эффективности целевой функции при условии, что количество оптимальной продукции (план) не изменится.

Ограничения:

–2.1 – ячейки, где располагаются формулы системы ограни-

чений;

–2.2 – наименование ограничений;

–2.3 – количество использованных ресурсов (значения ограничений);

–2.4 – теневая цена (значения основных переменных двойственной задачи), показывает ценность единицы соответствующего ресурса. Если теневая цена равна 0, то соответствующий ресурс

визбытке. Если теневая цена больше 0, то этот ресурс в дефиците. Данный показатель указывает на то, как изменится оптимальное значение целевой функции при изменении запасов ресурсов на единицу. Если увеличить дефицитный ресурс на единицу, то целевая функция изменится на значение теневой цены. Но данное изменение действует только в границах допустимых изменений значений запасов ресурсов;

–2.5 – запасы ресурсов;

–2.6 и 2.7 – границы допустимых изменений значений запасов ресурсов, при которых двойственная оценка не изменится (диапазон устойчивости двойственной оценки).

82

Отчет о пределах

Третий отчет, который выдает программа, – это отчет о преде-

лах (рис. 2.10).

Рис. 2.10

В данном отчете показано оптимальное значение целевой функции и оптимальное значение основных переменных. Также представлены значения целевой функции при верхних и нижних пределах основных переменных.

2.6.Пример решения задачи линейного программирования

спомощью надстройки «Поиск решения»

Постановка задачи

Фирма производит два вида продукции – А и В – по определенной цене. На их производство требуется четыре вида ресурсов: S1, S2, S3, S4, которые есть в наличии на фирме в определенном количестве. Нормы расхода ресурсов на изготовление единицы данного вида продукции, цена, получаемая от реализации единицы продукции, а также запасы ресурсов указаны в табл. 2.1.

83

Определить объем производства продукции А и В с целью получения максимальной выручки при ограниченном количестве сырья и существующих нормах.

Моделирование

Пусть х1 – количество выпускаемой продукции А (шт.); х2 – количество выпускаемой продукции В (шт.).

Тогда целевая функция

z = 15x1 + 25x2 → max.

Система ограничений:

0,5x1 0, 4x2 120,x1 2x2 200,1,7x1 2x2 240,0,5x1 0, 4x2 70,

х1, х2 ≥ 0.

Приведем систему ограничений в канонический вид:

0,5x1 0, 4x2 x3 120,x1 2x2 x4 200,

1, 7x1 2x2 x5 240,0,5x1 0, 4x2 x6 70,

х1, х2, х3, х4, х5, х6 ≥ 0,

где х1, х2 – основные переменные прямой задачи (ячейки переменных), которые обозначают оптимальный план производства;

х3, х4, х5, х6 – дополнительные переменные прямой задачи (допуск), которые обозначают остаток ресурсов на складе;

z – целевая функция прямой задачи (ячейка целевой функции) на максимум получаемой выручки.

Построим модель двойственной задачи. Каждому неравенству поставим в соответствие переменные y1, y2 , y3 , y4 , которые оценивают единицу соответствующего ресурса.

84

Прямая задача:

z = 15x1 + 25x2 → max,

х1, х2 ≥ 0.

По правилам, описанным в подразд. 1.6, построим двойственную задачу.

Двойственная задача:

f = 120y1 + 200y2 + 240y3 + 70y4 → min,

0,5y1 y2 1,7 y3 0,5y4 15,0, 4y1 2 y2 2y3 0, 4 y4 25,

y1, y2, y3, y4 ≥ 0.

Каноническая форма двойственной задачи:

f = 120y1 + 200y2 + 240y3 + 70y4 → min,

0,5y1 y2 1,7 y3 0,5y4 y5 15,0, 4y1 2 y2 2y3 0, 4 y4 y6 25,

y1, y2, y3, y4, y5, y6 ≥ 0,

где y1, y2, y3, y4 – основные переменные двойственной задачи (теневая цена), которые оценивают единицу соответствующего ресурса; y5, y6 – дополнительные переменные двойственной задачи (приведенная стоимость), которые оценивают соответствующий вари-

ант плана (продукцию А, В);

f – целевая функция двойственной задачи на минимум. Рассмотрим соответствие обозначений параметров в теории

задач линейного программирования и в надстройке Поиск решения

(табл. 2.2).

85

86

Решение задачи

Составим таблицу на листе в MS Excel для решения задачи

(рис. 2.11).

Рис. 2.11

Далее нам надо установить взаимосвязи между ограничениями, неизвестными и целевой функцией. Для этого мы строим дополнительный столбец Использовано, в котором вводим формулу: =СУММПРОИЗВ(Норма; План). Норма – это затраты определенного ресурса на производство единицы продукции А и B, а План – количество продукции, которое мы ищем. В ячейке Выручка вводим формулу =СУММПРОИЗВ(Цена; План). Ввод формул со ссылками на ячейки представлен на рис. 2.12.

Рис. 2.12

Таким образом, мы заполнили формулами столбец Использовано и ячейку Выручка. Поскольку план – это переменные, от кото-

87

рых зависит количество использованных ресурсов и выручка, то ячейки с формулами напрямую зависят от данных, которые там появятся в результате поиска решений.

Примечание: вторым способом ввода формул является надстройка Мастер функций, которая находится на вкладке Формулы. Щелчком по иконке Вставить функцию вызовите диалоговое окно

Мастер функций (рис. 2.13). Выберите категорию Полный алфа-

витный перечень. Из всех представленных функций выберите функцию СУММПРОИЗВ и щелкните ОК.

Появится диалоговое окно ввода функции Аргументы функции (рис. 2.14), в котором необходимо ввести ссылки на ячейки. Для ограничений в поле Массив 1 введите адрес ячеек нормы расхода B3:C3, а в поле Массив 2 введите адрес ячеек плана производства B8:C8. Диалоговое окно ввода функции для ячейки целевой функции представлено на рис. 2.15.

Рис. 2.13

88

1.В поле Оптимизировать целевую функцию введем адрес ячейки целевой функции Е7.

2.Ниже выберем параметр Максимум.

3.В поле Изменяя ячейки переменных введем диапазон ячеек

сискомыми переменными B8:С8.

4.Установим флажок Сделать переменные без ограничений неотрицательными и выберем параметр Поиск решения линейных задач симплекс-методом.

Рис. 2.16

5.Щелчком по кнопке Добавить вызовем окно Добавление ограничения. В этом окне проставим ссылки на ячейки ограничений,

атакже выберем оператор ограничений (рис. 2.17). Аналогично введем другие ограничения.

6.Кнопкой Найти решение запустим процедуру выполнения поиска решения.

90