Экономические задачи линейного программирования и их решение с испол
..pdfтойчивости по коэффициенту целевой функции. Пусть сj′′ – максимальное значение коэффициента целевой функции, при котором оптимальное решение х* исходной задачи не изменится. Тогда величину сj′′называют верхней границей устойчивости по коэффициенту целевой функции.
Пример решения задачи в Microsoft Excel
Постановка задачи
Запланировать производство четырех видов деталей № 1, № 2, № 3, № 4 на участке, располагающем пятью группами металлорежущего оборудования.
Исходные данные задачи представлены в табл. 3.1.
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.1 |
|
|
|
|
|
|
||
Группы |
Потребное операционное время |
Действительный |
|||||
|
на обработку детали, мин |
|
фонд времени, |
||||
оборудования |
|
|
|||||
№ 1 |
|
№ 2 |
№ 3 |
|
№ 4 |
мин |
|
|
|
|
|||||
А |
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
100 |
Б |
4 |
|
1 |
2 |
|
0 |
120 |
В |
2 |
|
3 |
1 |
|
5 |
150 |
Г |
2 |
|
0 |
4 |
|
3 |
140 |
Д |
5 |
|
6 |
5 |
|
7 |
200 |
Себестоимость |
|
|
|
|
|
|
|
изготовления |
40 |
|
45 |
50 |
|
35 |
|
детали, руб. |
|
|
|
|
|
|
|
Оптовая цена |
80 |
|
90 |
100 |
|
70 |
|
детали, руб. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить оптимальный ассортимент по критерию:
1.Максимум товарной продукции.
2.Максимум товарной продукции, если деталей № 2 в два раза больше, чем деталей № 3.
3.Минимум суммарной себестоимости, если объем производства всех деталей 2000 руб.
4.Максимум товарной продукции, если дополнительно заданы затраты рабочего времени в часах на единицу каждого изделия: 5, 6, 7, 4 ч, а фонд рабочего времени составляет 900 ч.
101
Дать сравнительный анализ результатов решения по первым четырем задачам.
5. Определить в первой задаче, как повлияет на объем товарной продукции увеличение каждого из видов ресурсов на единицу. По первому критерию определить максимальное увеличение дефицитного ресурса, при котором сохраняется устойчивость двойственной оценки. Оценить изменение целевой функции при увеличении дефицитного ресурса, если двойственная оценка устойчива.
Модель 1
Обозначим переменные величины:
–х1 – количество выпускаемых деталей № 1,
–х2 – количество выпускаемых деталей № 2,
–х3 – количество выпускаемых деталей № 3,
–х4 – количество выпускаемых деталей № 4. Тогда целевая функция
z = 80x1 + 90x2 + 100x3 + 70x4 → max.
Система ограничений:
x1 2x2 |
3x3 |
4x4 |
100, |
|||||
4x |
x |
2x |
120, |
|
||||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3x2 |
x3 |
5x4 |
150, |
|||
2x1 |
||||||||
2x |
4x |
|
3x |
4 |
140, |
|||
|
1 |
3 |
|
|
|
|
||
5x |
6x |
|
5x |
|
7x |
4 |
200, |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|||
x1, x2, x3, x4 ≥ 0.
Решение
Найдем решение путем оптимизированного компьютерного моделирования в среде электронных таблиц MS Excel.
На рабочий лист Excel введем исходные данные (рис. 3.1). Для нахождения целевой функции следует использовать
функцию Excel СУММПРОИЗВ из категории математических: =СУММПРОИЗВ(В9:E9;B10:E10). Значение введенной целевой функции равно нулю, так как значения объема производства тоже пока нулевые (рис. 3.2).
102
Рис. 3.1
Рис. 3.2
При вводе формул ограничений по материалу следует вновь использовать формулу СУММПРОИЗВ. При этом формулу достаточно ввести один раз в ячейку G3: =СУММПРОИЗВ($B$10:$E$10;B3:E3), сделав абсолютные ссылки на диапазон ячеек, где хранятся значения переменных (рис. 3.3). Затем – растянуть формулу для всех остальных ограниченийвдиапазонеG3:G7.
103
Рис. 3.3
Оптимизация рассматриваемой модели, т.е. поиск неизвестных, при которых достигается максимум целевой функции и удовлетворяются все введенные условия, выполняется встроенной процедурой автоматического поиска решения. На закладке Данные в группе Анализ необходимо вызвать диалоговое окно Поиск решения, в котором произвести следующие установки (рис. 3.4):
1.В поле Оптимизировать целевую ячейку введите адрес це-
левой функции G11.
2.Ниже выберите параметр Максимум.
3.В поле Изменяя ячейки переменных введите диапазон ячеек
сискомыми переменными B10:G10.
4.Установите флажок Сделать переменные без ограничений неотрицательными и выберите параметр Поиск решения линейных задач симплекс-методом.
5.Щелчком по кнопке Добавить вызовите окно Добавление ограничения. В этом окне выполните ссылки на ячейки ограничений, а также выберите оператор ограничений. Аналогично введите другие ограничения.
104
Рис. 3.4
6.Введите ограничение по целостности переменных среди прочих операторов ограничений, если необходимо, чтобы значения были целыми числами.
7.Задав ограничения, из окна Поиск решения кнопкой Параметры вызовите окно Параметры, где установите необходимые настройки и нажмите ОК (для решения простых задач настройки можно оставить по умолчанию).
8.Кнопкой Найти решение запустите процедуру выполнения поиска решения.
Выполнение процедуры завершается выводом окна Результа-
ты поиска решения.
105
Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены. Устанавливаем флажок в положении Сохранить найденное решение. Для анализа результатов решения задачи сформируем отчет, для этого выделяем Отчеты (рис. 3.5). Отчет автоматически сформируется на отдельном листе Excel.
Рис. 3.5
Запускаем операцию Сохранить сценарий, в окне вводим имя сценария и нажимаем ОК (рис. 3.6).
Рис. 3.6
Результаты решения задачи представлены на рис. 3.7.
106
Рис. 3.7
В результате поиска решения получаем оптимальный ассортимент продукции: № 1 = 10 шт., № 2 = 0 шт., № 3 = 30 шт., № 4 = = 0 шт. А максимум выручки при этом составит 3800 руб.
Анализ отчетов
Необходимо проанализировать отчеты, которые мы получаем при решении задачи. На рис. 3.8 представлен отчет о результатах.
Проанализировав данные отчета о результатах, получим следующие значения.
Оптимальное значение целевой функции zmax = 3800 руб.
Рис. 3.8
107
Значения основных переменных прямой задачи:
х1 = 10 шт., х2 = 0 шт., х3 = 30 шт., х4 = 0 шт.
Значения использованного фонда времени оборудования:
А – 100, Б – 100, В – 50, Г – 140, Д – 200.
Значения дополнительных переменных прямой задачи (допуск) –
остаткифондавремениоборудования:
x5 = 0, x6 = 20, x7 = 100, x8 = 0, x9 = 0.
На рис. 3.9 представлен отчет об устойчивости.
Рис. 3.9
Проанализировав данные отчета об устойчивости, получим следующие значения.
Приведенная стоимость. Приведенная стоимость – это значения дополнительных переменных двойственной задачи; они соответствуют основным переменным прямой задачи и оценивают тот или иной вариант плана.
Детали № 1 соответствует приведенная стоимость, равная 0. Детали № 2 соответствует приведенная стоимость, равная –14. Детали № 3 соответствует приведенная стоимость, равная 0. Детали № 4 соответствует приведенная стоимость, равная –68. Детали № 1 и № 3 производить выгодно, они вошли в опти-
мальный план, так как их приведенная стоимость равна нулю. Детали № 2 и № 4 производить невыгодно, так как их приведенная стоимость меньше нуля.
108
Значения коэффициентов эффективности целевой функции
и их диапазон: |
|
62,5 ≤ (с1 = 80) ≤ 100, |
–∞ ≤ (с2 = 90) ≤ 104, |
80 ≤ (с3 = 100) ≤ 240, |
–∞ ≤ (с4 = 70) ≤ 138. |
Это означает, что изменение коэффициентов целевой функции
вданных пределах не повлияет на оптимальный план производства (т.е. цены на детали № 1, № 2, № 3 и № 4 могут варьироваться
вэтих пределах).
Значения основных переменных двойственной задачи (теневая цена) – двойственная оценка ресурсов:
y1 = 10, y2 = 0, y3 = 0, y4 = 0, y5 = 14.
Наиболее дефицитными являются группы оборудования А и Д. Теневая цена этих групп оборудования составляет 10 и 14 соответственно, т.е. при изменении фонда времени соответствующих групп оборудования на единицу выручка увеличится на 10 + 14 = 28 руб.
Диапазон устойчивости двойственных оценок ресурсов:
80 ≤ (А = 100) ≤ 100, 100 ≤ (Б = 100) ≤ ∞, 50 ≤ (В = 50) ≤ ∞, 140 ≤ (Г = 140) ≤ ∞, 167 ≤ (Д = 200) ≤ 200.
Следовательно, изменение действительного фонда времени групп оборудования в данных пределах не повлияет на значения двойственных оценок, а значит, и на эффективность дополнительной единицы соответствующего ресурса.
На рис. 3.10 представлен отчет о пределах.
Рис. 3.10
109
Проанализировав данные отчета о пределах, сделаем вывод, что при значении № 1 = 0 получим Z = 300, при значении № 2 = 0 или № 4 = 0 получим Z = 3800, а при значении № 3 = 0 Z = 800.
Выводы
Выпуск продукции: в данной задаче максимум товарной продукции составит 3800 руб. при производстве деталей № 1 = 10 шт.,
№ 2 = 0 шт., № 3 = 30 шт., № 4 = 0 шт.
Использование ресурсов: действительный фонд времени групп оборудования вида А, Г и Д использован полностью в объемах соответственно 100, 140 и 200 мин. Действительный фонд времени групп оборудования вида Б использован не полностью, останется 20 мин. Действительный фонд времени групп оборудования вида В использован не полностью, останется 100 мин.
Оценки ресурсов: для избыточных ресурсов вида Б и В двойственные оценки равны 0.
Полностью используемые ресурсы вида А, Г и Д имеют двойственные оценки больше 0. Самым эффективным является ресурс вида Д, так как его двойственная оценка максимальна. Величина двойственной оценки (например, для Д) показывает, что на 14 руб. увеличится выручка фирмы; если при всех равных условиях увеличить объем ресурса Д на 1 мин, т.е. взять не 200, а 201 мин и оптимально решить задачу, то целевая функция будет равна 3800 + 14 = 3814 руб. Данное утверждение справедливо для всех оценок в пределах их устойчивости. Например, для Д можно увеличить объем на 40 мин ииметьувеличениевыручкинавеличину 14 · 40 = 560 руб.
Оценки вариантов плана: продукцию вида № 1 и № 3 выгодно производить, так как соответствующие дополнительные переменные двойственной задачи равны нулю (см. приведенную стоимость). Эти изделия вошли в оптимальный план. Относительно продукции № 2 и № 4 можно сказать, что более выгодно производить № 2, так как ее приведенная стоимость меньше.
Оценка коэффициентов эффективности: объем выручки не изменится, если цены на продукцию будут находиться в следующих пределах:
62,5 руб. ≤ Цена продукции № 1 ≤ 100 руб,
110