Сопротивление материалов. Примеры решения типовых задач

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

Т.В. Чернова

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебно-методического пособия

Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета

2015

3

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Каждый студент по теме практического занятия получает индивидуальное задание. Расчетные схемы и числовые данные для каждой работы выбираются по шифру, выдаваемому преподавателем.

Задания по дисциплине «Сопротивление материалов» являются самостоятельной работой студентов по практическому применению основных теоретических положений курса с целью углубленного освоения программного материала, приобретения навыков выбора методик решения поставленных задач и проведения инженерныхрасчетов, пользования справочнойлитературой.

Индивидуальные задания оформляются в отдельной тетради в виде пояснительной записки, которая включает: титульный лист с обязательным указанием темы задания, шифра задания; расчетную часть; графическое построение (с обязательным соблюдением масштаба).

Расчетная часть должна состоять из исходных данных и расчетной схемы или эскиза с указанием всех необходимых для расчета величин в соответствии с шифром задания. Нужно помнить, что необходимая информация для решения задачи дается, как правило, начертежах, поэтому ихнужновыполнятькрайнеаккуратно.

Каждый этап работы нумеруется и снабжается заголовками в соответствии с пунктами, указанными в содержании работы, необходимыми пояснениями и схемами. При выполнении расчетов сначала необходимо записывать выражения в общем виде, далее при определении из формул численного значения какой-либо величины подставляют численные значения всех букв, затем приводят результаты без промежуточных выкладок. Указание всех размеров, а также размерностей всех величин обязательно. Работы, оформленные небрежно и без соблюдения предъявляемых к ним требований, не рассматриваются. Работы выполняются в срок, предусмотренный учебным планом.

4

ПЕРЕЧЕНЬ ТЕМ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

1.Расчет стержней при косом изгибе.

2.Расчет на прочность при циклическом нагружении.

3.Определение перемещений методом Мора.

4.Расчет статически неопределимых стержневых систем методом сил.

5.Расчет движущихся систем с учетом сил инерции.

6.Расчеты на удар.

7.Расчеты на устойчивость продольно сжатых стержней.

5

ТЕМА 1. РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ ПРИ КОСОМ ИЗГИБЕ

Сложным сопротивлением называется такой общий случай нагружения бруса внешними нагрузками, когда в его поперечных сечениях возникает сразу несколько внутренних силовых факторов: продольные и поперечные силы, крутящий и изгибающие моменты. Эти внутренние силовые факторы связаны с четырьмя простыми деформациями бруса: растяжением (сжатием), сдвигом, кручением и изгибом.

Косой изгиб – вид сложного сопротивления, при котором силовая плоскость Р-Р не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции бруса (рис. 1.1). При косом изгибе в поперечном сечении бруса возникают четыре внутренних усилия: Qz, Qy – поперечные силы; Мz, Мy – изгибающие моменты. Косой изгиб может рассматриваться как сочетание двух плоских изгибов во взаимно перпендикулярных плоскостях инерции.

Рис. 1.1

В общем случае действия нагрузок на брус для определения напряженного состояния используется принцип механики деформируемого твердого тела (в случае соблюдения закона

6

Гука между напряжением и деформацией) – принцип независимости действия сил, т.е. каждый из простых видов сопротивления, входящих в состав сложного, рассматривается независимо от остальных, а затем находится суперпозиция (сумма) полученных решений (для внутренних усилий, напряжений, деформаций и т.д.).

Общая методика решения задач на сложное сопротивление

1.Все заданные нагрузки проектируются на две главные плоскости инерции – плоскости, проходящие через продольную ось и одну из главных центральных осей инерции поперечного сечения.

2.В каждой плоскости строятся эпюры внутренних силовых факторов, сопоставление которых позволяет установить положение опасного сечения – сечения, в котором внутренние усилия максимальны по абсолютной величине.

3.В опасном сечении определяются наибольшие нормальные и касательные напряжения, находится положение нейтральной оси (линии) – это линия, во всех точках которой нормальные напряжения равны нулю, и устанавливается положение опасных, т.е. наиболее напряженных, точек при одновременном действии всех внутренних силовых факторов.

4.В опасной точке выясняется характер напряженного состояния и составляется условие прочности, на основании которого решается одна из трех типов задач (проверочная, проектировочная, определение несущей способности).

Если элемент бруса в опасной точке находится в линейном напряженном состоянии, то все напряжения одного вида суммируются алгебраически. Для обеспечения прочности бруса полученное таким образом наибольшее суммарное напряжение должно быть меньше допускаемого напряжения.

7

Если элемент бруса в опасной точке находится в сложном напряженном состоянии, то условие прочности составляется с применением одной из теорий предельного состояния.

Правило знаков для внутренних усилий: поперечные силы положительны, если под их действием отсеченный элемент поворачивается по часовой стрелке; изгибающие моменты положительны, если вызывают растяжение в положительном квадранте координатной системы.

Основные формулы для расчетов

1. Общие результирующие внутренние усилия при сложном сопротивлении (см. рис. 1.1):

а) полная поперечная сила

Q = Qz2 + Qy2 ;

б) полный изгибающий момент

М= Мz2 + M y2 .

2.Нормальное напряжение при косом изгибе

σ = ± M y z ± M z y,

где M y , M z – изгибающие моменты относительно осей y и z соответственно; J y , Jz – моменты инерции сечения; y, z – коор-

динаты точки, в которой определяется напряжение.

Mz, My, z, y подставляются с учетом знака (Mz > 0 и My > 0, если они вызывают растяжение в I четверти).

3. Условие прочности по нормальным напряжениям при косом изгибе

8

ного сечения относительно осей y и z; [σ] – допускаемое нор-

мальное напряжение.

Знак каждого из слагаемых зависит только от знака опасной точки сечения, если главные центральные волокна направляем в сторону растянутых волокон.

4. Уравнение нейтральной оси (линии) прикосомизгибе(рис. 1.2)

y = − Jz tgα z. J y

Пример 1.1

Для заданного стального бруса (рис. 1.3) прямоугольного поперечного сечения подобрать размеры сечения с отношением сторон h/b = 4, если [σ] = 160 МПа.

Решение:

1. Определим внутренние силовые факторы. Мысленно разрежем брус по двум главным осям сечения. Построим эпюры изгибающих моментов (рис. 1.4, а, б).

9