Сопротивление материалов. Примеры решения типовых задач

9. Вычислить интегралы Мора в пределах каждого участка балки и, суммируя результаты вычислений, найти величину угла поворота сечения в точке В оси балки.

Указание: числовые данные и виды схем выбираются в соответствии с шифром по табл. 3.1 и рис. 3.7.

Таблица 3 . 1

Вопросы для самопроверки

1.Как записывается интеграл Мора для пространственной стержневой системы?

2.Как определяется интеграл Мора для стержневой системы, работающей на кручение?

3.Как записывается интеграл Мора для стержневой системы, работающей на изгиб?

4.Как записывается интеграл Мора для стержневой системы, работающей на растяжение (сжатие)?

5.Порядок определения перемещений с помощью интеграла Мора.

6.Чтоназываетсягрузовымиединичнымсостояниемсистемы?

7.Особенности разбиения грузовой и единичной эпюр на

участки.

8.Особенности перемножения эпюр внутренних силовых факторов способом Верещагина.

41

ТЕМА 4. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ

Статически неопределимой стержневой системой называется система, в которой число неизвестных реакций больше, чем число уравнений статики.

Одним из методов расчета статически неопределимых стержневых систем является метод сил, в котором за неизвестные принимаются внутренние усилия в стержнях системы.

Общая методика раскрытия статической неопределимости методом сил

1. Определяется степень статической неопределимости Sn ,

т.е. разница между количеством неизвестных и количеством уравнений статики.

Для систем, статически неопределимых только внешним образом, когда лишними неизвестными являются реакции опорных закреплений, применяют метод отбрасывания лишних связей:

Sn = n − 3,

где n – число неизвестных реакций в системе.

Для стержневых систем рамного типа с внутренней или комбинированной статической неопределимостью, когда среди лишних неизвестных имеются внутренние усилия в стержнях, используется метод замкнутых контуров:

Sn = 3К− Ш,

где К – количество замкнутых контуров; Ш – одиночный шарнир, Ш = m – 1, m – количество соединяющихся стержней в шарнире.

42

2. Выбирается основная система.

Основная система – это статически определимая и геометрически неизменяемая стержневая система, полученная из заданной путем отбрасывания лишних связей. Отбрасывая те или иные лишние связи, для статически неопределимой системы можем получить несколько основных систем. Не все они равноценны. Рациональной будет та основная система, которая позволит быстрее получить окончательное решение. При выборе основной системы изменение опорных закреплений может идти только по пути их упрощения, необходимо исключить использование геометрически и мгновенно измеряемых основных систем.

3. Составляется эквивалентная система.

Эквивалентная система – это основная система, нагруженная заданной нагрузкой и лишними неизвестными.

4.Записывается система канонических уравнений. Общее число канонических уравнений зависит от степени статической неопределимости.

5.Определяются коэффициенты канонических уравнений: а) при определении грузовых коэффициентов в основной

системе, нагруженной только заданной нагрузкой, строится грузовая эпюра внутренних силовых факторов;

б) при определении главных и побочных коэффициентов в основной системе, нагруженной только единичной силой, строятся единичные эпюры внутренних силовых факторов.

6.Решая систему канонических уравнений с найденными коэффициентами, определяют все лишние неизвестные.

7.Основная система нагружается заданной нагрузкой и найденными лишними связями, и строится окончательная эпюра внутренних силовых факторов.

8.Выполняется деформационная проверка, проверка правильности расчета статически неопределимой системы.

8.1.Для заданной статически неопределимой системы выбирается новая, ранее не используемая, основная система.

43

8.2.По направлению каждой отброшенной связи прикладывается единичное усилие.

8.3.От каждого усилия строится единичная эпюра внутренних силовых факторов.

8.4.Путем умножения единичной эпюры на окончательную эпюру определяются перемещения в новой основной системе. Если найденные перемещения по направлениям каждой отброшенной связи равны нулю, то можно говорить о правильности окончательной эпюры внутренних силовых факторов.

Основные формулы для расчетов

1. Система канонических уравнений метода сил

j-й точки основной системы под действием i-й единичной силы; jp – перемещение j-й точки основной системы под действием

внешних сил.

2. Перемещения, входящие в систему канонических уравнений:

а) грузовой коэффициент

где M p – изгибающий грузовой момент от заданной внешней нагрузки; M j – изгибающий единичный момент от приложенной единичной силы;

44

б) побочный коэффициент

где M j – изгибающий единичный момент от единичной силы, приложенной в j-й точке; Mi – изгибающий единичный момент

от единичной силы, приложенной в i-й точке; в) главный коэффициент

где M j – изгибающий единичный момент от единичной силы, приложенной в j-й точке.

Пример 4.1

Раскрыть статическую неопределимость стержневой системы, показанной на рис. 4.1.

Рис. 4.1

45

Дано: l1 = 3 м, l2 = 2 м, М = 20 кН·м.

Решение:

1.Вычертим схему балки с указанием всех численных величин (см. рис. 4.1).

2.Определим степень статической неопределимости рамы:

Sn = 4 − 3 = 1.

Система один раз статически неопределима.

3. Изобразим несколько основных систем для заданной стержневой системы.

Выберем для расчета систему 1.

4. Составим эквивалентную систему. Реакцию отброшенной опоры заменяем неизвестной силой x1 (рис. 4.2).

46

6. Строим эпюры грузового и единичного изгибающих моментов (рис. 4.3, а, б).

Эпюра грузового изгибающего момента

а

Эпюра единичного изгибающего момента

б

Рис. 4.3

7. Вычисляем коэффициенты δ11 и 1 p .

Найдем коэффициент δ11 путем перемножения эпюр моментов от единичной нагрузки саму на себя:

47

Найдем коэффициент 1 p путем перемножения эпюр грузового и единичного изгибающих моментов:

8. Подставим найденные коэффициенты в каноническое уравнение метода сил и находим неизвестную реакцию x1 :

Направление реакции x1 обратно направлению единичной силы x10 .

9. Построим окончательные эпюры поперечных сил и изгибающих моментов с учетом найденной силы (рис. 4.4)

Рис. 4.4

10. Выполним деформационную проверку решения. Для этого выберем новую основную систему – систему 2 (рис. 4.5, а).

Реакции отброшенных опор заменяем единичным безразмерным моментом x10 .

48