Сопротивление материалов. Примеры решения типовых задач

Даная балка имеет статическую неопределенность равную двум.

2. Изобразим несколько основных систем для заданной балки.

Выберем для расчета систему 1.

3.Отбрасываем два подвижных шарнира (в сечении C и D ), запрещающих изгиб балки. Реакции отброшенных опор заменяем неизвестнымисилами x1 и x2 .

4.Составим систему канонических уравнений метода сил:

51

ния C от приложенной расчетной нагрузки; δ22 – прогиб сечения D от единичной силы x20 , приложенной в направлении не-

ной силы x20 и сечения D от единичной силы x10 . 5. Построим эпюру грузовых моментов:

а) составим уравнения равновесия и определим реакции опор RB и RA :

Проверка:

PY = RB − RA − P − 4q = 250 −135 − 55 − 4 15 = 0;

б) составим уравнения поперечных сил и изгибающих моментов по участкам.

Изгибающий момент в сечении балки равен алгебраической сумме моментов относительно данного сечения всех внешних сил, приложенных к отсеченной части. Момент считается положительным, если сжатые волокна находятся в верхней части сечения балки.

Примем за начало отсчета сечение А. На участке АВ, x (0;4),

Qp (x) = −RA − qx = −135 − 15x , Qp (0) = −135 кН,

52

M p (4) = −660 кН·м.

На участке ВЕ, x (4;16),

Qp (x) = −RA − qx + q(x − 4) + RB = 55 , Qp (4) = 55 кН,

M p (4) = −660 кН·м, M p (16) = 0 кН·м.

Построение эпюры грузовых моментов M p (x) произво-

дится по участкам на основе полученных уравнений (рис. 4.6, б). Характер эпюры на каждом участке определяется типом уравнения, описывающего изменения величины M p (x).

6. Построим эпюру моментов от действия единичной силы x10 = 1, приложенной в сечении С.

Составим уравнения равновесия и определим реакции опор RB и RA :

M B = 4x10 − 4RA = 0 , RA = 1,

M A = 8x10 − 4RB = 0 , RB = 2 .

Строим эпюру моментов M1 от единичной силы x10 = 1 (рис. 4.6, в).

53

7. Построим эпюру моментов от действия единичной силы x20 = 1, приложенной в сечении D .

Составим уравнения равновесия и определим реакции опор RB и RA :

M B = 10x20 − 4RA = 0 , RA = 2,5,

M A = 14x20 − 4RB = 0 , RB = 3,5.

грузовых моментов на эпюры моментов от единичных сил:

54

10. Подставляем найденные коэффициенты в каноническое уравнение метода сил и находим неизвестные реакции x1 и x2 :

ничной силы x20 , а направление реакции x1 обратно направлению единичной силы x10 .

11. Построим окончательные эпюры поперечных сил и изгибающих моментов с учетом найденных сил (рис. 4.7, а).

Составим уравнения равновесия и определим реакции опор RB и RA :

55

Проверка:

PY = −RA − RB + P + 4q + x1 − x2 =

=−23,8 + 55 − 51,8 + 40,2 − 79,6 + 15 4 = 0.

Строим эпюру окончательных поперечных сил и изгибающих моментов Mок (x) (рис. 4.7, б, в).

12. Произведем деформационную проверку решения. Для этого выберем другую основную систему, например систему 2. Реакции отброшенных опор заменяем единичными силами

x10 и x20 .

Построим эпюру моментов от действия единичной силы x10 = 1, приложенной в сечении В.

Составим уравнения равновесия и определим реакции опор RA и RC :

M A = 4x10 − 8RC = 0 , RC = 0,5,

MC = 4x10 − 8RA = 0 , RA = 0,5.

Строим эпюру моментов M1 от единичной силы x10 = 1 (рис. 4.7, г).

Производим перемножение эпюры моментов от единичной силы x10 = 1 на эпюру суммарных моментов:

56

Итак, реакции x1 и x2 найдены верно.

13. Подберем из условия прочности стандартный двутавр. Условие прочности по нормальным напряжениям при из-

гибе имеет вид σmax = Mmax ≤ [σ].

W

Наибольший по модулю момент достигается в сечении D:

Mmax = 110 кН·м.

Определяем из условия прочности момент сопротивления сечения балки:

Выбираем в качестве профиля сечения двутавр № 33

с Wx = 597 см3 и J = 9840 см4.

Задание 4.1

Для заданной статически неопределимой стержневой системы раскрыть статическую неопределимость и определить угол поворота сечения в точке С, если ЕJ = 2·105 МПа.

Содержание работы:

1.Определить степень статической неопределимости.

2.Выбрать из возможных основных систем наиболее рациональную.

3.Составить эквивалентную систему.

4.Для выбранной основной системы определить реакции опор от заданной нагрузки и построить грузовую эпюру изгибающих моментов.

58

5.В эквивалентной системе вместо «лишней» неизвестной реакции приложить единичную безразмерную силу и определить от ее действия опорные реакции, построить единичную эпюру изгибающих моментов.

6.Записать систему канонических уравнений метода сил.

7.Определить все коэффициенты уравнений и, разрешив систему, определить величину лишней неизвестной силы.

8.От совместного действия найденной силы и заданной нагрузки определить опорные реакции и построить окончательную эпюру изгибающих моментов.

9.Выполнить деформационную проверку правильности определения лишней неизвестной силы.

10.В одной из основных систем приложить в точке С единичный безразмерный момент, определить опорные реакции и построить единичную эпюру изгибающих моментов.

11.Определить угол поворота в точке С по способу Вере-

щагина.

Указание: виды схем и числовые данные выбираются

всоответствии с шифром по рис. 4.8 и табл. 4.1.

Таблица 4 . 1

59