Сопротивление материалов. Примеры решения типовых задач

5. Определим наибольшее динамическое напряжение. Из рассмотрения грузовой эпюры изгибающих моментов следует, что наибольший изгибающий момент при статическом действии силы Р возникает в сечении, где приложена сила Mmax = 150 Н.

Определим максимальное нормальное статическое напряжение

Находим наибольшее динамическое напряжение

σдин,max = σст,max Kд = 0,266 48 = 12,77 МПа.

6.Определим запас прочности

Задание 6.1

Определить наибольшее динамическое напряжение в стальной стержневой системе сплошного круглого сечения при падении грузаРсвысотыh, если Е= 2·105 МПа.

Содержание работы:

1.Вычертить схему системы с указание всех численных значений заданных величин.

2.Определить динамический коэффициент при ударе без учета собственной массы системы, воспринимающей удар.

3.Вычислить наибольшее динамическое напряжение заданной системы.

в соответствии с шифром по рис. 6.3 и табл. 6.1.

72

Таблица 6 . 1

Вопросы для самопроверки

1.Что такое ударная нагрузка?

2.В чем заключаются сложности точного решения задач

осоударении упругих тел?

3.Какие допущения лежат в основе приближенной теории

удара?

4.Как определяется коэффициент динамичности при расчетах на удар?

5.Частные случаи определения коэффициента динамичности при ударном нагружении.

6.Формула для определения динамического коэффициента с учетом массы ударяемой системы.

7.За счет чего можно снижать значения динамического коэффициента?

8.Зависимости напряжений и перемещений, вызванные действием ударной нагрузки от напряжений и перемещений, связанных с действием такой же по величине, но статически приложенной нагрузки.

74

ТЕМА 7. РАСЧЕТЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОДОЛЬНО СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

Устойчивостью называется способность конструкции сохранять первоначальное положение равновесия при внешних воздействиях.

Устойчивая форма равновесия характеризуется тем, что, будучи нарушенной случайным временным воздействием, она восстанавливается после прекращения этого воздействия. Изменение первоначальной формы равновесия деформированного состояния называется потерей устойчивости.

Нагрузка, превышение которой вызывает потерю устойчивости, называется критической. При силе, равной критической, одна форма устойчивого равновесия центрально-сжатого стержня (прямолинейная) сменяется другой формой (криволинейной). Критическая нагрузка является разрушающей для конструкции.

Устойчивость стержней при продольном изгибе обеспечивается при условии, что напряжение, определяемое отношением нагрузки к площади поперечного сечения, не превышает допускаемое напряжение при расчете на устойчивость.

Общая методика решения задач при проектировочном расчете по заданной нагрузке и коэффициенту устойчивости

1.Определяем критическую силу.

2.Вычисляем момент инерции поперечного сечения.

3.Подбираем поперечное сечение стержня в соответствии

сГОСТами или вычисляем площадь и геометрические размеры поперечного сечения.

75

Общая методика решения задач при проверочном расчете по допускаемым напряжениям

1.Из известных условий закрепления стержня, размеров поперечного сечения вычисляем площадь сечения и гибкость стержня.

2.По найденной гибкости и материалу стержня из справочной таблицы находим коэффициент понижения допускаемого напряжения φ.

3.Определяем максимальное напряжение стержня и сравниваем с допускаемым напряжением на устойчивость.

Общая методика решения задач при проверке на устойчивость

1.По заданной площади поперечного сечения находим моменты инерции, радиус инерции и гибкость стержня.

2.Определяем критическуюсилу икритическоенапряжение.

3.По заданной нагрузке и критической силе находим коэффициент запаса прочности.

Основные формулы для расчетов

1. Коэффициент запаса устойчивости

= Pкр ,

ny [P]

где Pкр – критическая сила; [P] – допускаемая рабочая нагрузка.

Коэффициент запаса устойчивости устанавливается в зависимости от условий работы стержня и его материала. Для конструкционных сталей ny = 1,8…3; для чугуна ny = 5…5,5.

2. Формула Эйлера для стержня с шарнирными опорами

Ркр = π2 Еl2Jmin n2 ,

76

где Е – модуль упругости; Jmin – минимальный момент инерции поперечного сечения стержня; n – количество полуволн синусоиды, укладывающихся по длине стержня; l – длина стержня.

3. Критическое напряжение

σкр = Pкр ,

F

где F – площадь поперечного сечения стержня. 4. Приведенная длина стержня

lпр = μ l ,

где μ – коэффициент приведения длины, учитывающий способ

закрепления концов стержня.

На рис. 7.1 приведены коэффициенты для различных видов закрепления стержня

Рис. 7.1

5. Приведенная формула Эйлера для разных случаев закрепления стержня

77

6. Критерий применимости формулы Эйлера

где σпц – предел пропорциональности материала. 7. Гибкость стержня

λ = μl ,

imin

где imin = Jmin – минимальный радиус инерции поперечного

F

сечения стержня.

8.Предельная гибкость стержня

=π2 Е

λпр σпц .

Если λ≥λпр (стержни большой гибкости), то можно использовать формулу Эйлера (для Ст3 λпр = 100, для легированных сталей λпр ≈ 60…80, для чугуна λпр ≈ 80).

Если λ< λпр (стержни средней гибкости), то можно ис-

пользовать эмпирическую формулу Ясинского, в основе которой лежит линейный закон изменения критических напряжений: σкр = а− bλ, где а , b – коэффициенты, зависящие от материала.

Если λопасное < λ< λпр (стержни малой гибкости), тогда

σкр = а− bλ = σТ = σ0,2 .

9. Условие устойчивости сжатого стержня

σ = P ≤ [σy ] = φ[σсж ] ,

F

78

[σсж ] – допускаемое напряжение, которое используется при расчетах элементов на прочность при сжатии; φ – коэффициент

уменьшения основного допускаемого напряжения при расчете на устойчивость ( φ≤ 1) (определяется в зависимости от гибко-

сти и материала стержня по табл. П2).

10. Условие устойчивости для материалов, у которых отсутствуют данные по коэффициенту φ, исходя из требуемого

коэффициента запаса устойчивости

ny = PРкр ≥ [ny ] .

Пример 7.1

Для заданного стального стержня двутаврового поперечного сечения № 18, шарнирно закрепленного на одном и жестко на другом крае (μ = 0,7), сжимаемого силами P, требуется оп-

ределить критическое и допускаемое значения силы P, если материал стержня Ст3, [σсж ] = 160 МПа, l = 4 м.

Решение:

1. Определим гибкость стержня. Из таблицы сорта-

Коэффициент приведения длины для данного типа закрепления μ = 0,7, тогда гибкость стержня

λ = μl = 149.

imin

79

2. Определим критическую силу. Поскольку λ > λпр = 100, токритическаясиламожетбытьопределенапоформулеЭйлера:

3.По таблице коэффициентов φ для материалов в зависимости от гибкости стержня (табл. П2) находим φ = 0,32.

4.Вычислим допускаемое значение внешней силы

[P] = φ[σсж ]F = 0,32 160 103 0,00234 = 119,8 кН.

Коэффициент запаса на устойчивость

Пример 7.2

Для заданного сплошного стального стержня круглого поперечного сечения под действием сжимающей нагрузки, оба конца которого шарнирно закреплены, выполнить проверку на устойчивость.

Дано: Р = 6 кН, d = 40 мм, μ = 1, l = 2,5 м, материал – Ст3, [ny ] = 1,8.

Решение:

1. Определим геометрические характеристики сечения стержня: площадь поперечного сечения, минимальный момент инерции, минимальный радиус инерции:

80