Сопротивление материалов. Примеры решения типовых задач

Вопросы для самопроверки

1.Какая система называется статически неопределимой? Когда стержневые системы будут статически неопределимыми внешним образом, а когда внутренним?

2.Определение степени статической неопределимости стержневых систем методом отбрасывания лишних связей. Какие реактивные связи в системе можно считать лишними?

3.Чтотакоеосновнаяи эквивалентнаястержневыесистемы?

4.Как выбирается основная система метода сил?

5.Система канонических уравнений для n раз статически неопределимой стержневой системы.

6.Главные, побочные и грузовые коэффициенты канонических уравнений. Свойства побочных коэффициентов. Как определяются коэффициенты канонических уравнений?

7.Деформационная проверка решения статически неопределимой стержневой системы.

61

ТЕМА 5. РАСЧЕТ ДВИЖУЩИХСЯ СИСТЕМ

СУЧЕТОМ СИЛ ИНЕРЦИИ

Всовременной технике динамические явления играют важнейшую роль. Большинство деталей машин находятся в движении или подвержены воздействию движущихся элементов конструкции. На любое тело, движущееся с ускорением, действуют силы инерции.

Силой инерции точки называется сила, равная по величине произведению массы точки на ускорение и направленная

всторону, обратную ускорению. Силы инерции относятся к объемным силам, так как они непрерывно распределены по всему объему тела.

Если к силам, действующим на движущееся тело, добавить силы инерции, то получим систему, удовлетворяющую условиям равновесия (принцип Даламбера).

Применение принципа Даламбера позволяет задачи динамики сводить к статическим, так как с учетом сил инерции движущуюся систему можно рассматривать находящейся в состоянии условного равновесия и применять к ней все известные методы статических расчетов.

Пример 5.1

Определить наибольшее нормальное напряжение от изгиба силами инерции в спарнике АВ (рис. 5.1), имеющем прямоугольное поперечное сечение. Колеса О1 и О2 вращаются с постоянной угловой скоростью.

Дано: n = 300 об/мин, l = 2 м, r = 0,25 м, h = 5,6 см, b = 2,8 см, γ = 7,85 г/см3.

62

Задание 5.1

Квалу, вращающемуся с постоянной угловой скоростью,

спомощью стальных стержней прикреплен груз. Определить величину наибольших напряжений от изгиба вала силами инерции, пренебрегая собственным весом вала и стержней.

Содержание работы:

1. Определить силы инерции заданной системы.

2. Построить эпюры внутренних силовых факторов.

3. Определить величину наибольшего нормального напряжения, т.е. опасное сечение конструкции.

Вопросы для самопроверки

1.Какие типы задач относятся к задачам динамики?

2.Что такое сила инерции?

3.Формулировка принципа Даламбера.

4.Применение принципа Даламбера.

65

ТЕМА 6. РАСЧЕТЫ НА УДАР

Ударной нагрузкой называется нагружение, при котором ускорения частиц тела резко изменяют свою величину за очень малый промежуток времени (внезапное приложение нагрузки).

Задача о соударении упругих тел является достаточно сложной, так как, с одной стороны, неизвестны конкретные условия соударения (в частности, время соударения), с другой стороны, возникающие при ударе напряжения и деформации распространяются волнообразно и могут быть изучены лишь на основе теории упругих волн. Исходя из этого рассматривается приближенная теория удара, основанная на законе сохранения энергии: уменьшение запаса энергии движущихся тел при соударении равно увеличению потенциальной энергии деформации соударяющихся тел. Полный переход кинетической энергии движения в потенциальную энергию деформации осуществляется при определенных допущениях: удар абсолютно неупругий, т.е. после соударения падающий груз и ударяемая система движутся вместе с одинаковой скоростью; масса ударяемой системы намного меньше веса падающего груза; справедлив закон Гука. Только предполагая, что масса системы, воспринимающей удар, равна нулю, можно считать, что деформации в ней распространяются мгновенно и вся кинетическая энергия движения переходит в потенциальную энергию деформации.

Все вида удара можно свести к трем расчетным схемам:

1)падение абсолютно твердого тела на упругое тело;

2)падение упругого тела на жесткое основание;

3)соударение двух упругих тел, которые будем считать абсолютно жесткими.

Расчет на удар сводится к статическому введению динамического коэффициента, который указывает, во сколько раз при ударе деформация и сила больше, чем при статическом при-

67

ложении равного груза. Наличие пружин или других амортизаторов снижает динамический коэффициент.

Основные формулы для расчета

1. Динамический коэффициент при ударе

удара от статического действия силы.

Частныеслучаиопределениядинамическогокоэффициента:

а) при внезапном приложении груза считают, что h = 0 ,

тогда

Kд = 2 ;

б) если 2h ≥ 10, то

ст

Kд ≈ 1+ 2h ;

ст

в) если 2h ≥ 100, то

ст

Kд ≈ 2h ;

ст

г) если задается скорость в момент удара, то для применения формулы, определяющей динамический коэффициент, нужно выразить h через v – скорость в момент удара:

v = 2gh, h = v2 , 2g

68

соответственно

Kд = 1+ 1+ v2 .

g ст

2. Динамический коэффициент с учетом массы ударяемой системы

где P – вес падающего груза; Pпp = mпp g – условный вес приве-

денной массы.

3. Зависимости напряжений и перемещений, вызванные действием ударной нагрузки от напряжений и перемещений, связанных с действием такой же по величине, но статически приложенной нагрузки:

σдин = Kд σст , τдин = Kд τст , дин = Kд ст.

Пример 6.1

На деревянную шарнирно опертую балку квадратного поперечного сечения со стороной а = 15 см с высоты h = 3 cм посередине падает груз весом Р = 200 Н. Определить запас прочности балки, если модуль упругости материала балки Е = 104 МПа, предел прочности при расчете на изгиб [σ] = 20 МПа. Собственной

массой балки, испытывающей удар, пренебречь.

Решение:

1. Вычертим схему балки с указанием всех численных величин (рис. 6.1).

69