- •Теоретические сведения
- •Решение типовых задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2. Определение частотных характеристик динамической системы
- •Теоретические сведения
- •Решение типовых задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Решение типовых задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Теоретические сведения
- •Решение типовых задач
- •Решение типовых задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Теоретические сведения
- •Решение типовых задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Определить y(t), если у(0) = 0; у{0) = 0.
- •ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 7. Фазовый портрет (фазовые траектории) динамической системы
- •Теоретические сведения
- •Решение типовых задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Решение типовых задач
- •Задачи для самостоятельного решения
Особая точка (0,0) - седло.
Решение типовых задач
Задача 7.1. Линейная динамическая система описывается матри
цей А вида
‘2 |
1 |
А = |
(7.9) |
1 |
- 3 |
Необходимо:
1.Записать систему однородных дифференциальных уравнений.
2.Определить координаты особой точки.
3.Определить тип особой точки.
4.Построить фазовый портрет системы.
Решение. Из (7.3) имеем
dx(t) |
|
(7.10) |
-= Ax(t), |
||
dt |
|
|
где |
|
|
*(0= |
*i(0 |
(7.11) |
|
* 2(0 . |
|
Из (7.10) с учетом (7.9), (7.11) получим |
|
|
= 2х, + !•*,; |
(7.12) |
|
dt
л
Таким образом, система однородных дифференциальных урав нений определяется соотношениями (7.12), (7.13).
Из (7.6) имеем
|
|
|
Д(А,) = |и - Л | = 0 |
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
'1 |
0' |
*2 |
1 ' |
Х -2 |
-1 |
= О |
X |
1 |
1 |
— |
-1 |
(X. - 2)(Л. + 3) -1 |
|
0 |
- 3 |
Х + 3 |
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х2+ Х -1 = 0. |
(7.14) |
||
Из (7.14) определим |
и А2. Получим |
|
||||
|
|
|
- l + Vl + 4-7 |
|
||
|
|
К г = - |
- - |
- = -0,5 ± 2,69. |
|
|
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А, =-3,19; А2 =2,19. |
(7.15) |
||
Из (7.15) следует, что координаты особой точки: X, =0; хг = 0.
Тип особой точки: седло.
Построим фазовый портрет системы. Из (7.12), (7.13) имеем
&г_ = *1 ~ 3*2. |
(7.16) |
dxt 2х, + х2 |
|
Соотношение (7.16) получено путем деления выражения (7.13) на выражение (7.12).
Запишем х2 в виде |
|
|
хг =кх{. |
(7.17) |
|
Из (7.17) имеем |
|
|
Й- |
1 |
|
к> и |
|
|
или |
|
|
к = &2, |
(7.18) |
|
|
dxt |
|
Подставим в (7.18) соотношение (7.16) и учтем выражение (7.17). Получим
к. *|-,3Аж,
2х} + кх}
или |
|
|
к = 1 -3 к |
|
(7.19) |
2 + к |
|
|
Из (7.19) имеем |
|
|
Л2 н-5А —1 = О, |
|
|
откуда получим |
|
|
-5 ± V 2 5 + 4 |
- 5 + 5,385 |
|
^1,2 — |
|
|
Следовательно |
|
|
А, =-5,19; кг =0,19. |
|
|
Из (7.17), (7.12), (7.13) имеем при х, = 1; А2 = 0,19 |
|
|
дг, = 1; х2 = 0,19; |
|
|
х, = 2 1 + 10,19 = 2,19; |
|
|
х2 = 1 1 -3 -0 ,1 9 = 0,43. |
|
|
Следовательно, в точке с координатами х, = 1, х2 = 0,19 получили |
||
х, > 0; х2 > 0. |
(7.20) |
|
Из (7.17), (7.12), (7.13) имеем при х, = 1 |
и к2= -5,19 |
|
х, = 1; х2 = -5,19; |
|
|
х, = 2 1 -1 -5 ,1 9 = -3,19; |
|
|
х2 = 1 -1 -3 (-5,19) = 16,6. |
|
|
Следовательно, в точке с координатами х, = 1, х2 = -5,19 |
получили |
|
х, < 0; х2 > 0. |
(7.21) |
|
Фазовый портрет системы имеет вид (рис. 7.10) |
|
|
Рис. 7.10
Задача 7,2, Линейная динамическая система описывается матрицей А вида
О2
А = |
(7.22) |
- 3 |
-1 |
Необходимо:
1.Записать систему однородных дифференциальных уравнений.
2.Определить координаты особой точки.
3.Определить тип особой точки.
4.Построить фазовый портрет системы.
Решение. Из (7.3) имеем
(7.23)
at
где
(7.24)
Из (7.23) с учетом (7.22), (7.24) получим
(7.25)
(7.26)
^*,(f) = -3*i(f)-^i,(/)
или |
|
|
|
|
|
|
|
3c,(/) + ii(0 + 6x1(/) = 0. |
(7.27) |
||||
Характеристическое |
уравнение, |
соответствующее |
соотношению |
|||
(7.27), имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
X2 + X + 6 = 0. |
|
(7.28) |
||
Из (7.28) определим Хх и Х2. Получим |
|
|
||||
, |
- l |
+ V l- 2 4 |
1 |
.л/23 |
|
|
1.2 |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
X, = -а + /р; Х2 = -а - /р, |
(7.29) |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
„ |
л/23 |
|
|
|
|
а = —; |
В = |
------ . |
|
|
|
|
2 |
н |
2 |
|
|
Из (7.29) следует, что координаты особой точки: |
|
|||||
|
|
х1=0; |
х2 = 0. |
|
|
|
Тип особой точки: устойчивый фокус. |
|
|
||||
Из (7.27), (7.29) имеем |
|
|
|
|
||
*i (0 = е_а/(Л cos Р* + Л2 sin РО. |
(7.30) |
|||||
Из (7.25), (7.30) получим |
|
|
|
|
||
*2(0 = —. ( / ) = |
[-а • е~ш(А]cos р/ + Аг sin РО + |
|||||
+ е~ш(—v4tPsin р/ + А $ cos р/)] |
|
|||||
или |
|
|
|
|
|
|
x2(t) = ^ |
|
+ Л2р) cos РО + |
(7.31) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
+ (-сЦ , - Л,Р)sin р/)].
Определить Л, и ^ при х,(0) = х10; дг2 (0) = 0. Из (7.30), (7.31) имеем
х \ (0) = Л,;
*2(°) = - ( - сЦ + Л2Р)
или
4 ~ *ш>
(7.32)
4 = J*io-
Подставим (7.32) в (7.30), (7.31). Получим
*,(0 = x,0e‘m(cosp/ +jsin (30;
x2(t) = - |
(«2 + Р2)„;, |
sin р/ |
Фазовый портрет системы имеет вид (рис. 7.11)
Задача 7J. Динамическая система описывается дифференциаль ными уравнениями вида
_*• II ><
x2= -x v
Необходимо:
1.Определить координаты особой точки.
2.Определить тип особой точки.
4.Построить фазовый портрет системы.
(7.33)
(7.34)
|
Зс,=х2. |
(7.35) |
|
Подставим (7.34) в (7.35). Получим |
|
|
|
|
it, + х, = 0. |
(7.36) |
|
Характеристическое |
уравнение, |
соответствующее |
соотношению |
(7.36), имеет вид |
|
|
|
|
Я2 + ©о = 0, |
(7.37) |
|
где ©0 = 1. |
|
|
|
Из (7.37) определим Я, и Я2. Получим |
|
||
|
Я,_2 = ±/©0. |
|
|
Откуда |
|
|
|
|
Я, =/©0; Я2 = —/©„. |
(7.38) |
|
Из (7.38) следует, что координаты особой точки: |
|
||
|
х, =0; |
х2 = 0. |
|
Тип особой точки: центр. |
|
|
|
Из (7.36), (7.38) имеем |
|
|
|
|
х, (/) = С, cos o)0t + С2sin co0t. |
(7.39) |
|
Из (7.33), (7.39) получим |
|
|
|
х2(/) = -С,©0 sin ю0/ + С2©0 cos©0/. |
(7.40) |
||
Определим С, и С2 |
при х,(0) = х10; |
х2(0) = 0. Из (7.39), (7.40) имеем |
|
|
X](0) —С,; |
|
|
*г(0) ~ 0 2©о
или
С| =д-ю>1
(7.41)
С2 =0. J
Подставим (7.41) в (7.39), (7.40). Получим
*i(0 = *io cosffl0/;
(7.42)
^2 ^) = -^ю^о sinoo00-.
х\ = *12оc°s2 <v;
Откуда
Так как со0 = 1, то получим
(7.43)
Соотношение (7.43) есть уравнение окружности с радиусом окруж ности jt10.
Фазовый портрет системы имеет вид (рис. 7.12)
Рис. 7.12
Задача 7.4. Динамическая система описывается дифференциаль ными уравнениями вида
|
*1 =4*, - Зх2; |
(7.44) |
|
х2 -2 х х-З х 2. |
(7.45) |
Необходимо: |
|
|
1. |
Определить матрицу А. |
|
2. |
Определить координаты особой точки. |
|
3. |
Определить тип особой точки. |
|
4. |
Построить фазовый портрет системы. |
|
Решение. Определим матрицу А. Из (7.44), (7.45) имеем |
|
|
dt |
= Ax(t), |
(7.46) |
|
|
|
где |
|
|
*(0= |
*,(0 |
(7.47) |
|
\Хг(0_ ' |
|
Сопоставляя соотношения (7.46), (7.47) с уравнениями (7.44), (7.45), получим
|
|
|
|
|
"4 |
- 3 ' |
|
(7.48) |
|
|
|
|
А = |
- 3 |
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Из (7.6) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
А, 1 |
0 |
_ 4 |
- 3 ' —А .-4 |
3 |
= (А. - |
4)(Л. + 3) + 6 |
||
0 |
1 |
2 |
- 3 |
|
- 2 |
А.+ 3 |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А? - А.- |
6 = 0. |
|
(7.49) |
Из (7.49) определим А., и Х2. Получим |
|
|
||||||
|
|
|
^1,2 ~ |
1 ± Vl + 24 |
1±5 |
|
||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X, =3; |
А,2 = -2 . |
(7.50) |
|
Из (7.50) следует, что координаты особой точки: |
|
|||||||
|
|
|
|
|
х] =0; |
х2= 0. |
|
|
Тип особой точки: седло.
Найдем прямые x2 = h с,, проходящие через начало координат и являющиеся фазовыми траекториями. Для определения коэффициен та к исключим время из уравнений (7.44), (7.45). Имеем
dx2 _ 2JC, - Зх2 dxx 4xj - Зх2
Подставим х2 = кххв полученное уравнение. Тогда
2 - 3 к
к =
4 - 3 к
или
Ък1- 7А + 2 = 0. |
(7.51) |