Линейные задачи теории гидродинамической устойчивости и численные ме

УДК 532.5 Б64

Рецензенты:

Институт механики сплошных сред УрО РАН (директор – академик РАН В.П. Матвеенко); доктор физ.-мат. наук, профессор Н.И. Лобов (Пермский государственный университет)

Бирих, Р.В.

Линейные задачи теории гидродинамической устойБ64 чивости и численные методы их решения: учебное пособие / Р.В. Бирих , Р.Н. Рудаков, П.В. Трусов, А.И. Швейкин. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2009. – 101 c.

ISBN 978-5-398-00227-0

В предлагаемом пособии рассмотрены наиболее эффективные подходы к решению задач устойчивости. Рассматриваются постановки, методы и результаты решения задач об устойчивости изотермических и неизотермических стационарных течений и механического равновесия неизотермической жидкости. Значительная часть результатов получена первыми двумя авторами пособия.

Предназначено для студентов и аспирантов механико-математи- ческих и физико-математических специальностей.

УДК 532.5

ОГЛАВЛЕНИЕ

4

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

g – ускорение свободного падения с – фазовая скорость возмущений k – волновое число

р– давление

Т– температура

Θ– характерная температура

, – амплитуды нормального возмущения функции тока

и температуры

ζи ξ – отклонение поверхности по нормали от положения равновесия и его амплитуда

n и – нормальное и касательное сопротивления проницаемой перегородки

5

1. ВВЕДЕНИЕ

Одной из важных проблем механики сплошной среды является проблема исследования устойчивости стационарных состояний рассматриваемых систем. Задачи устойчивости в механике жидкости и газа являются наиболее сложными и богатыми по физическому содержанию. Для их решения потребовались специальные численные методы, которые являются достаточно общими и могут быть эффективно использованы в других разделах механики сплошных сред.

В линейной теории гидродинамической устойчивости исследуется поведение малых возмущений стационарного состояния жидкости. Стационарным называется такое состояние, когда в каждой точке области все характеристики движения жидкости, такие как скорость, давление, распределение температуры и другие, не зависят от времени. Это либо равновесие жидкости, либо стационарное движение. Неустойчивость стационарного состояния приводит к смене одного стационарного режима другим стационарным или нестационарным режимом, более сложным по структуре движения, или же происходит турбулизация течения, возникает нерегулярное хаотическое движение. По линейной теории можно лишь прогнозировать форму вторичных движений.

Выделим следующие основные этапы исследования устойчивости гидродинамических систем:

1.Находится стационарное состояние жидкости.

2.Решение полной нелинейной задачи гидродинамики представляют в виде суммарного решения, состоящего из решения стационарной задачи и малой нестационарной добавки – возмущения, зависящего от времени и координат.

3.Суммарные функции подставляют в полные уравнения движения, теплопроводности и другие; например, в случае течения вязкой несжимаемой изотермической жидкости – в уравнения Навье–Стокса и неразрывности. Далее все уравнения линеаризуют относительно малых возмущений.

6

4. Рассматриваются так называемые нормальные возмущения, экспоненциально зависящие от времени ~ e t и периодические в пространстве вдоль однородных координат (в дву-

мерном случае ~ ei k x x k y y ). Для амплитуд возмущений, зависящих лишь от одной координаты z, получается однородная краевая задача с обыкновенными дифференциальными уравнениями.

5. В эту задачу входят комплексный декремент λ λr iλi ,

описывающий изменение возмущения со временем, вещественный волновой вектор k и некоторые безразмерные параметры (критерии подобия), характеризующие интенсивность внешнего воздействия на систему и свойства жидкости. Декременты λ могут рассматриваться как собственные значения краевой задачи, а амплитуды возмущений являются собственными функциями. Если для какого-нибудь вещественная часть декремента

оказывается отрицательной λr 0 , то эти возмущения со вре-

менем нарастают, стационарное состояние неустойчиво.

6. Обычно рассматривают так называемые нейтральные возмущения, для которых λr 0. В этом случае собственным

значением является один из критериев подобия, и строят зависимость критериального параметра от волнового числа – нейтральную кривую. Например, при исследовании устойчивости изотермических течений определяется зависимость числа Рейнольдса Re от волнового числа k. Наиболее опасными являются возмущения такой длины волны, для которых критическое число Рейнольдса минимально.

Исследование гидродинамической устойчивости чрезвычайно важно, так как при смене режимов движения скачком изменяются свойства системы, как правило, в нежелательном направлении, и надо знать, когда это произойдет. В некоторых случаях результаты теории гидродинамической устойчивости позволяют управлять порогом неустойчивости системы.

7

Первые систематические исследования гидродинамической устойчивости представлены в работах английского физика

иинженера О. Рейнольдса. Наблюдая напорное течение с окрашенными струйками в стеклянных трубах (течение Пуазейля), в 1883 г. он установил, что переход от слоистого ламинарного течения к неупорядоченному турбулентному течению происходит при определенном значении критериального параметра, названного впоследствии числом Рейнольдса.

В1900 г. в экспериментах Бенара была подробно исследована конвективная неустойчивость горизонтального слоя жидкости, подогреваемого снизу в широкой кювете. Он наблюдал пороговое возникновение регулярных конвективных структур (ячейки Бенара). Возможное теоретическое обоснование этого явления было дано выдающимся английским физиком Рэлеем, который в 1916 г. решил задачу о термогравитационной неустойчивости равновесия подогреваемого снизу горизонтального слоя жидкости со свободными границами.

Очень трудно продвигались работы по теоретическому исследованию неустойчивости течения Пуазейля. В 1924 г. Гейзенберг сделал теоретические выводы о неустойчивости плоского течения Пуазейля (напорного течения между параллельными пластинами с параболическим профилем скорости). В 1944 г. Ц.-Ц. Линь [1] уточнил асимптотическую теорию Гейзенберга

ивпервые построил нейтральную кривую устойчивости плоского течения Пуазейля. Наконец, работой Томаса [2], в которой методом конечных разностей решена краевая задача устойчивости и подтвержден результат Ц.-Ц. Линь, была поставлена точка в дискуссии об устойчивости плоского течения Пуазейля.

Следует отметить еще две работы по устойчивости гидродинамических течений. В 1923 г. Тейлор исследовал устойчивость кругового течения Куэтта между вращающимися коаксиальными цилиндрами, а в 1953 г. Г.З. Гершуни теоретически

исследовал устойчивость встречных конвективных потоков в вертикальной щели [3].

8

В1958 г. Пирсон показал наличие еще одного механизма конвективной неустойчивости горизонтального слоя жидкости со свободной границей, отличного от релеевского механизма

исвязанного с зависимостью коэффициента поверхностного натяжения от температуры или концентрации поверхностно активных веществ [4].

Большой вклад в развитие теории конвективной устойчивости внесли ученые г. Перми. В 1946 г. профессор Пермского государственного университета Г.А. Остроумов начал экспериментальные и теоретические исследования устойчивости равновесия жидкости в вертикальном цилиндре, подогреваемом снизу [5]. Отметим основополагающие работы по теории конвективной устойчивости В.С. Сорокина [6] и И.Г. Шапошникова [7]. Своего расцвета пермская школа гидродинамики достигла под руководством профессора Пермского государственного университета Г.З. Гершуни и профессора Пермского государственного педагогического университета Е.М. Жуховицкого. Экспериментальные исследования в области конвекции в это время возглавлял доцент ПГУ Г.Ф. Шайдуров, воспитавший немало физиков-экспериментаторов. Основные результаты исследований пермской школы по устойчивости равновесия неравномерно нагретой жидкости и конвективных течений опубликованы в монографиях [8, 9]. В настоящее время их многочисленные ученики успешно решают различные задачи гидродинамической устойчивости (см., например, монографии

[10–15]).

Впредставляемом учебном пособии рассматриваются задачи об устойчивости изотермических и неизотермических стационарных течений и механического равновесия неизотермической жидкости. На конкретных примерах обсуждаются различные методы решения краевых задач. Результаты приведенных численных экспериментов базируются в основном на собственных исследованиях авторов.

9

Учебное пособие предназначено для студентов специальности «Прикладная математика и информатика», а также студентов физико-математических и механических специальностей.

2. ПРОБЛЕМА КОНВЕКТИВНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

2.1. Уравнения конвекции

Макроскопическое движение неравномерно нагретой жидкости или газа описывается системой уравнений, содержащей уравнение переноса импульса, уравнение переноса тепла, закон сохранения массы (уравнение неразрывности), а также уравнения состояния и соответствующие краевые условия. Мы будем рассматривать сравнительно медленные движения жидкости, которые вызываются массовой силой, связанной с тепловым расширением жидкости, или поверхностной термокапиллярной силой. Эти движения будем называть конвективными и для их описания применять приближение Буссинеска. Основным пунктом этого приближения является предположение о том, что неоднородность плотности жидкости связана только с объемным тепловым расширением и она мала. Кроме того, предполагается, что поправкой к плотности можно пренебречь, когда речь идет об инерционных свойствах элемента жидкости, и в уравнении неразрывности (при изменении плотности со временем не возникает заметной расходимости у поля скорости). Уравнения состояния жидкости в линейном приближении записываются в виде

где – коэффициент объемного теплового расширения, σ1 – температурный коэффициент поверхностного натяжения, а Т – температура, отсчитываемая от некоторой средней температуры в системе, при которой плотность жидкости равна 0 и коэффициент поверхностного натяжения равен σ0. Учитывая сказанное,

10