Линейные задачи теории гидродинамической устойчивости и численные ме

На плоскостях, ограничивающих слои жидкостей, будем считать, что скорость жидкости, возмущение температуры, воз-

71

мущение потока примеси и поперечная компонента амплитуды вибрационной скорости равны нулю:

В задачу, кроме относительных характеристик слоев жидкости, вошли безразмерные параметры: вибрационные аналоги чисел Грасгофа GT и GC, числа Марангони Ma и Ms, которые характеризуют соответственно величину термо- и концентрацион- но-капиллярных сил, положительные при градиентах температуры и концентрации, направленных от 2-го слоя к 1-му, капиллярный параметр Ca, числа Прандтля Pr и Шмидта Sc и, наконец, малые параметры Т и С. В уравнениях движения и граничных условиях, везде, где параметры Т и С появляются рядом с единицей, их следует считать равными нулю.

Рассмотрим далее нормальные возмущения, периодические вдоль осей x и y, т.е. будем считать, что все неизвестные функции пропорциональны exp t ikx x iky y . Из системы (4.62)–

(4.64) удобно исключить давление, продольные компоненты скорости и вектора w и функцию . Тогда для амплитуд возмущений поперечной скорости v(z), температуры (z), концен-

трации c(z), z -компоненты w w(z) и деформации границы раздела получим следующую краевую задачу:

( v k 2v m vIV 2k 2v k 4v k 2Gm w,

Pr 1 m k 2 amv,

c Sc 1Dm c k 2c bmv,

a1 2 / h1 2 h2 1 , a2 1 / h1 2 h2 1 ,

72

b1 D2 / h1D2 h2 D1 , b2 D1 / h1D2 h2 D1 ,

со следующими граничными условиями на твердых плоскостях:

и граничными условиями на поверхности раздела z 0 : v1 v2 , v1 v2 ,

1 v1 k 2v1 2 v2 k 2v2

k 2 Pr 1Ma 1 a1 Sc 1Ms c1 b1 ,

1 2 v 1 v1 3k 2v1 2 v2 3k 2v2

w1 w2 , 1w1 2w2 T k 2 1 2 .

Здесь и далее штрих означает дифференцирование по z. В граничные условия входит амплитуда деформации границы ξ, которую для λ ≠ 0 можно исключить с помощью кинематического условия: v1 . Краевая задача (4.65)–(4.67) определяет порог

устойчивости квазиравновесия и форму критических движений. Метод решения. Краевая трехточечная задача (4.65)–(4.67)

может быть сведена к задаче Коши методом дифференциальной прогонки [23]. Запишем дифференциальные уравнения (4.65) в обоих слоях жидкости в виде единой системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

в которой компоненты вектора-столбца y являются искомыми функциями поперечной координаты z:

73

y(z)

v1,v1,v1,v1, 1, 1, c1, c1, w1, w1,v2,v2,v2,v2 , 2 , 2 , c2 ,c2 , w2 , w2 T ,

где нижний индекс означает номер слоя. Элементы матрицы А размерности 20 20 определяются дифференциальными связями между yi(z) и уравнениями (4.65). Для примера приведем ненулевые элементы этой матрицы, относящиеся к первому слою, в случае монотонной неустойчивости ( = 0):

где bs – матрица размерности ns 20. Для примера приведем ненулевые элементы в трех первых строках этих матриц:

Для того чтобы (4.71) выполнялось при любых z, необходимо положить

Таким образом, вместо исходной системы (4.68) интегрируются уравнения (4.72) до любой точки отрезка [ h1,h2 ], в ко-

торой удается получить все начальные условия для задачи Коши. Обратной прогонкой можно найти неизвестный вектор y(z).

В рассматриваемой задаче интегрирование удобно вести от точек z h1 и z h2 до z 0. Граничные условия (4.66) опре-

деляют начальные условия для матриц b1 и b3. После интегрирования получаем значения этих матриц в точке z 0. Теперь в этой точке имеем систему 20 уравнений для 20 компонент вектора y(0):

b1(0) y(0) 0, b2 (0) y(0) 0,

где матрица b2 (0) определяется граничными условиями (4.67).

Однородная система уравнений (4.73) имеет нетривиальное решение при равенстве нулю ее определителя. Из этого условия находятся критические значения параметров краевой задачи

(4.65)–(4.67).

Для определения функций y(z) во всей области необходимо найти значения y(0) из системы (4.73) и решить задачу Коши, проинтегрировав систему уравнений (4.68) с этими начальными условиями до внешних границ слоев z h1, z h2 .

Результаты численного анализа устойчивости. Обсудим результаты расчета устойчивости для системы, состоящей из двух плоских слоев несмешивающихся жидкостей с близкими свойствами. В условиях невесомости неустойчивость обусловлена поверхностными эффектами на границе раздела слоев и связана с несимметричным движением жидкости в слоях.

75

В численном эксперименте характеристики жидкостей в разных слоях будем считать одинаковыми. В этом случае асимметрия движения в слоях создается только различием в толщине слоев. Рассмотрим влияние на термокапиллярную неустойчивость диффузии третьей растворимой поверхностно активной компоненты и влияние высокочастотных поперечных вибраций на устойчивость бинарной смеси.

Вначале рассмотрим устойчивость двухслойной системы в отсутствие вибраций. В однокомпонентных жидкостях порог устойчивости существенно зависит от различия в толщине слоев и для колебательных возмущений – от числа Прандтля. Эта проблема исследована в работах [24–26]. Однако структура нейтральных кривых от названных параметров зависит слабо. Для примера, рассмотрим систему с h1 0,7 и Pr = 1. На рис. 4.7

76

приведены нейтральные кривые и кривые дисперсионных отношений при Ms = 0, GT 0, GC 0 и Ca = 105. Сплошные линии

выделяют области монотонной неустойчивости, а штриховые линии – колебательной неустойчивости. Область, лежащая выше кривой 1, соответствует пирсоновскому механизму неустойчивости. Под кривой 2 расположена область неустойчивости, обусловленная деформацией границы раздела.

В условиях невесомости, как видно из рис. 4.7, наблюдается абсолютная длинноволновая неустойчивость. Ниже кривой 3 лежит область термокапиллярных колебаний, не связанная с деформацией границы раздела [27], а выше кривой 4 расположена деформационная колебательная мода. При k < 0,25 имеют место термокапиллярные волны, а при больших волновых числах дисперсионная кривая показывает, что термокапиллярный эффект поддерживает капиллярные волны. Штрихпунктирная кривая на рис. 4,7, б описывает дисперсионный закон для капиллярных волн на границе раздела идеальных жидкостей:

Влияние второго процесса переноса, описывающего изменение концентрации растворимого поверхностно активного вещества, на вид нейтральных кривых показано на рис. 4.8. На нем представлен случай достаточно большого градиента концентра-

монотонную пирсоновскую неустойчивость (кривая 1) и дестабилизирует монотонную деформационную моду в области k < 0,06 (кривая 2). Порог абсолютной неустойчивости сдвигается в область положительных чисел Марангони (область неустойчивости лежит ниже кривой 2). Главным эффектом является возникновение новой области колебательной неустойчивости выше кривой 5, соответствующей встречным градиентам концентрации и температуры. Нейтральная кривая этой моды при-

77

заметная стабилизация монотонной пирсоновской неустойчивости. В области волновых чисел с наибольшей стабилизацией появляются новая мода колебательной неустойчивости и монотонная мода неустойчивости при нагреве системы с другой стороны. Механизм этого изменения устойчивости для случая недеформируемой границы обсуждался в [27].

При наличии поверхностно активной компоненты (см. рис. 4.10) стабилизация термокапиллярной неустойчивости проявляется не столь ярко и сдвигается в область более коротких волн. Практически полностью подавляется колебательная мода, связанная с встречными градиентами температуры и концентрации (кривая 5). Следует обратить внимание на то, что колебательная мода, описываемая кривой 3, практически во всей области имеет дисперсионный закон, близкий к (4.74). Длинноволновые деформационные моды неустойчивости слабо чувствительны к вибрационному воздействию.

Упражнения

1.Получить систему уравнений (4.9)–(4.11) из исходных уравнений свободной конвекции.

2.Получить формулу (4.41) критического числа Марангони для хорошо теплопроводной твердой границы.

3.Получить формулу (4.42) критического числа Марангони для фиксированного теплового потока на твердой границе.

4.Подстановкой решений (4.52) в граничные условия (4.51)

получить уравнения для 6 коэффициентов Сi и двух амплитуд деформации границ ξ– и ξ+.

5. Построить общее решение уравнений (4.47) для Pr 0

иPr 1.

6.Определить константы в основном состоянии (4.61), используя систему уравнений (4.60).

7.Выписать ненулевые элементы матрицы А уравнения (4.68), относящиеся ко второму слою, для случая монотонной

неустойчивости ( = 0).

79

5. ТЕРМОГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ПОЛОСТЯХ С ПРОНИЦАЕМОЙ ПЕРЕГОРОДКОЙ

5.1.Горизонтальная проницаемая перегородка

вслое со свободными границами

Рассмотрим бесконечный слой вязкой несжимаемой жидкости со свободными горизонтальными границами z 1, на

которых поддерживаются фиксированные температуры – Θ, + Θ (нижняя граница имеет более высокую температуру). Как известно, при больших разностях температур равновесное состояние становится неустойчивым и жидкость приходит в движение. Критическое значение числа Релея, определяющее разность температур границ, при которой возникает конвективное движение с волновым числом k, может быть найдено как собственное значение краевой задачи [см. п. 4.1]

k 2 v,

z 1: v v = = 0.

Здесь v(z) и (z) – амплитуды возмущений вертикальной компоненты скорости и температуры, а за единицу расстояния, скорости и температуры взяты соответственно h, / h и .

Значение числа Релея, при котором равновесие жидкости становится неустойчивым, Ra 2 / 4 k 2 2 / k 2.

Возникающее конвективное течение представляет собой одновихревое по вертикали движение. Амплитуда вертикальной компоненты скорости имеет вид v = cos( z/2). Вторым критиче-

ским движением, приводящим к неустойчивости равновесного состояния, является двухвихревое движение с амплитудой вертикальной скорости v = sin z. Отметим, что в этом движении вихри двухэтажной ячейки вращаются в противоположные сто-

80