Линейные задачи теории гидродинамической устойчивости и численные ме

возмущение плотности теплового потока от свободной поверхности пропорционально возмущению температуры:

T T ,z

где – коэффициент теплопроводности жидкости, а – коэффициент теплоотдачи. В безразмерных единицах это условие для амплитуды возмущения температуры принимает вид:

где Bi h / – число Био.

Таким образом, полностью сформулирована задача о поведении нормальных возмущений в плоском слое с одной свобод-

ной границей – (4.29)–(4.31), (4.36), (4.37). Как показывает ана-

лиз решений этой краевой задачи, незатухающими могут быть только монотонные возмущения ( i = 0). Выпишем задачу для монотонных нейтральных возмущений ( = 0):

Точное решение уравнений (4.38), удовлетворяющее условиям на твердой границе (4.39), имеет вид

vC1(sh kz kz ch kz) C2 z sh kz,

C1 3z ch kz kz2 sh kz / 4k

C2 z sh kz kz2 ch kz / 4k 2 C3 sh kz.

Константы Ci определяются граничными условиями на свободной границе (4.40). Условие разрешимости получающейся однородной системы дает уравнение для значения числа Марангони как функции волнового числа k и числа Био Bi. Решение этого уравнения имеет вид:

51

Мы рассмотрели случай хорошо теплопроводящей твердой границы, считая, что возмущения температуры на ней исчезают. Представляет интерес и противоположный случай, когда на твердой границе задан постоянный тепловой поток, т.е. тепловой поток через твердую границу, связанный с возмущениями

Критическое число Ma, определяемое этими формулами, всегда положительно – неустойчивость равновесия наступает только при подогреве со стороны твердой границы. Кривые нейтральной устойчивости для различных значений числа Био приведены на рис. 4.2. Случай (а) соответствует абсолютно теплопроводной твердой границе, случай (б) – твердой границе с фиксированным тепловым потоком.

аб

Рис. 4.2. Нейтральные кривые термокапиллярной неустойчивости, а и b – случаи изотермической и нетеплопроводной твердой границы

52

Нейтральные кривые имеют минимум для некоторого определенного значения волнового числа k*. Наиболее опасным является случай теплоизолированной свободной границы ( Bi 0 ). Для твердой изотермической границы и малых значений числа Био минимальное критическое число Марангони Ma* 80 при k* 2. Для абсолютно нетеплопроводной для

возмущений твердой границы и Bi 0 имеет место длинноволновая неустойчивость (k* 0) с Ma* 48. В области коротких

волн нейтральные кривые имеют асимптоту 8k2, показанную на рисунке пунктирной линией. С увеличением теплоотдачи со свободной границы минимальное критическое число Марангони в обоих случаях возрастает, а минимум нейтральных кривых

исчезают на ней градиент поверхностного натяжения и термокапиллярная неустойчивость (Ma ).

4.4. Термокапиллярная неустойчивость тонкой пленки (точное решение)

Рассмотрим устойчивость плоской жидкой пленки с однородным поперечным градиентом температуры в невесомости. Коэффициент поверхностного натяжения будем считать линейно зависящим от температуры. На базе точного решения задачи о нейтральных возмущениях в слое с деформируемыми границами определим области неустойчивости, дисперсионные кривые (зависимость частоты колебательных возмущений от волнового числа) и форму возмущений.

Рассмотрим плоский слой вязкой жидкости с двумя свободными границами z = 0 и z = h, на которых за счет внешнего подогрева имеется разность температур . Геометрия слоя показана на рис. 4.3. В условиях невесомости возможно стационарное состояние, соответствующее механическому равновесию с линейным профилем температуры

53

Условия теплообмена на границах запишем в виде, наиболее благоприятном для развития термокапиллярной неустойчивости, предполагая, что возмущения теплового потока на грани-

Перейдем к безразмерным величинам, взяв за единицу измерения расстояния толщину слоя h, времени – h2/ , скорости –/h, температуры – и рассматривая нормальные возмущения

vz ,T , (v, , )exp i k1x k2 y t ,

Задача (4.47), (4.48) содержит три независимых безразмерных параметра. Капиллярный параметр Ca характеризует деформируемость границ вязкими силами. Плоская недеформируемая граница соответствует Ca . Число Марангони Ma задает интенсивность термокапиллярного воздействия на границах слоя. Число Прандтля Pr определяет отношение времени диффузии температуры к вязкому времени. Декремент затухания возмущений λr равен –ωi. Сводные результаты по определению границ устойчивости приведены на рис. 4.4, а. Сплошными

а

б

Рис. 4.4. Нейтральные кривые Ma(k) и дисперсионные соотношения(k). На вставках A и B – линии тока монотонных возмущений для точек A и B нейтральных кривых. На вставках D, E и F – мгновенные значения вектора скорости колебательных возмущений для точек D, E и F

56

линиями показаны нейтральные кривые монотонной неустойчивости для значений параметра Pr·Ca = ∞, 106, 104, 102. Штриховыми линиями показаны нейтральные кривые колебательных возмущений для жидкости с параметрами Pr = 0,01 и Ca = 104. На рис. 4.4, б представлены дисперсионные кривые колебательных возмущений. На вставках рис. 4.4 качественно показаны формы конвективных ячеек и структура движения для некоторых характерных точек нейтральных кривых.

Монотонные возмущения. Рассмотрим нейтральные монотонные возмущения (ω = 0). В этом случае краевая задача для амплитуд возмущений имеет вид

0, v 0, v 0 .

Общее решение уравнений (4.50) может быть записано следующим образом:

v C1 exp kz C2 exp( kz) C3z exp kz C4 z exp( kz), (4.52)

Подстановка решений (4.52) в граничные условия (4.51) дает 8 уравнений для 6 коэффициентов Сi и двух амплитуд деформации границ ξ– и ξ+:

2С1 2С2 PrCak 0 ,

57

2С1 exp k 2С2 exp( k) 2С3 exp k 2С4 exp( k) PrCak 0, kC1 kC2 2C3 2C4 MakC5 MakC6 Mak 0,

2kC1 2kC2 C3 C4 4k 3C5 4k 3C6 0,

2k(1 k) exp k C1 2k(1 k) exp( k) C2 1 k k 2 exp k C3

1 k k 2 exp( k) C4 4k3 exp k C5 4k3 exp( k) C6 0.

Условие разрешимости этой однородной системы определяет зависимость критического числа Марангони Ма от волнового числа k и произведения числа Прандтля на капиллярный параметр Pr·Ca.

Нейтральные кривые монотонной неустойчивости изображены на рис. 4.4, a сплошными линиями. Кривая 1 соответствует случаю недеформируемых границ (Ca ) . Напомним, что

монотонная неустойчивость, вызванная термокапиллярным эффектом, для слоя с одной свободной недеформируемой границей была впервые обнаружена Пирсоном. Полученное им значение минимального критического числа Марангони равно 79,6, которое достигается при k = 2. В рассматриваемой задаче, как и в задаче Пирсона, возникающее конвективное течение создает

58

на поверхности продольный градиент температуры, который за счет термокапиллярного эффекта на охлаждаемой извне свободной границе поддерживает это течение. В слое с двумя свободными границами термокапиллярный эффект на другой границе препятствует образованию одновихревой структуры нейтральных возмущений, и поэтому критическое значение числа Марангони оказывается более высоким: Ma* = 87,4. На вставке А рис. 4.4 показана структура возмущений в окрестности минимума нейтральных кривых (точка А). В этом случае имеет место пирсоновский механизм неустойчивости. Деформация границ слоя практически отсутствует, а возникающий продольный градиент температуры ведет к образованию встречного вихря на нижней границе, подогреваемой извне.

Деформируемость границ создает другой механизм монотонной неустойчивости, связанный с наклоном границы слоя к изотермам основного поля температуры. Нейтральные кривые 2–4 (см. рис. 4.4) соответствуют значениям PrCa = 106, 104, 102. В рассматриваемой постановке задачи (условия невесомости и число Био, равное нулю) имеет место абсолютная длинноволновая неустойчивость (Ма* = 0 при k* = 0).

На вставке B показана структура движения в нейтральном возмущении, которое поддерживается за счет деформации границ. Механизм неустойчивости такой. На поверхности деформированной движением жидкости основное поле температуры T0 создает продольный градиент, поддерживающий движение за счет термокапиллярного эффекта. Деформация поверхности жидкости поддерживается течением у холодной поверхности. В этом смысле она является активной поверхностью. Форма ячейки, однако, такова (вздутие–сжатие), что движение поддерживается на обеих поверхностях.

Величина деформации свободных границ слоя для разных точек нейтральных кривых показана в таблице (решение задачи нормировано по максимальному значению амплитуды продольной компоненты скорости).

59

Амплитуды деформации границ

Приведенные данные показывают, что заметная деформация границ имеет место только для точки B, в которой механизм неустойчивости связан с наклоном слоя.

Колебательные возмущения. Рассмотрим поведение коле-

бательных возмущений, определяемое решением краевой задачи (4.47), (4.48) при i 0 и r 0. Общее решение уравнений

(4.47) для Pr 0 и Pr 1 имеет вид:

v = c1 exp(kz) c2 exp( kz) c3 exp(lz) c4 exp( lz),

c5 exp(mz) c6 exp( mz),

l k 2 i ,m k 2 i Pr .

Коэффициенты ci вместе с амплитудами , определя-

ются граничными условиями (4.48). Условие разрешимости получающейся системы уравнений определяет для фиксированного k критическое число Марангони. Требование вещественности числа Марангони при i 0 (нейтральные возмущения) опре-

деляет частоту колебаний .

Результаты расчета нейтральных кривых колебательных возмущений для Pr = 0,01 и Ca = 104 представлены на рис. 4.4, a штриховыми линиями 5, 6, 8 (область неустойчивости внутри кривых). Соответствующие дисперсионные кривые изображены на рис. 4.4, б. Для кривой 7 нейтральная кривая лежит в области

60