Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1
..pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»
Н.Н. Лихачева, Л.М. Онискив, Е.Ю. Воробьева
ЛЕКЦИИ И ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Часть 1
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебно-методического пособия
Издательство Пермского национального исследовательского
политехнического университета
2016
УДК 517
ББК 22.14+22.151.5 Л65
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры прикладной математики Пермского национального исследовательского политехнического университета Т.А. Осечкина;
канд. физ.-мат. наук, доцент Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики» С.В. Шеина
Лихачева, Н.Н.
Л65 Лекции и индивидуальные задания по высшей математике : учеб.-метод. пособие : в 2 ч. Ч. 1 / Н.Н. Лихачева, Л.М. Онискив, Е.Ю. Воробьева. – Пермь : Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2016. – 209 с.
ISBN 978-5-398-01554-6 Ч. 1 – 209 с.
ISBN 978-5-398-01551-5
Предназначено для студентов всех специальностей очного и заочного отделений технических вузов, изучающих высшую математику. Первая часть пособия содержит необходимый материал по четырем разделам курса высшей математики: линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.
Теоретический материал по всем разделам сопровождается рассмотрением примеров. Изложение теории ведется на доступном, по возможности строгом языке.
В пятой главе приведены варианты индивидуальных заданий по вышеперечисленным разделам высшей математики.
УДК 517
ББК 22.14+22.151.5
ISBN 978-5-398-01551-5 (ч. 1) |
© ПНИПУ, 2016 |
ISBN 978-5-398-01554-6 |
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Раздел 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ..................................... |
6 |
1. Матрицы.......................................................................................................... |
6 |
1.1. Основные понятия ...................................................................................... |
6 |
1.2. Операции над матрицами и их свойства .................................................. |
8 |
2. Определители............................................................................................... |
13 |
2.1. Понятие определителя.............................................................................. |
13 |
2.2. Свойства определителей.......................................................................... |
14 |
3. Невырожденные матрицы........................................................................... |
20 |
3.1. Понятие обратной матрицы..................................................................... |
20 |
3.2. Вычисление обратной матрицы .............................................................. |
23 |
3.3. Ранг матрицы............................................................................................. |
26 |
4. Системы линейных алгебраических уравнений....................................... |
29 |
4.1. Основные понятия .................................................................................... |
29 |
4.2. Матричная запись системы линейных уравнений................................. |
31 |
4.3. Исследование системы s линейных уравнений с n неизвестными......... |
32 |
5. Решение систем линейных уравнений....................................................... |
35 |
5.1. Матричный способ решения системы линейных уравнений............... |
35 |
5.2. Правило Крамера...................................................................................... |
36 |
5.3. Метод Гаусса............................................................................................. |
38 |
5.4. Решение однородных систем линейных уравнений.............................. |
45 |
Раздел 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА............................................................. |
50 |
6. Векторы ........................................................................................................ |
50 |
6.1. Основные понятия .................................................................................... |
50 |
6.2. Линейные операции над векторами........................................................ |
51 |
6.3. Проекция вектора на ось.......................................................................... |
54 |
6.4. Линейная зависимость векторов ............................................................. |
56 |
6.5. Координаты вектора................................................................................. |
61 |
7. Скалярное произведение векторов............................................................. |
68 |
7.1. Определение скалярного произведения ................................................. |
68 |
3
7.2. Алгебраические свойства скалярного произведения ........................... |
68 |
7.3. Геометрические свойства скалярного произведения........................... |
69 |
7.4. Вычисление скалярного произведения в координатной форме.......... |
70 |
7.5. Механический смысл скалярного произведения.................................. |
72 |
8. Векторное произведение векторов............................................................ |
73 |
8.1. Определение векторного произведения................................................. |
73 |
8.2. Алгебраические свойства векторного произведения........................... |
75 |
8.3. Геометрические свойства векторного произведения........................... |
76 |
8.4. Вычисление векторного произведения в координатной форме.......... |
77 |
8.5. Механический смысл векторного произведения.................................. |
79 |
9. Смешанное произведение векторов.......................................................... |
80 |
9.1. Определение смешанного произведения............................................... |
80 |
9.2. Геометрический смысл смешанного произведения ............................. |
80 |
9.3. Вычисление смешанного произведения в координатной форме........ |
83 |
Раздел 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ...... |
85 |
10. Прямая на плоскости ................................................................................ |
85 |
10.1. Уравнение линии на плоскости............................................................ |
85 |
10.2. Прямая линия на плоскости.................................................................. |
86 |
10.3. Различные виды уравнения прямой на плоскости.............................. |
88 |
10.4. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности |
|
и перпендикулярности прямых...................................................................... |
95 |
10.5. Расстояние от точки до прямой.......................................................... |
100 |
11. Кривые второго порядка......................................................................... |
102 |
11.1. Эллипс................................................................................................... |
103 |
11.2. Гипербола.............................................................................................. |
107 |
11.3. Парабола ............................................................................................... |
113 |
11.4. Преобразование координат на плоскости и приведение |
|
общего уравнения второго порядка к каноническому виду..................... |
116 |
12. Параметрическое представление линии на плоскости........................ |
126 |
13. Уравнение линии в полярной системе координат............................... |
128 |
13.1. Полярная система координат.............................................................. |
128 |
13.2. Некоторые линии, заданные в полярной системе координат.......... |
130 |
4
Раздел 4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ... 135
14. Плоскость.................................................................................................. |
135 |
14.1. Уравнение поверхности в пространстве............................................. |
135 |
14.2. Плоскость............................................................................................... |
136 |
14.3. Различные виды уравнения плоскости............................................... |
137 |
14.4. Расстояние от точки до плоскости...................................................... |
142 |
14.5. Угол между двумя плоскостями.......................................................... |
143 |
15. Прямая линия в пространстве................................................................. |
144 |
15.1. Уравнения линии в пространстве........................................................ |
144 |
15.2. Различные виды уравнений прямой в пространстве......................... |
145 |
15.3. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности |
|
и перпендикулярности прямых .................................................................... |
148 |
15.4. Взаимное расположение прямой и плоскости................................... |
149 |
16. Поверхности второго порядка................................................................ |
151 |
Раздел 5. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ.......................................... |
156 |
Индивидуальные задания по теме «Линейная алгебра» ........................... |
156 |
Индивидуальные задания по теме «Векторная алгебра» .......................... |
161 |
Индивидуальные задания по теме «Аналитическая |
|
геометрия на плоскости и в пространстве» ................................................ |
166 |
Задание 1 ......................................................................................................... |
166 |
Задание 2 ......................................................................................................... |
176 |
5
РАЗДЕЛ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
1.МАТРИЦЫ
1.1.Основные понятия
Матрицей размерности (n × m) называется таблица, состоя-
щая из n m чисел, расположенных в n строках и m столбцах, где n, m N , N – множество натуральных чисел. Обозначается матрица следующим образом:
a11 |
a12 |
... |
a1m |
|
|
|
|
|
|||
a |
a |
|
... |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (aij ), i = 1,2,...,n = 1, n; j = 1,2,...,m = 1, m. |
||||||||
A = 21 |
|
22 |
... |
|
2m |
||||||
... ... |
... |
|
|
|
|
|
|
||||
|
an2 |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an1 |
anm |
|
|
|
|
|
|||||
Числа aij называются элементами матрицы, i – номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых находится элемент aij .
Если n ≠ m , то |
матрица |
|
называется прямоугольной, если |
|||||
n = m , то квадратной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть B – квадратная матрица порядка n, т.е. размерности |
||||||||
(n × n), |
|
|
|
|
|
|
|
|
b11 |
b12 ... |
b1n |
|
|
|
|
||
b |
b |
... |
b |
|
|
|
|
|
|
= (bij ) , |
i, j = 1, n . |
||||||
B = 21 |
22 |
|
2n |
|||||
... |
... ... |
... |
|
|
|
|
||
bn1 |
bn2 ... |
bnn |
|
|
|
|
||
Элементы матрицы B, стоящие на диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, образуют главную диагональ квадратной матрицы. Элементы, стоящие на другой диагонали, об-
разуют побочную диагональ.
6
Например, даны матрицы A и B.
1 |
−2 |
3 |
|
прямоугольная матрица размерности |
A = |
|
|
– |
|
6 |
0 |
8 |
|
|
(2 × 3) , для которой a23 |
= 8, a12 = −2 . |
|||
2 |
4 |
– матрица 2-го порядка, главную диагональ ко- |
||
B = |
|
|||
−1 |
0 |
|
|
|
торой образуют элементы: 2, 0; а побочную диагональ образуют элементы: 4, –1.
Матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковую размерность и их соответствующие элементы равны, т.е.
A = B aij = bij .
Матрица называется нулевой, если все её элементы равны нулю. Нулевая матрица не обязательно квадратная.
Например:
0 |
0 |
|
– нулевая матрица 2-го порядка; |
|
O = |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
– нулевая матрица размерности (3× 2) . |
O = |
|
|||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||
Квадратная матрица называется единичной, если на ее главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы равны нулю.
Например, |
|
||
1 |
0 |
|
– единичная матрица 2-го порядка, |
E = |
|
|
|
0 |
1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
– единичная матрица 3-го порядка. |
E = |
|
||||
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|||
Рассмотрим операции над матрицами и их свойства.
7
1.2.Операции над матрицами и их свойства
I. Сложение матриц
Суммой двух матриц А и В одной размерности называется матрица С той же размерности, элементы которой получаются по
закону: cij = aij + bij |
, т.е. |
A + B = C cij |
= aij + bij . |
|
|
||||
Например, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
−3 |
8 |
5 |
7 |
9 7 |
4 |
||
|
5 |
−2 |
|
+ |
0 |
|
= |
0 |
. |
0 |
|
−6 |
2 |
−6 5 |
|
||||
Сложение матриц обладает теми же свойствами, что и сложение чисел:
1)А + В = В + А (переместительный закон);
2)(А + В) + С = А + (В + С) (сочетательный закон);
3)А + О = А, где О – нулевая матрица размерности матрицы A.
II. Умножение матрицы на действительное число
Пусть λ действительное число.
Произведением матрицы А на число λ называется матрица С размерности матрицы А, элементы которой получаются по закону:
cij = λ aij , т.е. λ A = C cij = λ aij .
Например, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
5 |
|
|
|
1 |
3 |
−3 |
− 9 |
||||
|
−2 |
|
|
−10 |
|
|
−3 |
||||||||
5 |
|
= |
|
; |
|
4 |
0 |
|
= |
−12 |
0 |
. |
|||
|
3 |
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Свойства операции умножения матрицы на действительное
число: |
Если λ, k – действительные числа, то λ(k A) = (λ k)A (со- |
|||
1) |
||||
четательный закон относительно числового множителя); |
|
|||
2) |
(λ+ k)A = λ A + k A |
(распределительный |
закон |
относи- |
тельно суммы чисел); |
|
|
|
|
3) |
λ(A + B) = λ A + λ B |
(распределительный |
закон |
относи- |
тельно суммы матриц);
8
4) |
λ O = O , где O – нулевая матрица; |
||||
|
|
λ |
0 . 0 |
|
|
|
|
0 |
λ . 0 |
|
|
5) |
λ E = |
|
, где E – единичная матрица n -го |
||
|
|
|
|
||
|
|
0 |
0 . λ |
|
|
|
|
|
|
||
порядка.
Замечание. Разность матриц A и B определяется с помощью рассмотренных операций традиционным образом: A − B = A + (−1) B.
Например,
1 |
−3 |
5 |
8 |
10 |
0 |
−7 |
−13 5 |
|||||
|
−8 |
2 |
|
− |
2 |
−3 |
−4 |
|
= |
8 |
−5 6 |
. |
10 |
|
|
|
|
|
|||||||
III. Умножение матриц
а) Умножение квадратных матриц
Пусть A, B – матрицы n -го порядка.
Произведением двух матриц А и В называется матрица С n-го порядка, элементы которой вычисляются по закону:
n
cij = aik bkj = ai1 b1 j + ai 2 b2 j + ai3 b3 j + ... + ain bnj , т.е. для нахож- k =1
дения элемента cij следует найти сумму произведений элементов i -й строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столб-
ца матрицы B.
Рассмотрим примеры на вычисление произведения матриц.
Пример 1.1
1 |
2 |
−1 0 |
|
|
c11 |
c12 |
|
|
|
4 |
|
|
= |
|
c22 |
, |
|
3 |
5 1 |
|
|
c21 |
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
c11 = 1 (−1) + 2 5 = 9; |
|
|
c12 = 1 0 + 2 1 = 2; |
|||||
c21 = 3 (−1) + 4 5 = 17; |
|
|
c22 |
= 3 0 + 4 1 = 4. |
||||
1 |
2 −1 |
|
0 |
9 2 |
|
|||
Следовательно, |
|
|
|
= |
|
|
. |
|
3 |
4 5 |
|
1 |
|
17 4 |
|
||
9
Пример 1.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 0 1 |
2 |
−1 |
−2 |
|
||||||
|
5 1 |
|
|
3 |
4 |
|
= |
8 |
14 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
так как
c11 = (−1) 1+ 0 3 = −1; c12 = (−1) 2 + 0 4 = −2; c21 = 5 1+ 1 3 = 8; c22 = 5 2 + 1 4 = 14.
Замечание. Примеры 1.1 и 1.2 иллюстрируют следующее свойство операции умножения матриц: переместительный закон для умножения матриц не выполняется, т.е. A B ≠ B A .
Пример 1.3
2 |
−3 9 |
−6 |
0 |
0 |
|
|||||||
|
−4 |
6 |
|
|
6 |
−4 |
|
= |
0 |
0 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
так как
c11 = 2 9 + (−3) 6 = 0; c12 = 2 (−6) + (−3) (−4) = 0; c21 = −4 9 + 6 6 = 0; c22 = −4 (−6) + 6 (−4) = 0.
б) Умножение прямоугольных матриц
Осуществляется по такому же правилу, что и для квадратных матриц. Но прямоугольную матрицу A можно умножить не на всякую прямоугольную матрицу B. Чтобы существовало произведение A B , необходимо, чтобы количество столбцов матрицы А было равно количеству строк матрицы В.
Произведением матрицы A = (aik ) на матрицу B = (bkj ) ,
где i = 1, n , k = 1, m , j = 1, p , называется матрица C = (cij ) , элемен-
m
ты которой вычисляются по закону: c ij = aik bkj = ai1b1 j +
k =1
+ai 2b2 j + ... + aimbmj .
Из определения следует: если матрица A имеет размерность (n × m) , а матрица B – (m × p) , то матрица C = A B имеет размер-
ность (n × p) .
10