Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1

данное уравнение является нормальным и найти острый угол между указанной прямой и осью OX.

5.Найти расстояние от точки К (3; –2; 1) до плоскости, проходящей через точки М (5; –4; 3) и N (–2; 1; 8) и перпендикулярной плоскости YOZ.

6.Плоскость α проходит через точки А (0; 0; z), B (3; –2; 0),

С (3; 0; 1). Плоскость β задана уравнением x + 2 y + 2z − 7 = 0 . Определить аппликату точки А при условии, что угол между

плоскостями α и β равен arccos 218 .

7. Проверить, имеют ли общую тoчку следующие четыре плос-

кости: 5x − z + 3 = 0, 2x − y − 4z + 5 = 0, 3y + 2z −1= 0, 3x+ 4y+5z −3= 0.

10.Доказать, что треугольник АВС, где А (2; 3; –1), В (3; –1; 2),

С(–1; 2; 3), равносторонний. Составить уравнения сторон треугольника и найти длину его высоты.

201

параллельны и написать уравнения прямой, проходящей посередине между ними.

Вариант 25

1. Даны вершины А (–3; –2), В (4; –1), С (1; 3) трапеции

ABCD (AD || ВС). Известно, что диагонали трапеции взаимно пер-

пендикулярны. Найти координаты вершин D этой трапеции.

2. При каких значениях с площадь фигуры, ограниченной координатными осями и прямой 3x + 10 y + c = 0 , равна 135 кв.

x = 2 (BC), x + y − 2 = 0 (AC) . Составить уравнение прямой, прохо-

дящей через вершину В и через точку на стороне АС, делящую её (считая от вершины А) в отношении 1:3. Найти угол между построенной прямой и стороной АС, а также длину высоты, опущенной из вершины В.

4.Найти уравнение прямой, проходящей через точку А (0; 2)

иобразующей с осью ОХ угол, вдвое больше угла, который сос-

тавляет с той же осью прямая 3x − y + 1 = 0 .

5. Найти аппликату точки M (2; 3; Z) при условии, что

m = n = 2 найти угол между указанными плоскостями.

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

А (10; –5; 2), B (16; 3; 11), С (–11; –33; 0), и указать особенность в её расположении. Найти углы, образованные перпендикуляром, проведенным из начала координат к плоскости, с координатными осями.

202

x + 5y + 2z − 5 = 0,

8.Написатьканоническиеуравненияпрямой 2x − 5y − z + 5 = 0.

9.Найти угол между прямыми, одна из которых задана урав-

иперпендикулярно к данной прямой.

11.Найти периметр треугольника, вершины которого нахо-

дятся в точках А (8; 0; 6), В (8; –4; 6), С (6; –2; 5). Составить

уравнения средней линии треугольника, параллельной стороне АС.

Вариант 26

1. ДанывершинытреугольникаA (–12; –2); B (4; 10); C (–6; –10).

Показать, что этот треугольник прямоугольный и составить уравнение высоты, проведеннойизвершиныпрямогоугла.

2. Написать уравнение прямой, параллельной прямой 2x + 5y–1 = 0 и отсекающей от первого координатного угла пло-

4x + 3y–34 = 0 . Найти уравнение другой боковой стороны, если известно, что она проходит через точку M (8; 9).

203

точку M2 (5; –1; 2) и содержит ось ОX. Найти угол между плоскостями α и β.

7. Плоскость α проходит через точку P (3; –1; 2) и отсекает на оси ОX отрезок вдвое больше, чем на оси ОY и втрое больше, чем на оси ОZ. Плоскость β задана уравнением 3x + my − z + 1 = 0 . При

каком m плоскости будут перпендикулярны?

10.Найти периметр треугольника с вершинами M1 (2; 4; 5), M2 (3; 8; 13), M3 (–1; 0; 5). Найти уравнения сторон треугольника

иугол между сторонами M1M2 и M1M3.

11.Через точку M1 (2; 3; 6) провести плоскость перпендику-

2x − 6 y + z = 0,

лярную прямой 4x − 3y − z + 1 = 0.

Вариант 27

1.Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров, восстановленных из середин сторон треугольника, вершинами которого являются точки A (2; 3), B (0; –3), C (5; –2).

2.Написать уравнение прямой, отсекающей на оси ОY отрезок, длина которого равна 3, и наклоненной к положительному направлению оси ОX под углом 135º.

сцисса в десять раз больше ординаты. Найти расстояние от найденной точки до прямой 3x − y + 1 = 0 .

5. Дан тетраэдр с вершинами A (2; 0; 1), B (0; 0; 3), C (1; 2; 1),

D (4; 3; 2). Найти угол между гранями ABC и ACD. Составить уравнение плоскости, проходящей через вершину D параллельно грани ABC.

204

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1 (3; 5; 1) и M2 (4; 2; 3). параллельной вектору a{3;− 1;− 2} . Найти

расстояние от точки P (5; –2; 4) до построенной плоскости.

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1 (1; 1; 1), M2 (2; 3; 4) и перпендикулярной плоскости 2x − 7 y + 5z + 3 = 0 . Полученное уравнение привести к уравнению

в отрезках и построить.

8x − 5y − z −1= 0, 8. Написатьканоническиеуравненияпрямой x + 3y + 2z + 3 = 0.

9. Составить уравнение прямой, проходящей через точку

Вариант 28

1.Даны вершины треугольника A (2; 1), В (0; 7), С (–4; –1). Найти уравнение его медиан и точку их пересечения.

2.Составить уравнение прямой, которая проходит через

точку M1 (2; –5) и отсекает на оси абсцисс отрезок втрое больше, чем на оси ординат (считая каждый отрезок направленным от начала координат).

3. Даны уравнения сторон треугольника 3x − 7 y + 22 = 0 (АВ), 4x + y − 12 = 0 (ВС), 5x + 9 y + 16 = 0 (АС). Найти угол между высо-

той, проведенной из вершины В, и прямой, проведенной через точку С параллельно АВ.

205

4. Дана прямая 6x − 8y − 15 = 0 . Найти уравнение прямой,

параллельной данной и отстоящей от нее на расстоянии четырех единиц.

5. Плоскость α проходит через точку Р (2; 1; 1) и отсекает на осях OX и OY отрезки, соответственно равные 4 и –6. Плоскость β задана уравнением mx + 3y + nz − 6 = 0 . При каких m и n плоскости

будут параллельны?

6. Плоскость α проходит через точку M1 (5; 3; 2) и параллельна двум векторам a{4;1;2} и b{5;3;1} . Плоскость β проходит

через точки Р1 (1; 1; 1), Р2 (2; 3; 2) и Р3 (3; 4; 2). Найти угол между плоскостями α и β.

Прямая l2 проходит через точку Р (3; 2; –1) параллельно прямой

x = 2t + 5,

= 3 − 1, Найти угол между прямыми и .

y t l1 l2

z = −2t + 3.

Вариант 29

1. Вершиной треугольника служит точка M1 (5; –3), а основанием – отрезок, соединяющий точки M2 (0; –1) и M3 (3; 3). Составить уравнение сторон треугольника и найти длину высоты треугольника.

206

2.Найти угол наклона к оси ОХ и начальную ординату пря-

мой − x3 + 1y = 1 .

3.Стороны треугольника заданы уравнениями 3x − 2 y + 6 = 0 (АВ), 2x + y − 10 = 0 (ВС), x − 3y + 2 = 0 (АС). Найти углы, которые

медианаВМ образуетсо сторонамиАВиВС.

4. Написать уравнение прямой, параллельной прямым 2x − 3y + 7 = 0 и 2x − 3y + 5 = 0 и проходящей посередине между

вести к уравнению в отрезках и построить.

6.Через точку Q (–1; 3; –8) проведены две плоскости, одна из них содержит ось OY, другая OZ. Вычислить угол между этими плоскостями.

7.Плоскость проходит через точки M1 (0; 1; 2), M2 (2; 8; 3), M3 (3; –2; –1). Найти расстояние от точки Р (5; –8; 6) до этой

плоскости.

11. Прямая проходит через точки M1 (–1; 3; 0), M2 (1; 7; 3). Плоскость задана уравнением 3x + By + 2z + D = 0 . При каких B и D

прямая лежит в плоскости?

207

Вариант 30

1.Даны вершины четырехугольника ABCD: A (2; 1), B (5; 2), C (3; 6), D (0; 3). Найти точку пересечения его диагоналей. Через вершину С провести прямую, параллельную диагонали BD.

2.Дано уравнение прямой y − 5 = 13 (x + 4) . Написать уравне-

ние в отрезках и нормальное уравнение.

3. Найти внутренние углы треугольника, если даны уравнения его сторон: x − 3y + 3 = 0 (АВ), x + 3y + 3 = 0 (АС) и основание

D (–1; 3) высоты AD.

4.Найти точку M симметричную точке N (7; –4) относительно прямой, проходящей через точки А (3; –2) и В (1; 4).

5.Плоскость α проходит через точки M1 (1; 1; –4), M2 (0; –1; –1),

M3 (–1; 2; 12). Плоскость β задана уравнением x + 2 y − 3z + 2 = 0 .

Показать, что плоскости параллельны, и выяснить, какая из них расположенаближекточкеР(0; –7; 3).

6. Плоскость α проходит через точку M1 (2; –4; 3) и отсекает на оси OY отрезок вдвое меньше чем на оси OX и втрое больше чем на оси OZ. Плоскость β задана уравнением 4x − my + nz − 1 = 0. При

каких m и n плоскости параллельны? При m = –1, n = 2 найти угол

угол между ними.

10.Прямая l1 проходит через точку M1 (–1; 2; 4), перпендикулярно плоскости 2x + y − 6z + 10 = 0 . Прямая l2 проходит через точки M1 (2; 3; –5) и M2 (–4; 0; 3). Найти угол между прямыми l1 и l2 .

11.Найти точку M, симметричную точке Р (–1; 2; 4) относительно плоскости 3x + 2 y + z + 9 = 0.

208

Учебное издание

Лихачева Наталья Николаевна, Онискив Людмила Михайловна, Воробьева Елена Юрьевна

ЛЕКЦИИ И ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Часть 1

Учебно-методическое пособие

Редактор и корректор И.Н. Жеганина

Подписано в печать 5.02.2016. Формат 60×90/16. Усл. печ. л. 13,25. Тираж 100 экз. Заказ № 10/2016.

Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета.

Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский проспект, 29, к. 113.

Тел. (342) 219-80-33.

209