Линейные задачи теории гидродинамической устойчивости и численные ме

На рис. 3.2 приведены результаты расчета устойчивости течения Пуазейля разными методами. Сплошная жирная линия – нейтральная кривая, полученная Линь-Цзя-Цзяо асимптотическим методом, пунктирная линия – результат расчета нейтральной кривой методом Галеркина в приближении 20 функций, кружочками отмечены результаты Томаса (метод конечных разностей), тонкой линией с квадратами представлена нейтральная кривая, полученная методом дифференциальной прогонки магистрантами ПГТУ.

3.3.Устойчивость плоского конвективного течения

скубическим профилем скорости

(метод Рунге–Кутта с ортогонализацией)

В данном параграфе исследуем устойчивость стационарного течения между вертикальными плоскостями, нагретыми до разных температур. Применение метода Бубнова–Галеркина в этой задаче в области больших значений числа Прандтля требует использования базиса с большим числом функций. Так, например, для вычисления нейтральных точек спектра монотонных возмущений при Pr = 30 необходимо определять собственные значения матрицы 40-го порядка. Использование для построения решения обыкновенных дифференциальных уравнений метода Рунге–Кутта с ортогонализацией линейно независимых решений позволяет построить нейтральные кривые в области значений числа Прандтля от 0 до 104.

1. Постановка задачи. Рассмотрим плоский вертикальный слой вязкой несжимаемой жидкости, заключенной между твердыми изотермическими пластинами, нагретыми до разных температур. В стационарных условиях в слое в поле тяжести возникает конвективное течение, состоящее из двух встречных потоков (предполагается, что течение происходит в замкнутой области). Если в качестве единиц длины и температуры выбрать полуширину канала h и полуразность температур Θ, а в качестве

единицы скорости выбрать g h2 / , то стационарные распре-

31

деления скорости и температуры в слое 1 x 1 будут иметь вид:

где х – поперечная безразмерная координата, отсчитываемая от середины слоя.

Для исследования устойчивости стационарного течения рассмотрим поведение в потоке нормальных возмущений функции тока и температуры вида

{ (x, z,t), T (x, z,t)} { (x), (x)}exp( t ikz).

Здесь z – вертикальная координата, k – вещественное волновое число, определяющее периодичность возмущений вдоль потока, λ = λr + iλi – комплексный декремент, действительная часть которого характеризует быстроту затухания или нарастания возмущений, а мнимая – их частоту колебаний или фазо-

вую скорость, для времени t выберем в качестве единицы измерения h2/ν.

Уравнения для комплексных амплитуд φ(x) и θ(x) могут быть получены из уравнений конвекции (2.2)–(2.4) и в линейном приближении имеют вид

IV 2k 2 k 4 ikGr u0 u0 k 2 k 2 ,

где штрих означает дифференцирование по х. Уравнения содер-

жат два безразмерных параметра: число Грасгофа Gr g 2h3 ,

характеризующее интенсивность конвективного движения, и число Прандтля Pr = ν/χ, определяемое свойствами жидкости.

Условия исчезновения возмущений на твердых изотермических стенках канала приводят к граничным условиям:

32

в том, что параметры Gr и Pr могут принимать большие значения, и при численном получении решения это ведет к возникновению трудностей, связанных с появлением в уравнениях малых коэффициентов при старших производных.

2. Сведение краевой задачи к задаче Коши. Для численного построения решения уравнений (3.24) удобно применить какойнибудь пошаговый метод интегрирования, например, метод Рунге–Кутта. Запишем уравнения (3.24) в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

w3 , w4 , w6 , можно построить три линейно независимых решения

уравнений (3.26) и, комбинируя их, удовлетворить условиям в конечной точке интегрирования:

x 1: w1 0, w2 0, w5 0. (3.28)

Для построения линейно независимых решений можно использовать следующие три варианта начальных условий:

33

где вторая цифра в индексе обозначает номер линейно независимого решения.

Общее решение системы (3.26), удовлетворяющее граничным условиям (3.27), можно представить в виде

Условие существования нетривиального решения (3.32), удовлетворяющего граничным условиям (3.28), приводит к характеристическому уравнению

Уравнение (3.33) определяет спектр собственных значений задачи (3.24), (3.25).

3. Метод ортогонализации. Итак, для нахождения собственных значений необходимо построить три линейно независимых решения системы (3.26). Начальные условия (3.29)–(3.31) обеспечивают линейную независимость на начальном участке интегрирования. Однако в дальнейшем из-за наличия быстро растущего решения и ошибок округления линейная независимость решений теряется. Для того чтобы сохранить линейную независимость решений, применим метод ортогонализации.

В начальный момент интегрирования три решения отличаются различным заданием функций w3 , w4 , w6 , которые удобно

рассматривать как компоненты вектора. Эти векторы при х = –1 взаимно перпендикулярны (их скалярные произведения равны нулю). Идея метода ортогонализации состоит в том, чтобы со-

34

хранить перпендикулярность векторов в процессе интегрирования через весь слой, осуществляя линейные преобразования решений. Один из простых вариантов такого преобразования состоит в повороте каждого из векторов к первоначальному направлению.

Пусть после некоторого шага интегрирования получены три линейно независимых решения wi1, wi2, wi3. Построим три линейные комбинации этих решений (i = 1, …, 6):

После вычисления коэффициентов аmn осуществляем пре-

образование (3.34) над всеми компонентами решений и полу-

~ ~ ~

ченные функции wi1, wi2 , wi3 используем в качестве начальных

условий для получения трех решений на следующем шаге интегрирования. В приведенных ниже расчетах процедура ортогонализации осуществлялась на каждом шаге интегрирования.

4. Описание алгоритма. Для вычисления характеристического определителя (3.33), как было указано выше, нужно по-

35

строить три решения системы (3.26). Поскольку мы собираемся проводить ортогонализацию решений, их удобно находить одновременно, интегрируя сразу три комплексные системы 6-го порядка. После разделения вещественной и мнимой частей уравнений (3.26) получим вещественную систему 36-го порядка. Символически запишем ее в виде

функции yi (x), связанные с комплексными функциями системы (3.26) следующими соотношениями:

а компоненты векторной функции f получаются из правых

частей системы (3.26).

Для интегрирования системы (3.35) применяется метод Рунге–Кутта с расчетными формулами Мерсона [20]:

yn 1 yn 12 K1 4K2 K5 0 h5 , K1 13 hf xn , yn ,

K2 13 hf xn 13 h, yn K1 ,

36

K5 13 hf xn h, yn 32 K1 92 K3 6K4 .

Ошибки в счете неизвестных функций определяются формулами

15 K1 92 K3 4K4 12 K5 .

Шаг интегрирования h выбирался таким образом, чтобы максимальная компонента вектора удовлетворяла неравенствам

max , 32

причем δ изменялось в различных расчетах от 10–5 до 10–7.

На каждом шаге осуществлялась ортогонализация трех получаемых решений. После получения решения при x 1 вычислялись вещественная и мнимая части определителя в уравнении (3.33). Корни этого уравнения находились методом Ньютона.

5. Результаты расчета. При проведении расчетов главное внимание уделялось нахождению нейтральных кривых. Использование метода ортогонализации позволило исследовать устойчивость конвективного течения при очень высоких значениях числа Прандтля (до Pr = 104).

На рис. 3.3 приведены на плоскости k, kGr нейтральные кривые монотонной и колебательной неустойчивости при различных значениях числа Прандтля (значения указаны цифрами у кривых). Сплошные линии соответствуют монотонным возмущениям, пунктирные – колебательным. Из рисунка видно, что

37

неустойчивость течения по отношению к монотонным возмущениям слабо зависит от числа Прандтля. При больших значениях числа Прандтля, начиная с Pr = 30, все нейтральные кривые практически совпадают.

3.3. Нейтральные кривые для конвективного течения

В отличие от монотонной неустойчивости область существования нарастающих колебательных возмущений на плоскости k, kGr замкнута. Обе ветви нейтральной кривой для всех значений Pr имеют на плоскости k, Gr общую асимптоту k = 0 и приближаются к ней по закону k-1.

Фазовые скорости нейтральных возмущений для соответствующих значений числа Прандтля приведены на рис. 3.4. Более высокие значения фазовой скорости соответствуют нижним вет-

38

вям нейтральных кривых, изображенных на рис. 3.3. Пунктиром на рис. 3.4 отмечена максимальная скорость стационарного течения.

3.4. Фазовые скорости возмущений в конвективном течении

Минимизированные по волновому числу значения числа Грасгофа Grm в зависимости от Pr приведены на рис. 3.5. Кривая I дает границу устойчивости относительно монотонных возмущений, кривая II – относительно колебательных возмущений. В области малых значений числа Прандтля неустойчивость связана с монотонными возмущениями. При Pr 0 критическое значение числа Грасгофа стремится к 496. В области больших Pr минимальное Grm также стабилизируется, достигая в пределе значения 492.

3.5. Карта устойчивости конвективного течения

39

Ветвь колебательной неустойчивости появляется при значении числа Прандтля 11,4. Начиная с Pr = 12, ответственными за неустойчивость стационарного течения становятся колебательные возмущения. При Pr критическое значение Grm стремится к нулю по закону 533 Pr –1/2.

Упражнения

1.Получить формулы для описания стационарных течений Куэтта, Пуазейля и конвективного течения в вертикальном слое

ипостроить графики скоростей этих течений.

2.Найти собственные функции и собственные значения задачи о нормальных возмущениях в плоском слое покоящейся жидкости с твердыми границами.

3.Найти собственные функции и собственные значения задачи о нормальных возмущениях в плоском слое покоящейся жидкости со свободными плоскими границами.

4. Вывести формулы для нормировочных интегралов In

ввыражениях для базисных функций (3.3).

5.Решить трансцендентные уравнения (3.4) для декрементов возмущений покоящейся жидкости. Найти первые 10 значений декрементов для волнового числа k, заданного преподавателем.

6.Привести к вещественному виду матрицу

где матричные элементы Hmn отличны от нуля для индексов разной четности.

40