Линейные задачи теории гидродинамической устойчивости и численные ме

уравнение баланса касательных напряжений

или более простые варианты этих условий. Здесь n и – векторы, показывающие направление нормали и касательной к свободной поверхности, – нормальная к недеформированной сво-

вязкость и коэффициент поверхностного натяжения жидкости.

Из размерных параметров задачи {[g] = см/с2, [h] = см, [Θ] = К, [β] = К–1, [η] = г/(см·с), [ν] = [χ] = см2/с, [σ0] = г/с2, [σ1] = г/(с2·К)} можно сформировать два безразмерных парамет-

ра – числа Релея и Марангони:

Ra g h3 , Ma 1 h ,

содержащих характерную разность температуры и характерный размер полости h и описывающих интенсивность теплового воздействия на систему. В задаче имеются также безразмерные параметры, характеризующие свойства жидкости:

Pr ,

Pr – число Прандтля, дающее отношение температурного и вязкого времени данной жидкости, и капиллярный параметр

Ca 0h / ,

показывающий отношение силы поверхностного натяжения к вязким силам. При Ca вязкие силы не могут создавать

12

давления, деформирующего поверхность, и она при возникновении конвекции не меняет своей равновесной формы (например, остается плоской).

Конкретные примеры стационарных конвективных состояний и исследования их устойчивости приведены в главах 3–4.

В некоторых технических устройствах область движения жидкости бывает разделена проницаемыми перегородками типа сеток. Их важное свойство состоит в том, что они сильно влияют на крупномасштабное движение жидкости, практически не затрагивая процессы молекулярного переноса. Наличие в полости проницаемых перегородок может изменить порог конвективной устойчивости системы.

Представим проницаемую перегородку в виде большого числа твердых элементов, регулярно расположенных в тонком слое. Для описания движения жидкости на расстояниях, много больших размеров ячеек решетки, ограничимся использованием интегральных характеристик решетки для постановки на ней граничных условий задачи о течении жидкости. Сформулируем граничные условия на проницаемой перегородке, исходя из простых физических соображений. Правдоподобной представляется гипотеза о непрерывности скорости при переходе через перегородку, т.к. на твердых участках перегородки скорость обращается в нуль на обеих сторонах, а на свободных участках она непрерывна:

где знаками «+» и «–» обозначены значения функций на разных сторонах перегородки.

Для медленных течений можно также предположить, что силы, действующие на перегородку со стороны жидкости, пропорциональны скорости её течения у перегородки:

сопротивлений перегородки. Здесь учтено, что скорость на перегородке непрерывна.

Из соображений симметрии следует, что в системе координат n, 1, 2 , связанной с границей, тензор сопротивлений является диагональным и задается тремя числами: нормальным сопротивлением n и касательными сопротивлениями 1 и 2 .

Далее будем считать перегородку изотропной и 1 2 .

Учитывая сделанные предположения, условия (2.11) запишем в виде

(нормальная компонента скорости пропорциональна перепаду давления на перегородке),

(касательная компонента скорости пропорциональна сумме вязких напряжений, действующих с разных сторон перегородки).

В качестве единицы измерения сопротивления перегородки удобно выбрать отношение динамической вязкости жидкости к характерному размеру полости / h. В дальнейшем безраз-

мерное сопротивление будем также обозначать n и .

Исследование влияния проницаемой перегородки на порог конвективной устойчивости приведено в главе 5.

2.2. Уравнения малых возмущений

Механическое равновесие неравномерно нагретой жидкости или возникшее при малых разностях температуры стационарное конвективное течение могут оказаться неустойчивыми при увеличении теплового воздействия на систему. Особый интерес представляет определение порога неустойчивости системы.

14

В случае мягкой смены режимов порог устойчивости определяется ростом малых возмущений, которые обычно выбирают в форме нормальных возмущений, полагая их экспоненциальную зависимость от времени и периодичность по однородным пространственным координатам. Поля всех физических величин системы представляют в виде суммы основного поля и малой добавки к нему F f0 f1 . Для малых добавок из уравнений

конвекции получают систему линейных уравнений с соответствующими граничными условиями. В дальнейшем мы будем обсуждать устойчивость плоских слоев жидкости, описывая движение жидкости в декартовой системе координат: x, y – продольные координаты, z – поперечная координата. В этих координатах функцию f1, описывающую возмущение, пред-

ставляют в виде

ные волновые числа, определяющие периодичность возмущений вдоль однородных координат x, y. Амплитудные функции f(z) удовлетворяют линейной однородной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с однородными краевыми условиями. Вид этих уравнений для неизотермической жидкости зависит от ориентации слоя относительно силы тяжести [8]. Условие существования нетривиального решения краевой задачи для амплитуд возмущений определяет декремент или при заданном значении декремента – критические параметры задачи.

Сформулируем математическую проблему устойчивости относительно малых возмущений для изотермических плоскопараллельных течений. Пусть жидкость движется между плоскостями z = h вдоль оси x и имеет профиль скорости v0 U u0 (z / h)i . Амплитуду скорости U и полутолщину слоя h

удобно взять за единицы скорости и расстояния соответственно.

15

За единицы времени выберем вязкое время – h2/ , а за единицу давления примем 0U /h. В безразмерных переменных уравнение Навье–Стокса имеет вид

где Re = Uh/ – число Рейнольдса, характеризующее интенсивность стационарного течения.

Для исследования устойчивости стационарного состояния наложим на скорость и давление малые возмущения v и p ,

при этом полная скорость течения жидкости и давление представляются в виде

Подставим (2.16) в (2.15) и с учетом уравнения для стационарного состояния в линейном приближении для малых возмущений получим следующее уравнение (далее штрих для обозначения возмущений опущен):

В соответствии с теоремой Сквайра [1] достаточно рассмотреть плоские возмущения с волновым вектором, направленным по оси х. Для таких возмущений удобно ввести функцию тока (уравнение неразрывности будет удовлетворяться тождественно) соотношениями:

Исключая из (2.17) давление и вводя в него функцию тока, получим

уравнение для амплитуды (z) получается подстановкой (2.19)

в (2.18):

IV 2k 2 k 4 ikRe u0 u0 k 2 k 2 , (2.20)

которое называется уравнением Орра–Зоммерфельда.

В случае твердых границ условия прилипания жидкости приводят к следующим граничным условиям:

Уравнение (2.20) вместе с граничными условиями (2.21) определяют спектр декрементов возмущений стационарного изотермического течения с профилем скорости u0(z).

2.3. О численных методах решения краевых задач

Точные решения задач теории гидродинамической устойчивости удается получить в исключительных случаях. Поэтому главное внимание будет уделено использованию численных методов.

Большинство приближенных методов основано на замене исходной постановки краевой задачи ее обобщенным аналогом. Обобщенное решение задачи должно удовлетворять уравнениям задачи не в каждой точке пространства–времени, а либо на некотором множестве дискретных точек (например, в методе коллокаций), либо интегрально на исследуемой пространственновременной области. Такими обобщенными постановками являются, например, вариационные аналоги «точных» задач, широко распространенные в механике сплошной среды (особенно – в теории упругости и пластичности). Общим подходом к формулировке обобщенных решений является так называемый метод взвешенных невязок в разных вариантах, среди которых наибольшей популярностью у механиков пользуется метод Га-

17

леркина (или Бубнова – Галеркина) [16, 17]. Напомним вкратце основные идеи метода.

Прежде всего остановимся на некоторых понятиях функционального анализа [18, 19], необходимых для изложения метода.

Вещественным гильбертовым пространством Н называется полное вещественное нормированное пространство, норма в котором порождена скалярным произведением. Скалярное произведение двух элементов x, y H будем обозначать как (х, у).

Элементы х, у называются ортогональными (что обозначается как x y), если (х, у) = 0.

Пространство называется сепарабельным, если в нем существует конечное или счетное всюду плотное подмножество. В сепарабельном гильбертовом пространстве всегда можно ввести конечный или счетный ортонормированный базис, по которому можно разложить любой элемент этого пространства.

Заметим, что в качестве X и Y в прикладных задачах обычно используется одно и то же пространство, например, W21 (простран-

ство Соболева суммируемых вместе с первыми обобщенными производными функций). Пусть для фиксированного элемента y (A) Y требуется найти x D(A) X , удовлетворяющий

операторному уравнению Ах = у.

Приближенное решение данного уравнения согласно методу Галеркина отыскивается следующим образом. Введем счет-

ные множества линейно независимых элементов Φ = φi i=1 ,

Ψ = ψj j =1 , полные соответственно в D( A) и ( A) (заметим,

что введенные множества Ф и Ψ могут быть легко ортонорми-

рованы [18, 19]).

18

В силу полноты Ф решение х можно представить линейной

комбинацией элементов φi : x = αiφi (в случае наличия орто-

i=1

нормированного базиса, по сути, элемент х раскладывается по этому базису). Если потребовать ортогональность невязки

r = (Ax – y) ко всем элементам полной системы ψj :

r, ψj = 0, j =1, 2, ..., то единственным элементом r в силу пол-

ноты Ψ является нулевой элемент: r = 0 (здесь 0 – нулевой элемент ( A) ). Подставив в последнее уравнение выражение х

в виде линейной комбинации φi , I = 1, 2, …, приходим к беско-

нечной системе алгебраических уравнений (линейных или нелинейных в зависимости от оператора А). В силу невозможности решения подобных бесконечных систем уравнений для определения приближенного решения вводятся конечномерные подпространства Фn и Ψn , порождаемые соответственно подмноже-

ствами элементов i in=1 , j nj =1 . Приближенное решение в соответствие с методом Галеркина ищется в виде

n

xn = αiφi i =1

из условия ортогональности невязки rn = (Axn – y) к элементам

j nj=1 :

Таким образом, задача сводится к решению системы алгебраических уравнений для коэффициентов разложения. В задачах устойчивости течений для получения хорошего приближения требуется значительное число базисных функций (порядка 20). Этот метод будет проиллюстрирован на примере исследования устойчивости плоского течения Куэтта.

19

Решение краевой задачи устойчивости можно также осуществить, используя методы типа Рунге–Кутта пошагового интегрирования дифференциальных уравнений [20]. Для этого необходимо краевую задачу свести к задаче Коши и построить несколько линейно независимых решений, удовлетворяющих разным начальным условиям. Главная трудность, которая встречается на этом пути, связана с потерей линейной независимости решений в процессе интегрирования через слой из-за малого параметра при старшей производной. Одним из способов преодоления указанной трудности является ортогонализация решений во внутренних точках слоя. Метод ортогонализации будет проиллюстрирован на примере задачи об устойчивости конвективного течения в вертикальном слое. Во многих задачах устойчивости равновесия (например, в задаче Релея с твердыми границами) не возникает проблем при построении частных решений. В этих случаях процедуру ортогонализации можно опустить, и алгоритм решения заметно упрощается.

Свободным от трудностей, связанных с малым параметром при старшей производной, является метод дифференциальной прогонки. Идея метода состоит в том, что вместо построения линейно независимых решений интегрируется вспомогательная система обыкновенных дифференциальных уравнений, выделяющая весь класс решений, которые удовлетворяют граничным условиям на одной из границ слоя. Подробное изложение алгоритма с использованием двух вариантов метода дифференциальной прогонки будет дано ниже на примере конкретных задач.

Упражнения

1.Применяя метод малых возмущений для плоскопараллельных течений, получить уравнение Орра–Зоммерфельда.

2.Получить граничные условия для амплитуды функции тока нормальных возмущений на твердой и свободной плоской границе.

20