Линейные задачи теории гидродинамической устойчивости и численные ме

3. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ

В этой главе будет рассмотрена устойчивость двух классических плоскопараллельных течений изотермической жидкости – сдвигового течения Куэтта и напорного течения Пуазейля, а также устойчивость плоскопараллельного конвективного течения, возникающего между вертикальными параллельными плоскостями, нагретыми до разных температур. Такие течения существуют при малой интенсивности движения жидкости и характеризуются тем, что вектор скорости имеет одну компоненту, параллельную ограничивающим плоскостям и зависящую только от поперечной координаты. Уравнение Навье–Стокса в этом случае существенно упрощается (нелинейный член тождественно обращается в нуль). Для стационарного движения жидкости между неподвижными плоскостями z = h под влиянием однородного продольного градиента давления, направленного вдоль оси x, получим профиль скорости течения Пуазейля:

v0 U 1 z2 / h2 i.

Амплитуда U зависит от величины градиента давления и кинематической вязкости жидкости.

Если течение жидкости генерируется только встречным движением ограничивающих плоскостей, то уравнение Навье– Стокса дает профиль скорости течения Куэтта:

v0 Uz / hi.

Стационарное конвективное течение между вертикальными плоскостями x = h в отсутствие продольного градиента давления формируется подъемной силой, линейно зависящей от поперечной координаты и направленной вдоль вертикальной оси z. Уравнение Навье–Стокса дает кубический профиль скорости:

v0 U x x3 / h2 / hk.

21

Перейдем к анализу устойчивости этих течений относительно малых возмущений.

3.1. Устойчивость плоского течения Куэтта (метод Галеркина)

Исследуем устойчивость изотермического плоскопараллельного течения Куэтта с линейным профилем скорости. Это течение возникает в плоском слое жидкости при встречном движении твердых границ слоя с постоянной скоростью в своих плоскостях при отсутствии градиента давления. Если начало координат выбрать на средней плоскости слоя, а за единицы расстояния и скорости принять соответственно полутолщину слоя h и скорость движения границ U, то значение скорости течения жидкости имеет вид u0 z, где z – безразмерная поперечная ко-

ордината.

Рассмотрим плоские нормальные возмущения вида

(z) exp( t ikx).

Всоответствии с теоремой Сквайра [1] эти возмущения являются самыми опасными. Амплитуда функции тока возмущений удовлетворяет уравнению Орра–Зоммерфельда

IV 2k 2 k 4 ikRe u0 / ikRe k 2 u0 0. (3.1)

и граничным условиям на твердых границах

Здесь Re = Uh/ – число Рейнольдса. Фазовая скорость с возмущений, измеренная в единицах скорости основного потока, равна c = i/kRe.

Решение задачи (3.1), (3.2) будем искать методом Бубнова– Галеркина, используя в качестве базиса функции, описывающие нормальные возмущения в покоящейся жидкости (Re = 0), заключенной между твердыми плоскостями. Решая соответст-

22

Собственные значения полученной матрицы S могут быть найдены каким-либо стандартным методом. Заметим, что в силу вещественности матрицы ее собственные значения являются вещественными либо образуют комплексно-сопряженные пары.

На рис. 3.1 приведен спектр декрементов плоского течения Куэтта для k = 1 в приближении 24 базисных функций [21]. В нижней части рисунка представлена фазовая скорость возмущений c = λi/(kRe), измеренная в единицах скорости основного потока. Решение алгебраической задачи строилось итерационным ортогонально-степенным методом [22]. Спектры декрементов для других волновых чисел подобны приведенному на рис. 3.1. Вещественная часть всех декрементов положительна. При малых числах Рейнольдса возмущения затухают монотонно (λi = 0). С ростом числа Рейнольдса образуются комплексносопряженные пары декрементов и возмущения затухают в колебательном режиме.

3.1. Спектр декрементов течения Куэтта

25

Вещественная часть декрементов во всем исследованном диапазоне параметров с ростом числа Рейнольдса увеличивается, что позволяет сделать вывод об абсолютной устойчивости плоского течения Куэтта относительно малых возмущений.

3.2. Устойчивость плоского течения Пуазейля (метод нелинейной дифференциальной прогонки)

Обратимся к исследованию устойчивости плоскопараллельного течения Пуазейля между плоскостями z 1. Амплитуда возмущения функции тока удовлетворяет уравнению Орра– Зоммерфельда

Профиль скорости основного движения для течения Пуазейля имеет вид

( r = 0) и вместо частоты колебаний i введем фазовую скорость c i / kRe, измеренную в единицах скорости основного потока. В этом случае уравнение (3.7) принимает вид

Нетривиальное решение краевой задачи (3.9)–(3.11) существует лишь при больших значениях числа Рейнольдса (Re ~ 104). В уравнении (3.9) при старшей производной оказывается малый параметр, что создает серьезные трудности при чис-

26

ленном решении задачи. Линейно независимые решения без использования специальных мер построить невозможно: среди решений есть быстрорастущее решение, которое при интегрировании через слой вырастает на несколько десятков порядков, и из-за погрешности счета другие решения теряются. Наиболее эффективным методом, позволяющим избежать этих трудностей, является метод дифференциальной прогонки. Идея метода состоит в том, что вместо построения отдельных решений исходной задачи интегрируется вспомогательная система дифференциальных уравнений, выделяющая класс решений, которые удовлетворяют граничным условиям на одной из границ слоя.

Изложим метод дифференциальной прогонки, следуя работе [9]. Для краткости запишем (3.9) в виде

a ikRe u0 c 2k 2 , b ikRe u0 k 2 u0 c k 4 .

Интегрирование от твердой границы. Уравнение (3.12)

удобно рассматривать как уравнение для четырех неизвестных функций: , , , . Значения первых двух функций известны

на границе z = –1. Для выделения решений, удовлетворяющих этому граничному условию, запишем связи между неизвестными функциями во всей области интегрирования в виде

где Аik – прогоночные коэффициенты, являющиеся комплексными функциями координаты z. Для них сформулируем задачу с начальными условиями. Начальные условия для всех прогоночных коэффициентов легко получить из (3.10). Для получения уравнений для прогоночных коэффициентов продифференцируем уравнения (3.13) по z и исключим и с помощью урав-

нений (3.12), (3.13). Поскольку полученные уравнения должны выполняться при любых z, коэффициенты при и в них

27

должны равняться нулю. Это приводит к системе дифференциальных уравнений:

A11 A21 aA12 bA11 A12 ,

A21 1 aA22 bA11 A22 ,

A22 A21 bA12 A22 .

Начальные условия для прогоночных коэффициентов следуют из (3.10), (3.13) и имеют вид

Интегрируя систему (3.14) с начальными условиями (3.15) до точки z =1, получим коэффициенты Aik в этой точке. Из граничного условия (3.11) и связей (3.13) получаем однородную систему для определения значений функции и . Условие

разрешимости этой системы дает комплексное уравнение для определения Re и с при заданном значении волнового числа:

Заметим, что для течения Пуазейля область интегрирования можно сократить в два раза, поскольку уравнения (3.12) содержат четные операторы и функции должны удовлетворять симметричным граничным условиям (3.10), (3.11). Решения этой задачи распадаются на два класса: четные и нечетные решения. Для этих решений можно поставить граничные условия при z = 0:

0, 0 – для четного решения;0, 0 – для нечетного решения.

Тогда при интегрировании от – 1 до 0 условие разрешимости Det Aik(0) = 0 принимает вид А21(0) = 0 для четного и А12(0) = 0 для нечетного решения.

28

Как показывает численный эксперимент, для течения Пуазейля решение задачи по описанным выше методам дает грубое приближение.

Интегрирование до промежуточной точки. Для повы-

шения точности решения необходимо проводить интегрирование на отрезке [–1, 0] от краев до промежуточной точки, близкой к критической, в которой фазовая скорость с равняется скорости основного течения.

Течение Пуазейля неустойчиво по отношению к четным возмущениям, для которых граничные условия на оси канала имеют вид

При интегрировании от точки z = 0, следуя идее метода дифференциальной прогонки, запишем связи между известными и неизвестными на границе функциями:

Дифференциальные уравнения для прогоночных коэффициентов Bik и начальные условия получаются описанным выше способом и имеют вид:

Проинтегрируем уравнения (3.14) от точки z = –1 с начальными условиями (3.15) до некоторой точки z* [ 1,0] и уравнения (3.19) от точки z =0 с начальными условиями (3.20) до точ-

29

ки z*. Положение точки z* определяется из условия равенства скорости потока и фазовой скорости возмущения: u0 (z* ) c.

Отсюда z* 1 c. В конечной точке интегрирования потребуем условия сшивания решений:

где знаками «–» и «+» отмечены функции, полученные при интегрировании с разных сторон от точки z*. Эти уравнения приводят к следующей системе алгебраических уравнений относительно неизвестных в (3.13) и (3.18) функции , , , :

Условие разрешимости комплексной однородной системы (3.22) определяет для фиксированного волнового числа фазовую скорость с и критическое число Рейнольдса Re.

3.2. Нейтральная кривая для течения Пуазейля

30