Линейные задачи теории гидродинамической устойчивости и численные ме

больших значений чисел Марангони (Ma* = 1,3 108) и на рис. 4.4, a не приведена.

Штрихпунктирные линии на рис. 4.4, б дают дисперсионные соотношения для капиллярных волн на поверхности

изотермической невязкой жидкости. Верхняя кривая 2Cak3ctg(k / 2) соответствует изгибным волнам на пленке.

Нижняя кривая 2 Cak3tg(k / 2) соответствует волнам с сим-

метричными отклонениями поверхностей (вздутия–сжатия пленки). Колебания, описываемые кривой 5, имеют частоту, близкую к частоте изгибных капиллярных волн. Интересно, что область существования этих волн ограничена со стороны малых волновых чисел.

Структура колебательных возмущений для точек разных нейтральных кривых показана на вставках D, E, F (см. рис. 4.4). Стрелки показывают мгновенные скорости в характерных точках волны. Для анализа распределения проекций скорости в пленке запишем их в вещественном виде:

vx ur (z)sin(kx t) ui (z)cos(kx t) , vz vr (z) cos(kx t) vi (z)sin(kx t),

где vr Re(v), vi Im(v), ur vr / k , ui vi / k.

Распределение амплитуд этих скоростей ur , ui , vr , vi для то-

чек D, E, F нейтральных кривых показано на рис. 4.5 кривыми 1–3 (продольная компонента представлена сплошными линиями, поперечная – штриховыми).

Исследование формы критического движения для точки D нейтральной кривой 5 показывает, что обе поверхности слоя колеблются практически в одной фазе с частотой, близкой к частоте изгибных волн. Поперечная компонента скорости vz почти не меняется с глубиной, в то время как продольная компонента скорости vx от поперечной координаты зависит существенно. На горячей поверхности слоя продольная компонента скорости

61

примерно в два раза превышает скорость на холодной поверхности и имеет тот же порядок, что и поперечная скорость. Это свидетельствует о том, что подкачка энергии в капиллярную волну термокапиллярным эффектом происходит на горячей поверхности.

Рис. 4.5. Распределение амплитуд поперечной (vr, vi) и продольной (ur, ui) компонент скорости колебательных возмущений для точек D, E и F нейтральных кривых (кривые 1, 2 и 3, ur, ui – сплошные линии, vr, vi – штриховые линии)

Колебания, описываемые нижней ветвью кривой 8 на рис. 4.4, а, в связи с характерной зависимостью у них от k

иструктурой движения, также следует отнести к капиллярным волнам. В принятых единицах они имеют малую длину волны

илокализованы у холодной поверхности жидкости. Структура движения и распределение скоростей жидкости показаны на вставке E (см. рис. 4.4) и кривыми 2 на рис. 4.5.

62

Нейтральная кривая 6 на рис. 4.4, а представляет нейтральные колебания качественно другой структуры. Частота этих колебаний остается конечной при k 0, что отличает их от капиллярных волн. Возникающее движение жидкости характеризуется интенсивным продольным течением вблизи горячей поверхности слоя (см. вставку F на рис. 4.4 и кривые 3 на рис. 4.5). Поперечная скорость для этого возмущения на рис. 4.5 не представлена ввиду ее малости. В отличие от капиллярных волн эти волны можно назвать термокапиллярными, поскольку механизм их возбуждения связан, как и в случае длинноволновой монотонной неустойчивости, с наклоном границы слоя к изотермам равновесного температурного поля и генерацией движения термокапиллярным эффектом. Обратим внимание на то, что колебания возбуждаются на поверхности, нагреваемой снаружи, в то время как монотонная длинноволновая неустойчивость генерируется поверхностью, нагреваемой изнутри слоя.

Нейтральные кривые и форма критических движений довольно чувствительны к изменению параметров задачи. Так, при Ca = 104 замкнутая область колебательной неустойчивости (кривая 5) появляется при Pr = 0,0022. При меньших значениях числа Прандтля изгибные волны термокапиллярным эффектом не поддерживаются. С увеличением Pr до 0,05 области неустойчивости, ограниченные кривыми 5 и 6, сближаются, а затем происходит их объединение. После этого разделение колебательных возмущений на капиллярные и термокапиллярные становится условным. Минимальное критическое значение числа Марангони для колебательной неустойчивости растет от 16 при Pr = 0,0022 до 540 при Pr = 0,05, и при этом расширяется область значений волновых чисел незатухающих возмущений.

В заключение отметим, что в слое с двумя свободными границами наблюдаются те же механизмы неустойчивости, что и в слое с одной свободной границей. Для длинноволновой монотонной и колебательной термокапиллярной неустойчивости характерны течения с преобладанием продольной компоненты

63

скорости, приводящие к изменению локальной толщины слоя. За счет деформации свободной поверхности на ней возникает продольный градиент температуры, поддерживающий движение жидкости. Для малых значений числа Прандтля в области средних значений волнового числа возможна поддержка изгибных капиллярных волн термокапиллярным эффектом (Pr = 0,01, Ca = 104: 0,1 < k < 1,9).

4.5.Марангони-неустойчивость бинарной смеси

вдвухслойной системе при поперечных вибрациях (линейная дифференциальная прогонка)

Рассмотрим устойчивость равновесия неизотермической системы, состоящей из двух плоских слоев несмешивающихся жидкостей с близкими свойствами в условиях невесомости при наличии поперечных высокочастотных вибраций. Эта задача интересна тем, что одновременно рассматривается несколько физических эффектов, влияющих на устойчивость равновесия. Она интересна и с математической точки зрения, потому что описывается большим числом уравнений и граничными условиями, поставленными в трех точках, и служит хорошим примером, иллюстрирующим возможности метода линейной дифференциальной прогонки.

Уравнения вибрационной конвекции. В условиях невесо-

мости рассмотрим два слоя несмешивающихся жидкостей, имеющих толщины h1 и h2 , ограниченные снаружи твердыми

плоскостями с температурами 1 и 2. Температура плоской

границы раздела при механическом равновесии принята за начало отсчета. В обеих жидкостях в растворенном виде присутствует третья компонента с концентрацией С, которая на границах имеет значения S1 и S2. Плотность жидкостей представим в видеm mT mC (m = 1, 2). Коэффициент поверхностного на-

вся система как целое может подвергаться высокочастотным поперечным колебаниям (вибрациям) вдоль единичного вектора s с частотой и амплитудой b. Геометрия слоев и система координат показана на рис. 4.6.

В подвижной системе координат, связанной с осциллирующим сосудом, уравнения движения жидкости, теплопроводности, диффузии и неразрывности запишем в виде:

проводность, коэффициент диффузии, плотность, температурный и концентрационный коэффициенты плотности жидкости в слое m.

65

Граница раздела жидкостей под влиянием конвективного движения может отклоняться от плоской. Считая эти отклонения малыми, запишем следующие граничные условия на поверхности раздела жидкостей: равенство механических напряжений и капиллярных сил, непрерывность скорости, температуры, теплового потока, концентрации, потока вещества и кинематическое условие в виде:

где l – вектор нормали к границе раздела из первой жидкости во вторую, m – теплопроводность жидкости.

На твердых границах слоя поставим следующие условия:

Если период колебаний слоя много меньше гидродинамического, теплового и диффузионного времени, но звуковой предел не достигается, тогда в движении жидкости можно выделить быструю компоненту, с нулевым значением средних характеристик, и медленную компоненту, описывающую осредненное по

66

периоду колебаний движение. Следуя общей схеме получения осредненных уравнений вибрационной конвекции [9], введем наряду с медленным временем t быстрое время t и примем следующее представление для физических величин:

Подставляя эти выражения в уравнения конвекции, в первом порядке из уравнения Навье–Стокса и граничного условия для давления и в нулевом порядке из остальных уравнений получим следующую задачу для быстрой компоненты движения:

~

~ ~ ~ ~ ~

z (x, y,t) : p1 p2 , v1 l v2 l , z h1, h2 : vz 0.

Задача для быстрой компоненты движения содержит характеристики медленной составляющей движения T, С и l, которые при интегрировании по должны рассматриваться как константы. Отметим также, что в силу малости амплитуды пульсационной компоненты движения условие на границе между слоями жидкостей ставится на поверхности раздела, определяемой осредненным движением.

Решение системы (4.57) можно представить в виде:

Медленные функции w (x, y, z, t) и (x, y, z, t) в соответствии с (4.57) должны удовлетворять условиям:

Чтобы получить уравнения для медленной компоненты движения, подставим (4.56) и (4.58) в исходную систему уравнений (4.53)–(4.55) и усредним их по периоду колебаний системы. В результате вместе с (4.59) получим следующую замкнутую систему для характеристик медленной компоненты движения:

1 mT mC b22 2 (w )w

m b2 2 (w T )(w s) m b2 2 (w C)(w s), 2 2

div v 0 ,

z h1, h2 : v 0, T1 1, T2 2 , C1 S1, C2 S2.

Основное состояние и уравнения для возмущений. В рас-

сматриваемой системе возможно механическое квазиравновесие с осредненной скоростью, равной нулю, и линейным распределением температуры и концентрации:

Рассмотрим устойчивость состояния (4.61) относительно малых возмущений. Уравнения для возмущений могут быть получены из уравнений (4.59)–(4.60) линеаризацией относительно состояния (4.61). Используя для описания возмущений те же символы, что и для полных характеристик медленной компоненты движения, запишем уравнения малых возмущений в безразмерном виде:

1 T mT0,m C mC0,m v 1 p m vt m

69

Здесь введены безразмерные параметры: Sc – число Шмидта (диффузионное число Прандтля), GT и GC – вибрационные числа Грасгофа, определенные по характерной разности температуры и концентрации соответственно. В качестве масштабов выбраны суммарные характеристики системы:

hh1 h2 , 1 2 , 1 2 , / ,

1 2 , 1 2 , D D1 D2 ,

1 2 , 1 2 , 1 2 , S S1 S2 ,

ав качестве единицы времени, скорости, давления, температуры

и концентрации выбраны h2 / , / h, / h2 , и S соответст-

венно. Для дополнительных функций w и в качестве масштабов выбраны и h соответственно. Такой выбор масшта-

бов делает описание физических свойств каждого слоя симметричным, и все вошедшие в уравнения относительные характеристики слоев изменяются от 0 до 1.

Граничные условия на деформируемой поверхности раздела жидкостей с учетом малости возмущений могут быть снесены на плоскость z 0 :

70