Линейные задачи теории гидродинамической устойчивости и численные ме

4.НЕУСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ ПЛОСКИХ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ

НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИХ СЛОЕВ ЖИДКОСТИ

4.1. Термогравитационная неустойчивость слоя со свободными границами (задача Релея)

Рассмотрим конвективную неустойчивость в однородном поле тяжести бесконечного горизонтального слоя вязкой жидкости, подогреваемого снизу, со свободными недеформируемыми границами. На верхней границе слоя z h поддерживается

фиксированная температура 0 (температура границы принята за начало отсчета). Нижняя граница имеет более высокую фиксированную температуру . В системе возможно состояние механического равновесия (v = 0) c линейным распределением температуры по вертикали

Можно ожидать, что это равновесие будет неустойчивым, т.к. нижние слои жидкости имеют меньшую плотность, чем верхние. Если в результате возмущения какой-либо элемент сдвинется по вертикали вверх, он оказывается в области более плотной жидкости, и сила Архимеда поддержит это движение. Развитию возмущения мешают два диссипативных процесса: теплопроводность, выравнивающая температуру элемента и окружающей жидкости, и вязкость, препятствующая движению. Поэтому для возникновения незатухающего движения требуется конечный вертикальный градиент температуры.

Определим порог конвекции по отношению к малым нормальным возмущениям. Пусть v, T и p – малые возмущения скорости, температуры и давления, соответственно. Тогда, пренебрегая в полных уравнениях конвекции (2.2)–(2.4) членами второго порядка, получим следующие уравнения для малых возмущений:

41

Из уравнений (4.6)–(4.8) удобно исключить давление р и горизонтальные компоненты скорости. Для этого к уравнению (4.6) нужно применить операцию rot rot и спроектировать его на ось z. В граничном условии для касательных напряжений также можно исключить горизонтальные компоненты скорости с помощью уравнения неразрывности, продифференцированного по координате z. Если ограничиться рассмотрением нормальных возмущений вида

vz v(z) exp t i kx x ky y ,

T(z) exp t i kx x ky y ,

сдекрементом и волновыми числами kx , ky то краевая задача (4.5)–(4.8) для амплитуд возмущений v и примет вид:

kx2 ky2.

Краевая задача (4.9)–(4.11) допускает простое точное ре-

которая получается подстановкой (4.12) в (4.9), (4.10). Собственные значения находятся из условия существова-

ния нетривиального решения однородной системы (4.13):

43

Корни уравнения (4.14) дают значения декрементов в зависимости от параметров задачи Ra, Pr и k:

n Pr2Pr1 n2 2 k 2

При подогреве снизу (Ra > 0) выражение под корнем всегда положительно и декременты n вещественны, т.е. возмущения монотонно изменяются со временем. Для малых значений числа Релея декременты положительны и все возмущения затухают. При Ra Ra* появляются незатухающие возмущения. Из (4.15)

для 1 = 0 легко получить критическое значение числа Релея,

Формула (4.15) дает нейтральную кривую Ra(k), разделяющую области устойчивости и неустойчивости механического равновесия жидкости. Минимальное критическое значение числа Релея определяется как

Нейтральные возмущения с n > 1 при всех значениях k имеют более высокие значения критического числа Релея. Это означает, что возникающее конвективное течение представляет

44

собой одновихревое по вертикали движение. Амплитуда вертикальной компоненты скорости имеет вид v = asin z. Вторым критическим движением, приводящим к неустойчивости равновесного состояния, является двухвихревое движение с амплитудой вертикальной скорости v = asin 2 z. Отметим, что в этом движении вихри двухэтажной ячейки вращаются в противоположные стороны, и горизонтальная компонента скорости в середине слоя имеет максимум.

При подогреве сверху (Ra < 0) вещественная часть декрементов всегда положительна, т.е. все возмущения затухают. Формула (4.15) также показывает, что при больших Ra выражение под знаком корня становится отрицательным, т.е. возмущения затухают колебательно.

4.2. Устойчивость слоя жидкости на твердой поверхности (метод Рунге–Кутта без ортогонализации)

В предыдущем параграфе рассмотрена термогравитационная неустойчивость в системе, трудно реализуемой в эксперименте. Рассмотрим ситуацию, близкую к первым экспериментам Бенара, в которой на твердой подогреваемой горизонтальной поверхности находится слой жидкости. Будем считать, что на каждой границе слоя поддерживается фиксированная температура. Единицы измерения физических величин выберем такими же, как в предыдущем параграфе. Краевая задача для амплитуд нормальных возмущений отличается от задачи Релея только условиями на нижней твердой границе для возмущений скорости (должно выполняться условие прилипания) и имеет следующий вид:

Поскольку из-за граничного условия (4.20) простого точного решения у задачи нет, будем строить решение, используя метод Рунге–Кутта для интегрирования уравнений (4.18), (4.19). Для этого необходимо перейти к задаче Коши для системы уравнений первого порядка. Введем новые зависимые переменные:

В этих переменных система (4.18), (4.19) принимает вид

Для формулировки задачи Коши в начальной точке интегрирования z = 0 должны быть поставлены 6 условий для функций yi. Три из них определяются граничными условиями задачи:

С начальными условиями (4.24) необходимо построить общее решение, с помощью которого можно было бы удовлетворить граничные условия при z = 1. Для этого построим три линейно независимых частных решения системы (4.23), интегрируя ее, например, методом Рунге–Кутта–Мерсона со следующими тремя вариантами начальных условий при z = 0:

I : y1I 0, y2I 0, y3I 1, y4I 0, y5I 0, y6I 0,

II : y1II 0, y2II 0, y3II 0, y4II 1, y5II 0, y6II 0,

III: y1III 0, y2III 0, y3III 0, y4III 0, y5III 0, y6III 1.

46

Здесь верхний индекс у функции указывает номер частного решения. Общее решение системы (4.23), удовлетворяющее граничным условиям (4.24), может быть записано в виде

Граничные условия в конечной точке интегрирования z = 1:

позволяют определить константы CI, CII и CIII. Подставляя (4.25) в (4.26), получим систему трех однородных алгебраических уравнений:

Условие существования нетривиального решения однородной системы состоит в равенстве нулю ее определителя:

Как показывают расчеты, спектр декрементов возмущений имеет тот же характер, как и в случае двух свободных границ: при подогреве снизу (Ra > 0) имеются возмущения, которые монотонно нарастают, а при Ra < 0 все возмущения затухают.

Далее рассмотрим нейтральные возмущения ( = 0). Легко видеть, что для этих возмущений число Прандтля из краевой задачи (4.18)–(4.21) выпадает. Таким образом, для численного интегрирования уравнений (4.23) необходимо задавать конкретные значения числа Релея и волнового числа. При фиксированном значении k уравнение (4.28) является уравнением, корни которого определяют критические значения числа Релея. Это уравнение удобно решать методом секущих. Численный расчет дает

47

значение минимального критиче-

(Ram = 1707,8; km = 3,12).

На рис. 4.1 приведены нейтральные кривые релеевской неустойчивости для плоского слоя с разными границами: 1 – обе свободные границы, 2 – твердая и свободная границы, 3 – обе твердые границы.

4.3. Термокапиллярная неустойчивость слоя на твердой поверхности (задача Пирсона)

Устойчивость механического равновесия плоского слоя жидкости с поперечным градиентом температуры и свободной поверхностью может быть нарушена не только термогравитационной конвекцией, рассмотренной выше. Другой механизм неустойчивости связан с зависимостью поверхностного натяжения жидкости от температуры. Если возмущение выносит на свободную изотермическую поверхность более горячую жидкость, то в этом месте для большинства жидкостей коэффициент по-

48

верхностного натяжения уменьшается, и жидкость вдоль поверхности растекается, поддерживая возмущение.

Для описания этого эффекта рассмотрим устойчивость плоского слоя жидкости 0 z h с поперечным градиентом температуры и одной свободной поверхностью z = h в условиях невесомости [4]. Пусть границы слоя имеют температуры: T0 = при z = 0 и T0 = 0 при z = h. В системе возможно механическое равновесие с распределением температуры T0 =

= (1– z/h).

Уравнения для амплитуд возмущений вертикальной компоненты скорости v и температуры с волновым числом k и декрементом могут быть получены тем же путем, как в задаче Релея, и имеют вид

Здесь, как и раньше, в качестве единиц расстояния, времени, скорости и температуры взяты h, h2/ , /h и .

Твердую границу слоя будем считать изотермической. На этой границе возмущения скорости и температуры должны исчезать:

Обсудим граничное условие на свободной поверхности, предполагая, что на ней возможны возмущения скорости и температуры. Будем считать свободную границу плоской,

На неизотермической поверхности появляется касательная поверхностная сила, связанная с градиентом поверхностного натяжения . Поскольку толщина поверхности предполагается равной нулю (поверхность не обладает массой), эта сила должна уравновешиваться вязкими силами:

49

vx , vy ,z x z y

где – динамическая вязкость жидкости.

Чтобы исключить продольные компоненты скорости из этих уравнений, первое из них продифференцируем по х, второе – по у, сложим их и, воспользовавшись уравнением неразрывности, получим

В не слишком большом диапазоне температуры коэффициент поверхностного натяжения может быть представлен в виде

где 0 – коэффициент поверхностного натяжения при отсутствии температурных возмущений на поверхности (Т = 0). Температурный коэффициент поверхностного натяжения 1 для нормальных жидкостей положителен. С учетом (4.34) граничное условие (4.33) запишем в виде

В безразмерных переменных (4.32) и (4.35) для нормальных возмущений принимают вид

где Ma 1 h – число Марангони, определяющее отношение

термокапиллярной силы к вязкой силе.

Граничное условие на свободной поверхности для температуры запишем из закона теплоотдачи на ней. Будем считать, что

50