Линейные задачи теории гидродинамической устойчивости и численные ме

означающие непрерывность обеих компонент скорости, температуры и теплового потока и пропорциональность величины скорости суммарным напряжениям с разных сторон перегородки.

Коэффициенты n и по смыслу являются нормальным

и касательным сопротивлениями перегородки.

Для решения краевой задачи (5.12)–(5.17) применим метод Галеркина–Канторовича. Поскольку основные моды неустойчивости имеют по вертикали максимальный размер и зависимость от вертикальной координаты ожидается несложной, функцию тока и температуру представим в виде

(x) ( y), ( y) 1 y2 2 ; T (x) ( y), 1 y2. (5.18)

Так, выбранные функции ( y) и ( y) обеспечивают выполнение условий (5.14). Уравнения для функций (x) и (x)

получаются подстановкой (5.18) в уравнения (5.12), умножением их соответственно на и и интегрированием по y от –1 до 1:

Здесь и далее штрих означает дифференцирование по x. Особенностью задачи является применение процедуры Га-

леркина и к граничному условию (5.16). В результате получим

91

Остальные условия на вертикальных границах имеют вид

Свойства четности дифференциальных операторов в (5.19) и симметрия граничных условий при x L приводят к распаду возможных решений краевой задачи на четные и нечетные решения. Четными мы будем называть решения, для которых( x) (x) и (x ) (x), а в нечетном решении ( x)

(x) и (x ) (x). Форма критического движения будет

представляться или четным, или нечетным решением, тем, для которого значение числа Релея, соответствующее нейтральной устойчивости, оказывается меньшим. Это свойство задачи (5.19)–(5.23) важно для построения решения и интерпретации результатов расчета.

Переформулируем граничные условия (5.21) и (5.23) с учетом свойств четности решений. Условия непрерывности для четных функций в точке x = 0 выполняются автоматически, условия на перегородке определяют скачки нечетных функций на ней. Значения нечетных функций при x = +0 нужно принять равными половине скачка этих функций на перегородке.

Вчетном решении нечетными функциями являются ,

и. Для них условия (5.21) и (5.23) дают

В нечетном решении нечетными функциями являются, и . Из условий (5.23) для них следует

92

Решения краевых задач (5.19), (5.22), (5.24) и (5.19), (5.22), (5.25) вместе представляют всю совокупность решений задачи (5.19)–(5.23). Спектр критических чисел Релея последней задачи получается объединением спектров четных и нечетных решений.

Как следует из граничных условий (5.24), четные решения зависят только от нормального сопротивления перегородки (вертикальная компонента скорости на перегородке обращается в нуль и жидкость перетекает через нее по нормали). Нечетное решение чувствительно только к касательному сопротивлению (нормальная компонента скорости на перегородке равна нулю).

Таким образом, сформулированная задача об устойчивости равновесия показывает, что в полости с симметрично расположенной перегородкой кризис равновесия жидкости связан с возмущениями определенной четности, а критическое число Релея зависит только от одного из коэффициентов сопротивления.

Уравнения (5.19) интегрировались методом Рунге–Кутта. Строились три линейно независимые решения, удовлетворяющие условиям (5.22) при x L. Граничные условия (5.24) или (5.25) определяли характеристическое уравнение для числа Релея и амплитуды базисных решений.

Рис. 5.7. Зависимость критических чисел Релея от горизонтального размера полости L для двух наиболее опасных мод возмущений. Кри-

вые 1, 3, 5 представляют четное решение с n 0,100, ; 2 и 4 – нечетное решение с 0 и ; 6 – зависимость Ra* от для четного возмущения, 7 – то же для нечетного возмущения

93

Обсудим результаты расчетов. На рис. 5.7 приведена зависимость критических чисел Релея от горизонтального размера полости L для двух наиболее опасных мод возмущений. Кривыми 1, 3, 5 представлено четное решение с величинами нормального сопротивления n 0, 100, , соответственно. Для нечет-

нечетные возмущения в полостях, вытянутых по горизонтали (L > 1,64), и четные при L < 1,64. При большом сопротивлении перегородки n , более опасным при всех L является

нечетное возмущение (кривая 4 лежит ниже кривой 5). Последнее связано с тем, что в четном движении имеет место неблагоприятное тепловое взаимодействие вихрей, расположенных по разные стороны от перегородки.

Детальный переход от малого сопротивления перегородки к большому рассмотрим на примере квадратной полости (L = 1). Как указывалось выше, критическое число Релея для четного возмущения зависит от нормального сопротивления, а для нечетного – от касательного. Эти зависимости представлены на рис. 5.7 соответственно кривыми 6 и 7. При малых сопротивлениях перегородки наиболее опасна четная мода возмущений. Кризис равновесия относительно этой моды для n 0 насту-

пает при Ra = 166. Это согласуется с [8], где в принятых единицах Ra = 162. Некоторое отличие связано с недостаточно хорошей аппроксимацией по вертикали в нашем решении.

В нечетном решении при 0 критическое число

существенно выше: Ra = 436. С ростом сопротивления перегородки устойчивость по отношению к обеим модам монотонно растет. Более сильной является зависимость Ra n : начиная

с n 145, ответственными за кризис равновесия становятся нечетные возмущения. В предельном случае непроницаемой

94

перегородки нечетной моде соответствует Ra = 783, четной –

Ra = 965.

Рис. 5.8. Распределения вертикальной компоненты скорости vy (сплошные линии) и температуры (штриховые линии) для среднего

горизонтального сечения; a – четное решение (1–3 – n 0,81, ), б – нечетное решение (1–3 – 0,9, )

Характер описанных зависимостей объясняется изменениями в форме критических возмущений, которые происходят с ростом сопротивления перегородки. Изменения, происходящие

которых для среднего горизонтального сечения (y = 0) представлены распределения вертикальной компоненты скорости vy (сплошные линии) и температуры (штриховые линии). В соответствии со свойствами четности решений линии рис. 5.8, а в область отрицательных x должны продолжаться нечетно, а линии рис. 5.8, б – четно.

В четном решении при малых сопротивлениях перегородки движение охватывает всю область. С ростом сопротивления на фоне глобального движения в каждой половине полости развиваются вихри одного знака (см. рис. 5.8, a, кривая 2). Одновре-

95

вцентре области и опускается у границ. При касательном сопротивлении, отличном от нуля, перегородка тормозит движение жидкости и на перегородке для вертикальной компоненты скорости образуется локальный минимум. При больших сопротивлениях (см. рис. 5.8, б, кривая 3) полость разделяется на две части, которые из-за отсутствия горизонтального градиента на перегородке не взаимодействуют.

Отметим, что оставшееся тепловое взаимодействие вихрей через непроницаемую перегородку для четного решения ослабляет движение вблизи перегородки и ведет к повышению критического числа Релея по сравнению с нечетной модой в этом предельном случае.

Проведенное исследование устойчивости равновесия в полости с вертикальной проницаемой перегородкой показывает, что

вэкспериментах по кризису равновесия с помощью кривых 6, 7 на рис. 5.7 можно определить нормальное или касательное сопротивление перегородки. Если неустойчивость связана с четным

движением, то определяется n , в другом случае .

Рассмотренный механизм стабилизации равновесия с помощью тонких проницаемых перегородок-сеток может быть полезен и для подавления конвекции в условиях малой гравитации, особенно в химически неоднородных средах, так как сетки с высокой прозрачностью практически не влияют на процессы молекулярного переноса.

Упражнения

1.Получить условия (5.4) из (5.3).

2.Получить трансцендентное уравнение для критического числа Релея в случае четных возмущений (уравнение 5.6) и аналогичное уравнение для нечетных возмущений.

96

3.Построить нейтральные кривые Ra(k) при α = 100 для четного и нечетного решения.

4.В п. 5.3 строится решение по методу Канторовича с одной базисной функцией по вертикали для функции тока и температуры. Сформулировать эту задачу, используя по две базисных функции.

5.Продолжить функции, представленные на рис. 5.8, в область отрицательных значений х.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Линь Ц.-Ц. Теория гидродинамической устойчивости. – М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1958. – 196 с.

2.Thomas L.H. The stability of plane Poiseuille flow // Phys. Rev. – 1952. – Vol. 86. – Р. 812; Phys. Rev. – 1953. – Vol. 91. – P. 780.

3.Гершуни Г.З. Об устойчивости плоского конвективного движения жидкости // Журнал техн. физизики. – 1953. – № 10. –

С. 1838.

4.Pearson J.K.A. On convection cells induced by surface tension // J. Fluid Mech. – 1958. – Vol. 4. – P.5.

5.Остроумов Г.А. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи. – М.-Л.: Гостехиздат, 1952. – 283 с.

6.Сорокин В.С. Вариационный метод в теории конвек-

ции // Прикл. матем. и мех. – 1953. – Т. 17, № 1, 39.

7.Шапошников И.Г. К теории конвективных явлений бинарных смесей // Прикл. матем. и мех. – 1953. – Т. 17, № 5, 604.

8.Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. – М.: Наука, 1972. – 392 с.

9.Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. – М.: Наука, 1989. – 320 с.

10.Тарунин Е.Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. – Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1990. – 228 с.

97

11.Бирих Р.В., Рудаков Р.Н. Конвективная неустойчивость

вобластях с тонкой проницаемой перегородкой (сеткой) / Перм. гос. техн. ун-т. – Пермь, 1996. – 102 с.

12.Gershuni G.Z., Lyubimov D.V. Thermal vibrational convection. – New York: Wiley, 1998.

13.Liquid interfacial systems. Oscillations and instability / R.V. Birikh [et al.]. – New York, Basel: Marcel Dekker, Inc., 2003. 367 p.

14.Братухин Ю.К., Макаров С.О. Гидродинамическая устойчивость межфазных поверхностей. – Пермь: Изд-во Перм.

гос. ун-та, 2005. – 239 с.

15.Любимов Д.В., Любимова Т.П., Черепанов А.А. Динамика поверхностей раздела в вибрационных полях. – М.: Физматлит, 2003.

16.Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. – М.: Гостехиздат, 1957. – 476 с.

17.Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. – М., Л.: Физматгиз, 1962. – 708 с.

18.Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. – М.:

Наука, 1967. – 416 с.

19.Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1972. – 496 с.

20.Ланс Д. Численные методы для быстродействующих вычислительных машин. – М.: Иностранная литература, 1962.

21.Бирих Р.В. О спектре малых возмущений плоскопараллельного течения Куэтта // Прикл. матем. и мех. – 1965. – Т. 29. Вып. 1.

22.Воеводин В.В. Некоторые методы решения полной

проблемы собственных значений // Журнал вычисл. матем.

иматем. физ. – 1962. – Т. 2, № 1.

23.Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. – М.: Наука, 1977. – Т. 2. – 400 с.

24.Бирих Р.В. Бушуева С.В. Термокапиллярная неустойчивость в двухслойной системе с деформируемой границей раз-

98

дела // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. – 2001. – № 3. –

С. 13–20.

25.Бирих Р.В., Бушуева С.В., Рудаков Р.Н. Влияние вибраций на структуру термокапиллярной неустойчивости двухслойной системы // Молодежная наука Прикамья: сб. науч. трудов /

Перм. гос. техн. ун-т. – Пермь, 2001. – Вып. 1. – С. 17–26.

26.Термокапиллярная неустойчивость поверхностей раздела реальных жидкостей / Р.В. Бирих [и др.] // Конвекция в системах несмешивающихся жидкостей. – Екатеринбург: УрО РАН, 1999. – С. 25–44.

27.Бирих Р.В., Рудаков Р.Н. Механизмы термокапиллярных колебаний в системе с границей раздела // Вибрационные эффекты в гидродинамике. – Пермь: Изд-во Перм. гос. ун-та, 1998. – C. 38–48.

28.Бирих Р.В., Бушуева С.В., Рудаков Р.Н. Марангони неустойчивость бинарной смеси в системе с плоской границей

раздела // Концентрационные и термокапиллярные эффекты

всложных системах. – Екатеринбург: УрО РАН, 2002.

29.Ларкин М.Ю., Сорокин М.П. Влияние проницаемой перегородки на конвективную устойчивость плоского горизонтального слоя жидкости // Конвективные течения / Перм. гос.

пед. ин-т. – Пермь, 1981. – С. 18–21.

30.Сорокин М.П., Ястребов Г.В. Гидродинамическое сопротивление многослойных сеток // Конвективные течения /

Перм. гос. пед. ин-т. – Пермь, 1991. – С. 58–62.

99

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Задача Пирсона, 48 Задача Релея, 41 Капиллярный параметр, 12

Марангони неустойчивость бинарной смеси, 64 Метод Бубнова – Галеркина, 18 Метод дифференциальной прогонки, 20, 27 Приближение Буссинеска, 10 Стационарное состояние, 6 Термокапиллярная неустойчивость в условиях невесомости, 53 Течение Куэтта, 21 Течение Пуазейля, 21

Уравнение Орра–Зоммерфельда, 17 Уравнение Орра–Зоммерфельда, 22 Уравнения конвекции, 10 Уравнения малых возмущений, 14

Устойчивость плоского конвективного течения, 31 Устойчивость плоского течения Куэтта, 22 Устойчивость плоского течения Пуазейля, 8, 26 Устойчивость плоскопараллельных течений, 21 Фазовая скорость, 22 Функция тока, 16 Число Био, 51 Число Грасгофа, 32

Число Марангони, 12, 50 Число Прандтля, 12, 32 Число Рейнольдса, 16 Число Релея, 12

Этапы исследования устойчивости, 6 Ячейки Бенара, 8

100