функцией. Эта функция найдётся путём решения этого уравнения. Вторая функция найдётся с помощью одного из равенств системы.

Модуль 7. Числовые и функциональные ряды

Решение. Для получения членов ряда надо в формуле его общего члена полагать . Тогда по заданной формуле получим

Для дальнейшего рекомендуем обратить внимание, что множитель общего члена задаёт при данном знак соответствующего члена ряда.

Ответ:

Пример 2. Записать в какой-нибудь форме общий член каждого из рядов

109

в предположении, что последующие члены имеют закономерность уже выписанных членов.

Решение. Выписанные члены первого ряда получаются из формулы .

Если закономерность последующих членов сохраняется, то это и будет формула общего члена.

Знаки второго ряда получаются (плюс, минус) и это можно задать множителем . Числители всех дробей равны единице, а знаменатели

имеют вид . Тогда можно считать, что .

Знаки третьего ряда чередуются таким же образом. Числители дроби имеют номера натуральных чисел, а знаменатели получаются из выражения .

Можно предположить, что .

Очевидно, что такими рядами являются ряды 2) и 4). Действительно, пределы общих членов этих рядов таковы:

Очевидно, что для рядов 1) и 3) необходимое условие сходимости выполнено.

этих рядов будет проведено в дальнейшем на основании признаков, дающих достаточные условия сходимости ряда.

Ответ: расходящимися являются ряды 2) и 4).

Пример 4. Исследовать на сходимость положительные ряды по предельному признаку Даламбера.

110

Сформулированное утверждение называют предельным признаком

с помощью другого признака.

Ответы: 1) сходится; 2) расходится; 3) признак ответа не даёт.

Этот признак называют предельным признаком Коши или радикальным

Ответы: 1) сходится, 2) расходится, 3) признак ответа не даёт.

111

неотрицательна и не возрастает. Тогда для сходимости такого ряда необходимо

называются знакочередующимися. Для таких рядов Лейбницем установлен

112

Рассматриваемые ряды в более подробной записи таковы:

Очевидно, что для них выполняются условия теоремы Лейбница.

Исследуем эти ряды на абсолютную сходимость. Знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных рядов. Под последними понимаются ряды, содержащие бесконечное количество как положительных, так и отрицательных членов, расположенных в совершенно произвольном порядке.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а положительный ряд из модулей его ленов расходится.

Ряд 1) есть абсолютно сходящийся ряд, поскольку он сходится сам (это только что установлено по признаку Лейбница) и сходится ряд (это установлено в примере 6).

Ряды 2) и 3) сходятся условно. Действительно, только что установлена их сходимость на основании признака Лейбница; соответствующие же им

(гармонического ряда) установлена в примере 6. Расходимость второго доказывается аналогично с помощью интегрального признака. В качестве надо взять функцию . Соответствующий несобственный интеграл рассмотрен

в примере 7 модуля 5.

Ответы: 1) сходится абсолютно; 2) и 3) – ряды сходятся условно.

Пример 8. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд

Решение. Чтобы не проверять выполнение условий теоремы Лейбница, применим теорему Коши, которая утверждает следующее: из сходимости

113

Согласно этой теореме нужно исследовать положительный ряд с членами

положительный ряд сходится. Согласно теореме Коши исходный ряд также сходится.

Таким образом, исходный ряд является абсолютно сходящимся. Ответ: сходится абсолютно.

Пример 9. Пользуясь определением суммы ряда, найти суммы рядов

Решение. Сумма первых членов ряда называется n-й частичной суммой

) называется суммой ряда. Применим это определение для нахождения сумм рассмотренных рядов.

Так как общий член первого ряда представим в виде

Известно, что сумма первых членов геометрической прогрессии при

Очевидно, что , т.е.

Ответы: 1)

Пример 10. Представить в виде обыкновенной дроби следующие бесконечные десятичные периодические дроби: 1) 0,(2), 2) 0,(25), 3) 0,0(35).

114

Решение. Первое число 0,(2)=0,22… можно записать в виде геометрического

сходящегося геометрического ряда.

Второе число 0,(25)=0,252 5… запишется в виде геометрического ряда с и . По той же формуле получаем, что

.

Третье число 0,0(35)=0,035 35… запишется в виде геометрического ряда

, у которого и . Тогда .

Ответы:

Пример 11. Вычислить приближённо сумму ряда с точностью

.

Решение. Данный ряд является знакочередующимся.

Он сходится, так как выполняются условия теоремы Лейбница. Любой остаток также будет знакочередующимся рядом лейбницевского типа, при этом сумма остатка после -го члена будет удовлетворять неравенству

В данном примере . Тогда для вычисления суммы ряда с указанной точностью достаточно вычислить . Так как

, то с точностью до 0,01.

Ответ: с точностью до 0,01.

Пример 12. Найти области сходимости следующих степенных рядов:

Решение. Функциональные ряды вида

, где есть постоянные действительные числа, называются степенными рядами. Обратим внимание на то, что в сокращённой записи этих рядов нумерация их членов начинается с нуля. Числа

115

постоянное число, называемое центром ряда. Ясно, что первый ряд является частным случаем второго, поскольку получается из него при

Множество тех значений , для которых степенной ряд сходится, называют его областью сходимости. Из известной теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного ряда будет некоторый промежуток, который иногда может выродиться в одну точку.

соответственно с членами .

Обычно же области сходимости находятся с помощью числа , называемого радиусом сходимости степенного ряда. Для нахождения можно применять формулы вытекающие из упомянутых признаков

Даламбера и Коши. Обратим внимание на то, что в этих формулах участвуют не члены ряда, а его коэффициенты.

Таким образом, можно считать, что радиус сходимости удовлетворяет

абсолютно сходится на интервале (-1,1). Надо проверить его сходимость на концах этого интервала.

гармоническим. Уже было установлено, что он расходится.

Итак, ряд сходится на полуотрезке [-1, 1), при этом на интервале (-1,1)

. Ряд сходится абсолютно на всей числовой оси.

Теперь исследуем ряд 5), члены которого расположены по степеням двучлена

который сходится, т.к. удовлетворяет условиям теоремы Лейбница (см. пример 7); при этом сходится абсолютно.

полуотрезке [-1, 1), при этом на интервале (-1, 1) сходится абсолютно; 4)

Коэффициенты ряда называются коэффициентами Тейлора. Ясно, что ряд

, составленный по бесконечно дифференцируемой функции в окрестности нуля и называемый рядом Маклорена этой функции независимо от того, в какой

Очевидно, что он сходится на всей числовой оси и своей суммой имеет заданный

равенстве, исследован в задании 4) примера 12; там установлено, что он абсолютно сходится на всей числовой оси. Можно показать, что его суммой является функция .