; 10) односторонние горизонтальные асимптоты ; 11)

двусторонняя горизонтальная асимптота ; 12) левосторонняя наклонная асимптота и правосторонняя наклонная асимптота ; 13)

параллельные наклонные асимптоты и ; 14) вертикальная асимптота и горизонтальная асимптота .

Модуль 3. Производная и дифференциал

Пример 1. По определению производной найти производные следующих функций:

;

;

3)

;

При вычислении пределов в случаях 2) 4) совершался переход к пределу

Пример 2. По правилам дифференцирования и таблице производных основных элементарных функций найти производные следующих функций:

1)

3)

Решение. Выпишем производные участвующих функций в заданных выражениях (согласно таблице производных):

Теперь выпишем необходимые в данном примере правила дифференцирования:

Тогда для заданных функций получим следующие результаты:

1) 2)

3)

4)

Ответы: 1)

которое называют формулой логарифмического дифференцирования. Эту формулу и используем для прохождения производных заданных функций,

Так как

.

Ответы: 1) .

61

коэффициент этой прямой. Нормаль к кривой – это прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная касательной. Так как угловые коэффициенты

образом, точкой на кривой, в которой касательная параллельна оси абсцисс,

касательной к кривой, параллельной этой прямой, должен быть тот же

монотонности и выпуклости следующих функций:

1)

Решение. В данном примере под промежутком будем понимать любое из следующих множеств: , интервал , лучи или .

Если функция на любом таком промежутке дифференцируема (имеет конечную производную) и , то она на этом промежутке возрастает (убывает). Если существует вторая производная и на любом таком промежутке, то кривя на плоскости, заданная функцией , обращена выпуклостью вниз (вверх).

В литературе применяются термины «выпуклая кривая» и «выгнутая кривая», однако ввиду разногласий по этим терминам здесь они не применяются.1

Точки области определения непрерывной функции называются её критическими точками первого рода если производная в такой точке либо равна нулю, либо бесконечности, либо вовсе не существует. Критические точки первого рода являются подозрительными на экстремум, однако экстремума в них может и не быть; это увидим при решении задания 4).

1 Выпуклую вверх кривую называют иногда выпуклой, а иногда вогнутой; то же самое относится к кривой, обращённой выпуклостью вниз.

63

Об экстремумах функции, определённой на отрезке или любом из лучей , [, можно говорить лишь во внутренних точках таких промежутков.

Экстремумы (максимумы и минимумы) функции являются локальными или точечными понятиями. Когда говорим о максимуме (минимуме), то речь идёт о наибольшем (наименьшем) значении функции в точке экстремума лишь по сравнению с её значениями в достаточно близких к ней точках, т.е. ведётся сравнение значений функции в окрестности точки , возможно очень малого радиуса .

Когда речь идёт о глобальном экстремуме, то выявляются наибольшее и наименьшее значения функции, если они достигаются, на всей области определения функции или на каком-нибудь промежутке (например, отрезке ), являющемся частью её области определения.

Приведём достаточное условие существования экстремума функций, связанных с понятием её первой производной. В связи с этим говорят о первом правиле исследования на экстремум, пригодном для любой критической точки первого рода.

Пусть функция определена в некоторой окрестности критической точки и дифференцируема во всех точках этой окрестности за исключением, может быть, самой точки . Если при переходе слева направо через эту точку:

1)производная меняет свой знак с плюса на минус, то в точке будет максимум (max);

2)производная меняет знак с минуса на плюс, то в точке будет минимум

(min);

3)производная своего знака не меняет, то экстремума в точке нет.

Точки , лежащие на непрерывной кривой и разделяющие промежутки выпуклости вниз и вверх графика функции, называются точками перегиба.

В точке перегиба касательная к кривой, если она существует, пересекает эту кривую. В точке перегиба могут быть односторонние касательные или вертикальная касательная.

Внутренние точки области определения непрерывной функции называются её критическими точками второго рода, если вторая производная

в этих точках равна нулю или бесконечности, или вовсе не существует. На кривой с такими абсциссами возможны точки перегиба, но их может и не быть.

64

Укажем теперь достаточное условие существования точки перегиба на непрерывной кривой.

Пусть есть критическая точка второго рода непрерывной функции и в некоторой окрестности этой точки за исключением, может быть, её самой, существует конечная вторая производная. Если при переходе через

производные существуют и не обращаются в нуль. Следовательно, у функции нет критических точек ни первого, ни второго рода. Экстремумов нет и так как

функция на области определения возрастает. Вторая производная также существует и не обращается в нуль на . Точек перегиба нет.

выпуклость вверх. График изображён на рисунке 17.

Функция определена и непрерывна на . При этом первая производная определена на том же множестве. Тогда экстремум может быть только в стационарных точках, т.е. точках, где первая производная обращается в нуль. Очевидно, что такой точкой является только . При

65

критических точек второго рода; следовательно, на кривой нет точек перегиба. Ввиду того что на , график функции является выпуклым вниз. График этой функции известен читателю. Им является парабола с вершиной в начале координат, ветвь направлена вверх, а ось ординат есть ось симметрии графика.

Функция и её производные определены и непрерывны на всей числовой оси. Очевидно, что единственной критической

0

изображён на рисунке 1. Из графика видно, что в точке (0, 0) график не имеет касательной (односторонние касательные существуют). В точке нет ни конечной, ни бесконечной производной. Эта точка является критической точкой

установить и с помощью первого правила исследования на экстремум.

не принято говорить, так как касательная в любой точке этой кривой, кроме точки , совпадает с самой кривой (см. рисунок 22). График кривой лежит не ниже и не выше любой её касательной, а совпадает с ней. Здесь имелось в виду определение выпуклости кривой с помощью касательной. При других определениях выпуклости (с помощью хорд или неравенств) также невозможно говорить о промежутках выпуклости той функции. Линейные и постоянные функции на промежутках можно считать как выпуклыми вниз, так и выпуклыми вверх. При других определениях выпуклости (с помощью хорд или неравенств) также невозможно говорить о промежутках выпуклости этой функции. Линейные и постоянные функции на промежутках можно считать как выпуклыми вниз, так и выпуклыми вверх.

будет выпуклым вверх. Точка (0,0), подозрительная на перегиб, таковой не является.

67

1

0

Рисунок 23 –График функции

Теперь исследуем функцию 7). Находим её первую и вторую

производные:

Сама функция и обе производные определены на всей числовой оси.

Так как первая производная всюду существует, то надо находить только стационарные точки. Необходимое условие приводит к решению уравнения , очевидными корнями которого являются и

. Для дальнейшего исследования на монотонность и экстремум делаем следующий рисунок 24.

Рисунок 24 – Геометрическая интерпретация исследования функции на монотонность и экстремум

Над осью ставится знак первой производной на соответствующем промежутке. При этом знак производной сохраняется для всех точек рассматриваемого промежутка, поэтому его достаточно найти в какой-нибудь точке этого промежутка. Ниже оси стрелкой помечается тип монотонности. Стрелка вниз означает убывание, а вверх – возрастание на промежутке.

Итак, функция убывает на промежутках , и возрастает на интервале . В точке она имеет минимум, а в точке

68

максимум, значения функции в точках экстремума таковы:

.

Так как вторая производная всюду существует, то критические точки второго

промежутках, ниже оси помечаем дугами направления выпуклости. Знак второй производной достаточно найти в какой-нибудь одной точке каждого промежутка, в остальных точках этого промежутка будет такой же знак.

0

-1

1

Рисунок 26 – График функции Функция нечётна, её график симметричен относительно начала координат.

69

Проведём исследование на монотонность и экстремум по аналогии с

Теперь проведём исследование на выпуклость и перегибы. Критической

Рисунок 28 Геометрическая интерпретация

Рекомендуем читателю построить примерный график этой функции. Ответы: 1) нет точек экстремума и точек перегиба, функция на её области

определения возрастает и выпукла вниз; 2) нет точек экстремума и перегиба,

возрастает на всей числовой оси, экстремумов нет; начало координат является

этих промежутках график является выпуклым вверх, точек перегиба нет; 7)