Тестовые задания с решениями

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5725.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Коши. Этот признак утверждает следующее: если функция

на промежутке

непрерывна, неотрицательна, не возрастает и

положительный числовой ряд

и несобственный интеграл

одновременно сходятся или расходятся.

Очевидно, что в этом примере в качестве

надо взять функцию

Задание	1. Объединением множеств		и
является множество…
Варианты ответов: 1) {3,5,10}; 2) {1,3,5,7,10,12}; 3) {1,7,12}; 4) {1,12}.
Решение.	Объединением множеств	и	называется множество	=
=	, т.е. множество, состоящее из элементов обоих множеств

, (при этом одинаковые элементы учитываются один раз). Очевидно, что в

данном задании		=	. Правильным ответом является ответ 2).
Задание	2.	Пересечение множеств		и
является множество…
Варианты ответов: 1) {3,5,12}; 2) {1,7,12}; 3) {3,5,10}; 4) {1,3,5,7,10,12}.
Решение.	Пересечение множеств		и	называется множество	=
		, т.е. множество, состоящее из элементов, принадлежащих
как , так и	. Общими элементами заданных множеств являются числа 3,5,10.

Следовательно, правильным ответом является ответ 3).

Задание 3. Пересечением полуотрезков [5, 15] и [1, 8) является множество…

Варианты ответов: 1)

Решение: Общим элементом обоих множеств являются

числа

удовлетворяющие неравенствам 5<

. Отметим, что числа

пересечению заданных множеств не принадлежат, поскольку

не

принадлежит полуотрезку (5, 15], а

- полуотрезку [1, 8). Таким образом,

пересечением этих множест является интервал (5, 8).

Задание 4. Функция

отражает отрезок

на множество…

Варианты ответов: 1) (0, +

); 2)

; 3) (0,1);

4) [0,1].

Решение. Функция

определена на луче (0, +∞) и строго возрастает.

Поскольку

, то заданный отрезок отображается на ось ординат

в отрезок [0,1]. Правильным ответом является ответ 4).

Задание

5. Областью

значений

функции

является

множество…

Варианты ответов: 1) (0, +

); 2)

; 3) (

); 4) [5,

Решение.

Очевидно,

что значения этой функции увеличиваются с

увеличением

абсолютной

величины

аргумента .

Так как

то

. Следовательно, областью значений функции является

множество 2), т.е. луч

Задание 6. Предел равен…

Варианты ответов: 1) ; 2) ∞; 3) ; 4) 0.

Решение. При вычислении этого предела имеем неопределённость вида .

Это следует из того, что обе функции (в числители и знаменателе

рассматриваемой дроби) при	стремятся к	, (см., например, графики
этих функций, которыми являются параболы).
Для вычисления этого предела разделим числитель и знаменатель на			и

воспользуемся теоремами о пределах (предел суммы; предел частного (дроби); предел величины, обратной к бесконечно большой). В результате получим

. Верным ответом является ответ

1).

Для раскрытия этой неопределённости можно применить правило Лопиталя,

которое утверждает, что , если предел справа в этом

равенстве существует. Если предел справа снова представляет неопределённость

, то правило повторяют. Сказанное приводит к следующему:

. Получен тот же результат.

Ответ можно получить ещё проще. При вычислении предела отношения многочленов (полиномов) при достаточно оставить в числителе и знаменателе старшие члены (главные члены по поведению многочлена на

бесконечности). Тогда .

Замечание. В последнем задании в числителе стоят многочлены одинаковой (второй) степени. Применённое правило замены многочленов своими старшими членами (при вычислении на ∞ предела дробно-рациональной функции, т.е. отношения двух многочленов) можно использовать и для отношений многочленов произвольных, в том числе разных степеней. Поясним законность

этого действия. Пусть

есть

многочлен (полином) степени

. Тогда

Предел выражения квадратной скобки, очевидно, будет равен первому слагаемому , т.к. остальные слагаемые этой скобки являются бесконечно

малыми величинами. Следовательно,

Это

утверждение нельзя было доказать на основании теоремы о пределе суммы, т.к. разные слагаемые многочлены могут иметь различные знаки и тогда будут возникать неопределённости вида ∞ . Заметим, что значение будет

зависеть от знака коэффициента			, степени	(чётной и нечётной) и
стремления аргумента	к бесконечности			Это правило
стремления аргумента	к бесконечности			Это правило
будет применяться в модуле 2.
Задание 7. Предел		равен…

Варианты ответов: 1) 1; 2) 3; 3) 0; 4) 2.

Решение. Функция в точке не определена, но об её пределе при можно говорить, т.к. эта точка является предельной (точкой сгущения) для области определения функции. Подставив в формулу для функции, сразу установим, что имеется неопределённость вида . Проще всего эта

неопределённость раскрывается по правилу Лопиталя, которое утверждает, что

, если предел в правой части этого равенства существует. Правило повторяется, если неопределённость не раскрылась. Тогда

имеем

, т.е. правильным

ответом

является ответ 4).

Пример можно решить иначе. Так как имеется неопределённость

, то это

значит, что

является корнем уравнений

Найдём два других корня этих квадратных уравнений. Ими являются

соответственно

. Тогда справедливы равенства

(многочлены

разложены

на

множители). Воспользовавшись

этим, приступим к

вычислению предела:

. Получен тот же результат.

Задание 8. Предел равен…

Варианты ответов: 1) 0; 2) 1; 3) 4; 4) ∞.

Решение. Так как и , то имеем неопределённость вида .

Величины и являются бесконечно малыми при . Для вычисления исходного предела проще всего воспользоваться теоремой о замене бесконечно малых , соответствующими эквивалентными им

бесконечно малыми величинами , . Эта теорема утверждает, что если ,

, то либо справедливо равенство , при условии

существования хотя бы одного из выписанных пределов, либо оба предела не

существуют.	Известно,	что при	(	,	(		.
Применяя	теорему,	получим				.	Правильным

является ответ 3).

Этот предел можно найти и с помощью правила Лопиталя (см. решение

задания

7).

Действительно,

Задание 9.

Правосторонний предел функции

в точке

равен…

Варианты ответов: 1) 2; 2)

; 3) 5; 4) .

Решение. Функция в точке

не определена, однако о пределе при

можно говорить, т.к. точка

является предельной для области определения

этой функции. Теоремой о пределе дроби воспользоваться нельзя из-за того, что

. Следовательно, имеем особый случай . Известно, что величина,

обратная к бесконечно малой, есть величина бесконечно большая (.

Односторонние же пределы в точке

будут бесконечностями со знаком.

Именно, правосторонний передел будет равен : . Поясним

это. Функция при принимает положительные значения, а при справа её значения будут увеличиваться. Действительно, при имеем


		, при	получим		, а при	значение функции
		, при	получим		, а при	значение функции
уже равно 5000. Правильным ответом является 2).
	Задание 10. Производная функции				равна…
	Варианты ответов: 1)				; 2)	;
3)			;	4)	.
3)			;	4)	.
	Решение. Функция		представляет		собой произведение	функций	,
		. Производная	произведения		вычисляет по		формуле
		. Так как		,	,	то
		или		, т.е ответом является 1).

Задание 11. Производная функции			равна…
Варианты	ответов: 1)	; 2)	; 3)	;
4)	.

Решение. Данная функция есть сложная функция. Точнее, она представляет

собой суперпозицию (композицию)				трёх функций		,		,
. Для вычисления производной её следует представить так:								,
,	. Так	как	,		и	, то	по	правилу
производной	сложной	функции		получим				или
				,	при	этом	применили
тождество			. Правильным ответом является 4).
Задание 12. При цене			спрос	на товар задаётся функцией					,

где – некоторая постоянная величина. Значение показателя эластичности этой

функции при цене

(ден. ед.) будет равно…

Варианты ответов: 1)

2; 2) 0;

8; 4) 4.

Решение. Эластичность

функции

определяется равенством

. Для данной функции

и тогда

При

цене

получим

, т.е. ответ 3).

Поясним экономический смысл результата: при цене

ден. ед. повышение

цены товара на 1% вызовет снижение спроса на 8%. Так как					,
то спрос относительно цены считают эластичным.
Задание 13. Производная третьего порядка функции					равна…

Варианты ответов: 1)	2)	; 3)	, 4)	.

Решение. Вычисления можно провести по правилу нахождения производной

от дроби

(на первом

этапе

). Лучше

пользоваться равенством

. Так как функцию можно записать в виде

, то

. По тому же равенству при

имеем

. Тогда

или

. Правильным

ответом

является ответ 4).

Задание 14. Приближённым значением числа

является число…

Варианты ответов: 1)

; 3)

; 4) .

Решение.

Для приращения

функции

и её дифференциала

справедливо приближённое равенство

, из которого следует формула

Это равенство тем точнее, чем меньше величина

(приращение аргумента

). Для функции

эта

формула примет

вид

поскольку

. Полагая в последнем приближённом равенстве

и учитывая, что

Таким образом,

ответом является ответ 2).

Этот же результат следует из разложения функции

а ряд Маклорена, т.е. из

равенства

(выписанный ряд сходится для любого

действительного числа

и своей суммой имеет

Если положить в этом

равенстве

, то ответ становится очевидным.

Задание 15.

Область определения функции

задается точками

плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству…

Варианты

ответов:

;

4) .

Решение. Должно выполняться неравенство , поскольку корень извлекается из неотрицательных чисел и знаменатель дроби не может быть нулем. Это неравенство равносильно неравенству , т. е. имеет ответ 4). Геометрически это неравенство задаёт на плоскости открытый круг радиуса с центром в начале координат (круг без его границы – окружности

).
Задание 16. Линиями уровня функции							двух	переменных
являются на плоскости кривые …
Варианты ответов: 1)			;	2)	; 3)		; 4)

Решение.	Обычно уравнение				задаёт в некотором пространстве
некоторую поверхность. В данном задании					уравнение					задаёт
параболу, поскольку сечением в плоскости					является парабола					, а в
плоскости	-	парабола		. Линия уровня,		определяемая			уравнением
, является проекцией на плоскость						всех точек		пересечения
поверхности	с	плоскостью		( –	некоторое		постоянное			число),
перпендикулярной оси			(параллельной координатной				плоскости			). В
каждой точке		линии уровня функция принимает постоянное значение .

Термин «линия уровня» заимствован из картографии. В экономике линию уровня называют кривой безразличия, поскольку безразлично, какую взять точку

на этой линии, чтобы получить одно и то же значение функции	.
13

Придавая числу	различные значения	(однако такие, чтобы имело место
пересечение поверхности с плоскостью		), будем получать различные линии

уровня. Очевидно, что линии уровня заданной функции определяются уравнением , причём . При плоскость не будет пересекать параболу. Таким образом, линиями уровня рассматриваемой

функции являются концентрические окружности радиуса

При

уравнение

задаёт одну точку (0,0), которую называют вырожденной

линией уровня. В этой точке функция имеет

наименьшее

значение

Правильным ответом является 2).

Задание 17. Частная производная

функции

равна…

Варианты ответов:

;

Решение.

Функция является сложной. Она представима в виде

, где

есть функция двух переменных

. При вычислении частной

производной функции

по переменной

величину

считают постоянной.

Тогда

. Очевидно,

что

. По правилу

получим, что

. Верным является ответ 1).

Задание 18. Стационарной точкой функции

является…

Варианты ответов: 1)

; 4)

Решение. Стационарными точками дифференцируемой функции двух переменных называются точки, в которых обе частные производные обращаются

в нуль (		. Таким образом, эти точки находятся как решения системы
уравнений			. Очевидно, что в случае заданной функции

	.	Тогда	система уравнений	,	имеет

единственное		решение	Стационарной	точкой этой	функции

является точка (2,1), т.е. имеем ответ 3). В модуле 4 выясним наличие экстремума в этой точке.

Задание 19. Неопределённый интеграл от функции				равен…



Варианты ответов: 1)	; 2)	; 3)	; 4)

Решение.	есть некоторая первообразная функции		,
то		где C – произвольное постоянное число. Тогда будет
выполняться	равенство	, по которому	проверяется
		14

справедливость ответа. В данном задании имеем

, так

как производная правой части совпадает с подынтегральной функцией

Действительно, (

. Правильным

ответом является 4).

Этот

интеграл можно найти методом замены

переменной (методом

подстановки).

Положим

тогда

, а

Следовательно,

. При этом

воспользовались табличным интегралом

при

Задание

20.

Площадь

фигуры,

ограниченной

кривыми,

заданными

управлениями

, равна…

Варианты ответов: 1)

; 3)

Решение. Площадь S фигуры, ограниченной графиками непрерывных

функций

вычисляется по

формуле

При этом предполагается: кривые пересекаются только в двух точках;

есть проекции точек пересечения кривых на ось

;

на

отрезке

т.е.

график функции

на этом отрезке расположен выше

графика функции

В данном задании прежде всего надо уравнения разрешить относительно переменной , т.е. получить виды функций. Первое уравнение (алгебраическое уравнение второй степени) приводится к виду . Оно задаёт равностороннюю гиперболу, асимптотами которой являются оси координат, с

ветвями, расположенными	в первой и третьей четвертях.	Второе	уравнение
(алгебраическое уравнение	первой степени) приводится к	виду		и

задаёт на плоскости прямую линию. Читателю рекомендуем построить графики этих кривых.

Теперь надо найти точки пересечения кривых (это поможет и построению их графиков). Для этого надо решить систему уравнений

Координаты этих точек практически очевидны:

. Если

читателю это не очевидно, то надо решать уравнение

или

Тогда

и, следовательно,

(надо

применить

формулу нахождения

корней квадратного уравнения

или теорему Виета).

Подставляя корни

в любое уравнение системы,

найдём

соответствующие ординаты точек пересечения кривых:

.Числа

есть проекции

точек

на ось

абсцисс.

Они

являются

пределами интегрирования при вычислении площади

по указанной формуле.

Так как на отрезке

выполняется неравенство

то за

надо

взять функцию

, а

за

– функцию

. Тогда

т.е. правильным ответом является 4). При вычислении интеграла была применена основная формула интегрального исчисления – формула Ньютона-

Лейбница	, где	есть первообразная

непрерывной подынтегральной функции	, а также таблица первообразных
основных элементарных функций.
Просматривая варианты ответов, можно	было бы	сразу остановиться на

четвёртом ответе. Действительно, первое уравнение приводится к виду

и,

следовательно, в интеграле для вычисления

должна присутствовать функция

первообразной которой

является

функция

. В

первых трёх

ответах

натуральный логарифм какого-нибудь числа не участвует.

Задание 21. Значение

равно…

Варианты ответов: 1)

3) 4)

Решение. Так как первообразной функции

является

функция

(действительно,

), то

по приведённой при

решении задания 20 формуле Ньютона-Лейбница получим

Ответом является 1).

Задание 22. Значение несобственного интеграла

равно…

Варианты ответов: 1) 0; 2) + ; 3) 1

4) -1.

Решение.

Отметим,

что подынтегральная функция

непрерывна на

промежутке интегрирования

. Вычисление интеграла можно было бы

провести

по

определению

такого

несобственного

интеграла,

т.е. по

формуле

(

Вычисление же

(в данном случае интеграла

) провести по

формуле Ньютона-Лейбница. Предоставляем это читателю.

Проще

воспользоваться

обобщённой

формулой

Ньютона-Лейбница:

где

–

первообразная

функции

Тогда

. Здесь

применена условная запись

(величина, обратная к бесконечно большой.

Есть величина бесконечно малая). Получили ответ 3).

Задание 23. Решением дифференциального уравнения

является функция…

Варианты ответов: 1)

;

Решение. После подстановки функции и её производных в уравнение должно получиться тождество. Тогда ясно, что ответы 1), 3) и 4) отпадают. Например,

функция

является многочленом, её производные также будут

многочленами

(

а справа

в уравнении

стоит

тригонометрическая функция

. Надо проверять функцию

Подставив эту функцию и её

производные

в данное уравнение, действительно получим тождество:

Решением

дифференциального уравнения является функция из ответа 2).

Задание 24. Общим решением дифференциального уравнения

является функция…

Варианты ответов:

; 2)

;

; 4)

Решение.

Уравнение является линейным однородным дифференциальным

уравнением

второго

порядка с

постоянными

коэффициентами.

Его

характеристическое (вековое) уравнение имеет вид

Корнями

этого уравнения являются действительные числа

Так как

корни различны, то фундаментальная система решений состоит из

функций

. Общим решением будет функция

, где

– производные постоянные. Имеем ответ 4).

Задание 25. Решением задачи Коши

является функция…

Варианты

ответов: 1)

Решение.

Искомая функция

должна удовлетворять

самому

дифференциальному уравнению и должны выполняться

начальные

условия

. Если один из предложенных ответов является верным, то

достаточно проверить для рассматриваемой функции выполнение этих условий.


Первое из этих равенств	выполняется для функции из ответов 1) и 3).
Ответы 2) и 4) отпадают. Второе равенство		для функции
(первый вариант ответа) не выполняется, т.к.		и тогда

. Таким образом, остаётся ответ 3). Предоставляем читателю проверить, что для функции ответа 3) равенство выполняется.

Теперь приведём подробное решение этого задания. Сначала надо найти

общее решение уравнения			. Его	характеристическим

уравнением является алгебраическое			равнение	или

	, корень которого	является двукратным. Тогда фундаментальная

система решений этого уравнения состоит из функций				, а его
общим решением является функция			, где	– производные

постоянные. Если ищется частное решение т.е. решение, удовлетворяющее

заданным	начальным условиям			(в	данном	случае	условием
	),	то	будут конкретными действительными числами. Эти числа
находятся из		вида общего решения и этих условий. Так как
, а по первому начальному условию						,	то получим первое
равенство		.	Теперь находим
					. Тогда			, а по второму
начальному		условию	.	Получим второе равенство				.
Таким образом,			есть решения системы ,					из двух
линейных	алгебраических уравнений				с двумя	неизвестными		. Решение
					18

очевидно:		при этом оно единственное. Подставляя эти значения в
форму общего решения, получим ответ 3).
	Задание 26. Частное решение дифференциального уравнения
	Задание 26. Частное решение дифференциального уравнения
	имеет вид…	1)	2)	3)
	имеет вид…
	Варианты ответов:

Решение. Уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида , при этом в данном задании контрольное число . Вид частного решения зависит от вида и от связи контрольного числа с корнями характеристического уравнения соответствующего приведённого однородного дифференциального уравнения, которое в данном задании имеет вид . Тогда характеристическое уравнение таково: его корнями являются числа Так как не совпадает ни с одним из корней, то частное решение надо искать в виде . Числа подлежат нахождению. Таким образом, частное решение надо искать в виде 1).

Задание 27. Бесконечная десятичная периодическая дробь 0,3(5) представляется обыкновенной дробью в виде…

Варианты ответов: 1) 2); 3) 4)

Решение. Число 0,3(5)=0,3555… записывается в виде ряда

отбросив первый член которого получим геометрический ряд

с первым членом и знаменателем , сумма которого вычисляется по формуле . В данном случае сумма геометрического ряда

и тогда сумма исходного ряда есть число

Следовательно, 0,3(5)=

, т.е. правильным ответом является 4).

Число

специально не сокращали, чтобы читатель мог понять

правило

перевода бесконечных десятичных периодических дробей в обыкновенные дроби. Другие типы примеров будут приведены в модуле 7.

Задание 28. Из данных в вариантах ответов числовых рядов сходящимся является ряд…

Варианты ответов: 1)	; 2)	19	; 3)	; 4)	.

Решение. Сходящимся рядом является только ряд 3). Общий член		первого
ряда	не стремится к нулю (	. Он

является расходящимся, поскольку не выполнено необходимое условие сходимости числового ряда, т.е. условие . Второй ряд называется гармоническим; известно, что он расходится, хотя необходимое условие

сходимости		выполнено. Третий и четвёртый ряды
сходимости		выполнено. Третий и четвёртый ряды
относятся к обобщённому гармоническому ряду			. Известно, что ряды
относятся к обобщённому гармоническому ряду			. Известно, что ряды
такого вида сходятся при	(таким является ряд 3)) и расходятся при
(таким является ряд 4)).

Докажем сходимость ряда 3) с помощью интегрального признака Маклорена-

которая всем условиям сформулированной теоремы удовлетворяют. Вычислим соответствующий интеграл: . Так как

он сходится, то сходится и ряд 3). Специальными методами устанавливается, что сумма этого ряда равна .

Расходимость рядов 2) и 4) можно доказать с помощью этого же признака (см. примеры модуля 7). Расходимость ряда 4) можно установить и с помощью признака сравнения, так как при выполняется неравенство , то его

сравниваем с гармоническим рядом.

Сходимость ряда 3) можно доказать и с помощью признака сравнения. Для

этого его можно сравнить со сходящимся		рядом	. Читателю
этого его можно сравнить со сходящимся		рядом	. Читателю
предлагаем установить, что частичная сумма		этого последнего ряда равна
	. В соответствии с определением суммы	ряда получим
	. В соответствии с определением суммы	ряда получим

Задание 29. Областью	сходимости	степенного	ряда		является

промежуток…
Варианты ответов: 1)	; 2)	; 3)	; 4)	(-1,1).

Решение. Исследуемый ряд является степенным.			Для нахождения области

сходимости можно было бы применить предельный признак Даламбера к ряду

, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда.

Обычно область сходимости устанавливают так. Сначала находят число -

радиус сходимости степенного ряда. Если

есть конечное число,

не равное

нулю, то ряд будет сходиться на интервале

, а вне этого интервала будет

расходиться. Остаётся провести исследование на сходимость в точках

, т.е.

на концах интервала.

Радиус сходимости

можно найти по формуле

, где

, а

есть коэффициент при , т.е. коэффициент общего члена

. Эта

формула очень удобна в данном задании. Так как

, то

Тогда ряд

сходится

на

интервале

(-1,1). Теперь проверим его сходимость в точках

При

получим числовой знакочередующийся ряд

. Очевидно, что его члены убывают по абсолютной величине и

предел общего члена

равен нулю; это значит, что ряд является рядом типа

и, следовательно, сходится.

При

имеем положительный числовой ряд

сходимость которого установлена в предыдущем задании.

Из всего сказанного следует, что ряд сходится на отрезке

т.е. имеем

ответ 2).

Задание 30. Член ряда Маклорена функции

содержащий

четвёртую степень переменной

, имеет вид…

Варианты ответов: 1)

Решение. Степенной ряд вида

называется рядом Маклорена функции

. Для функции

имеем

, а

тогда

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20226.42 Mб15720.pdf
#
13.11.20226.5 Mб65721.pdf
#
13.11.20226.5 Mб115722.pdf
#
13.11.20226.65 Mб25723.pdf
#
13.11.20226.78 Mб65724.pdf
#
13.11.202212 Mб25725.pdf
#
13.11.2022373.25 Кб358.doc
#
13.11.2022506.88 Кб259.doc
#
13.11.202229.18 Кб16.doc
#
13.11.20221.1 Mб160.doc
#
13.11.2022412.67 Кб261.doc