Если выписанный предел существует и конечен, то интеграл называют сходящимся, а в противном случае – расходящимся.

Приступим к исследованию данных интегралов, т.к. они являются интегралами описанного типа, т.е. функция имеет особенности только на левых концах соответствующих промежутков.

, т.е.

первый интеграл сходится и равен .

, т.е. этот

интеграл расходится.

Ответы: 1) (сходится); 2) интеграл расходится.

Замечание. Имеются ещё несобственные интегралы второго рода с конечным промежутком интегрирования и особенностью во внутренней точке с этого промежутка . Если эта точка единственная, то интеграл

определяется равенством . Интегралы, стоящие справа в этом равенстве, уже рассмотрены в предыдущих примерах 9 и 10; один из них имеет особенность на правом конце, а другой – на левом.

Модуль 6. Дифференциальные уравнения

Решение. Уравнение относится к обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка, поскольку неизвестная функция является функцией одной переменной и производной высшего порядка, входящей в

, которая при подставке в уравнение вместе с содержащимися в нем её производными обратит уравнение в тождество. Отметим, что сама функция и её производные некоторого порядка, кроме высшего, могут явно в уравнении не присутствовать.

101

Ответ: Уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением

Решение: Уравнение относится к дифференциальным уравнениям второго порядка в частных производных. Очевидно, что частные производные первого порядка таковы: .

Вычислим теперь входящие в уравнение частные производные второго порядка:

,

.

Очевидно, что при их подстановке в уравнение получится тождество.

Ответ: Функция является решением данного дифференциального уравнения

называют уравнением с разделенными переменными. Проинтегрировав последнее равенство, получим общее решение такого уравнения в виде интегралов (квадратур) .

Если интегралы выражаются через элементарные функции, то получим решение , в явном или неявном виде.

Во всех заданных уравнениях переменные разделены. В результате

Семейством интегральных кривых является множество концентрических

Интегральными кривыми второго уравнения являются прямые линии

.

Решение последнего уравнения записано в квадратурах, выписанные

уравнению с разделёнными переменными, общий интеграл которого в квадратурах имеет вид .

Отметим, что при делении возможна потеря частных решений.

Оба уравнения относятся к уравнениям с разделяющимися переменными.

Окончательно имеем, что общее решение первого уравнения можно записать

и , тогда общее решение есть функция , где

– произвольная постоянная.

Ответы:

Пример 5. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения

.

Решение. Решим соответствующее линейное приведённое однородное

; где любая постоянная ( случай учитывает потерянное решение

).

Итак, есть решение приведённого однородного уравнения. Решение исходного уравнения получим так называемым методом вариации произвольной постоянной. В записи будем считать функцией переменной , т.е. решение исходного уравнения будем находить в виде

Метод получил название в связи с тем, что постоянную варьируем (изменяем). По существу совершается замена переменной , где – новая неизвестная функция.

Теперь функцию ( и её производную подставляем в исходное уравнение. После очевидного упрощения имеем уравнение

уравнения, получающееся из его общего решения при .

Ответ: .

Пример 6. Найти решение задачи Коши .

Решение. Решение задачи Коши (задачи с начальным условием) есть решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию. В данном примере этим условием является . Такое решение называется частным решением дифференциального уравнения.

104

Геометрически это трактуется так: из всего семейства интегральных кривых (из общего решения) надо выделить интегральную кривую, проходящую через заданную точку .

Частное решение дифференциального уравнения находится из его общего решения путём подбора соответствующей постоянной .

Общее решение данного уравнения уже найдено в примере 5. Из его вида

Пример 7. Найти общие решения следующих дифференциальных уравнений:

.

Решение. Все уравнения примера являются линейными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными

являются решениями линейного однородного уравнения второго порядка

Тогда говорят, что они образуют фундаментальную систему решений этого уравнения. В таком случае выражение где – произвольные постоянные, содержит все решения этого уравнения (особых решений нет). Таким образом, общее решение линейного однородного уравнения второго порядка есть линейная комбинация функций, образующих его фундаментальную систему решений.

Фундаментальная система решений уравнения с постоянными коэффициентами связана с корнями его характеристического

Если корни комплексны ( то

105

Характеристическим уравнением первого дифференциального уравнения

В случае 3) имеем Тогда

, т.е. имеем пару комплексно сопряжённых корней. Фундаментальную систему решений составляют функции , а общее решение

Ответы:

Пример 8. Найти решения дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условием

Решение. Речь идёт о задаче Коши или задаче с начальными условиями для данного дифференциального уравнения. Это значит, что из всего множества решений (из общего решения) надо выбрать ту функцию, которая удовлетворяет заданным начальным условиям. Эта функция есть частное решение этого дифференциального уравнения.

Общее решение данного уравнения найдено в задании 1) примера 7. Оно

Пример 9. Указать вид, в котором надо искать частное решение линейного

Способ их нахождения покажем в следующем примере.

Характеристическим уравнением в данном примере является уравнение

совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения. Тогда частное

Ответы:

Пример 10. Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения .

Решение. Решение любого линейного неоднородного дифференциального

частное решение самого неоднородного уравнения. Нахождение функций и описано в предыдущих примерах 7 и 9.

Характеристическим уравнением приведённого однородного уравнения

уравнения, который является двукратным. Многочленом является многочлен

Ответ:

Пример 11. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Решение. Систему решим методом исключения из неё одной из неизвестных функций . Тогда на первом этапе система сведётся к решению линейного дифференциального уравнения второго порядка с одной неизвестной

108