Модуль 2. Пределы и непрерывность

Пример 1. Найти следующие пределы:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение. При вычислении этих пределов применимы теоремы о пределах суммы, разности, произведения и частного двух функций, если пределы соответствующих функций конечны и в случае дроби предел её знаменателя отличен от нуля. При этом воспользуемся тем, что в случае непрерывной функции её предел в точке равен значению функции в этой точке

. Воспользовавшись сказанным, получим следующее:

34

Решение. В данном примере имеем особые случаи, когда упомянутые теоремы о пределах суммы, разности, произведения и частного ответа не дают. Однако ответы легко получить. Проведём очевидные записи:

1) 2) 3) )

4)

В третьем примере применена теорема о том, что величина, обратная к бесконечно большой, будет бесконечно малой величиной (условная запись

. В четвёртом примере можно применить теорему о том, что величина,

обратная к бесконечно малой, будет бесконечно большой величиной (условная запись

Ответ: 1) ; 2) +; 3) 0; 4) .

Пример 3. Вычислить следующие пределы:

Решение. В этом примере рассматриваются простейшие случаи на раскрытие неопределённостей. Неопределённости возникают при вычислении пределов суммы, разности, произведения, частного двух функций и степеннопоказательного выражения, когда основные теоремы, как и в особых случаях примера 2, неприменимы. Различают неопределённости следующих видов

В этих ситуациях никакого общего заключения о пределе сделать нельзя. В зависимости от участвующих в выражениях функций возможны различные ответы: пределом является конечное число (в частности,

35

нуль), предел бесконечен, предела нет (ни конечного, ни бесконечного). Когда при исследовании предел будет установлен, то говорят, что неопределённость раскрыта.

При раскрытии неопределённостей применяются различные приёмы: преобразование выражения с последующим применением основных теорем о пределах и особых случаев, метод замены бесконечно малых величин на эквивалентные им, метод сведения к известным замечательным пределам, правило Лопиталя. Для некоторых неопределённостей применимы различные из этих приёмов, иногда они используются совместно. Действие некоторых из этих методов уже показывалось в заданиях в решениями (см. стр. 9 11). Для более глубокого понимания теории пределов читателю будет полезно обратиться к рекомендуемой литературе.

Приступим к вычислению выписанных пределов.

В первом случае, очевидно, имеем неопределённость вида . Преобразуем выражение, разделив числитель и знаменатель этой дроби на , т.е. на высшую степень числителя и знаменателя. Далее воспользуемся теоремами о пределе частного, произведения, суммы и тем, что , ,

(см. рассуждения примера 2). В результате получим

Здесь и далее в скобках будем помечать вид

неопределённости.

В этом случае ещё проще получить ответ, применив последовательно два раза правило Лопиталя. Действительно,

Второй случай разберём сначала с помощью метода преобразования

36

Вычислим третий предел, в котором имеем дело с неопределённостью . Так как при справедливо равенство , то Применив правило Лопиталя, получим тот же ответ:

Для вычисления предела 4), представляющего неопределённость вида ,

разложим числитель и знаменатель на множители, предварительно найдя корни

Теперь для вычисления этого предела применим правило Лопиталя. В

В следующей ситуации 6) имеем уже неопределённость вида

37

при вычислении этого предела применили два приёма – преобразование выражения и правило Лопиталя.

В заданиях 7) и 8) имеем неопределённости вида . В обоих случаях исходную функцию преобразуют, умножая и деля её на так называемое

В случае же 8) имеем

. Во второй ситуации,

кроме преобразования выражения, которое привело к другой неопределённости, применили ещё правило Лопиталя.

Приступим к вычислению предела 9). Здесь можно применить три метода раскрытия этой неопределённости, которая, очевидно, имеет вид .

Исходное выражение преобразуем, чтобы результат свести к применению первого замечательного предела . Итак,

.

Теперь применим метод замены бесконечно малых величин на эквивалентные

.

Предел 10) можно вычислить с помощью сведения к первому замечательному пределу и по правилу Лопиталя, что предоставляем читателю. Проще всего

38

заменить функции на эквивалентные им (при имеем эквивалентности:

). Тогда

В заданиях 11) и 12) имеют место неопределенности вида , так как пределы оснований этих степенно-показательных выражений равны единице, а пределы показателей бесконечны (+. Оба предела будем сводить ко второму

проводить соответствующие преобразования исходных функций.

В случае 11) имеем следующее:

. При вычислении воспользовались тем, что предел квадратной скобки (основания нового степенно-показательного выражения) равен , а предел показателя, очевидно, есть (. Получили особый случай , но так как , то =.

В случае 12) имеем

. При этом воспользовались тем, что предел квадратной скобки равен числу ( это легко понять с помощью замены переменной ),

апредел показателя равен 5.

Вслучае предела 13) имеем неопределённость . Для вычисления предела

непрерывна в своей области определения, то знак предела и знак функции

проводить действия, аналогичные предыдущему случаю. Прологарифмируем

переставим символы предела и функции. В результате получим

Ответ: 1) ; 2) 0; 3) 8; 4) ; 5) ; 6) 0; 7) 0; 8) +; 10) ; 11) + 12) ; 13) 1; 14) 1.

Пример 4. Найти в указанных точках односторонние пределы функций:

3)

5)

7)

Решение. Кроме понятия предела функции в конечной точке , существуют ещё понятия односторонних пределов в этой точке: предела слева в

Односторонние пределы на языке окрестностей определяются почти так же, как обычный предел в точке, но в определении рассматривается не вся

в случае правостороннего предела.

Любой из односторонних пределов может оказаться бесконечностью.

Если функция в какой-нибудь внутренней точке промежутка имеет конечный предел, то она имеет в этой точке и оба односторонние пределы, причём все три

40

предела равны, т.е. но функция может иметь односторонние пределы и при отсутствии обычного предела в точке.

Если же функция в некоторой точке имеет односторонние пределы, равные между собой, то это общее значение будет и пределом функции в этой точке.

Ещё раз подчеркнём, что о любом пределе функции в точке можно говорить как в случае, когда функция в этой точке определена, так и в случае, когда она в ней не определена. Но эта точка должна быть всегда предельной точкой (точкой сгущения) области определения функции.

В первом задании в точке определена и имеет все три предела (обычный и оба односторонние), значениями которых является общее число 4.

Во втором случае функция по самому способу её задания не определена в

Этот предел называется первым замечательным пределом. Оба односторонние

пределы (обычные) в этих точках не существуют. При этом односторонние пределы таковы:

41

. При применяют ещё запись , а при

Пример 5. Исследовать на непрерывность следующие функции: 1)

, что и означает непрерывность функции на её области определения (-.

При исследовании второй функции воспользуемся тригонометрическим тождеством

представляет собой произведение ограниченной величины на бесконечно малую

42

величину и, следовательно, является бесконечно малой величиной. Таким образом, , что и означает непрерывность этой функции.

Ответ: обе функции непрерывны на (- Пример 6. Для следующих функций указать точки разрыва и их характер:

1)

точке совпадает со значением функции в ней).

Требования наличия предела означает, что функция должна быть определена и в некоторой окрестности точки .

Из данного определения следует, что о непрерывности функции можно говорить лишь по отношению к точкам, в которых функция определена. Отметим, что при определении предела в точке такое условие не ставится;

Кроме того, используется и понятие так называемой односторонней непрерывности.

43

односторонней непрерывности функция должна быть определена в этой точке. Легко понять, что функция, непрерывная во внутренней точке своей области

определения, будет одновременно непрерывна в этой точке слева и справа. Справедливо и обратное утверждение: если функция непрерывна слева и справа в некоторой внутренней точке, то она будет и непрерывной в этой точке. Однако функция может быть непрерывна только с одной стороны.

Функция называется непрерывной на некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Если таким промежутком является отрезок [] (или любой из полуотрезков [), (]), то на принадлежащих ему концах подразумевается односторонняя непрерывность: в

Точкой разрыва функции называется всякая точка, в которой функция определена, но не непрерывна. Тогда либо функция в этой точке не имеет конечного предела, либо конечный предел в этой точке существует, но не

(сплошности) кривой. Являющейся графиком функции на плоскости. Такая кривая может быть получена непрерывным движением точки по ней. В связи с этим к точкам разрыва функции обычно причисляют ещё точки, в которых функция не определена, но которые являются предельными точками (точками сгущения) её области определения. Напомним, что точка называется предельной точкой некоторого множества, если в любой её окрестности имеется хотя бы одна точка этого множества, отличная от точки .

Для разрывов функции проводится некоторая классификация.

Если в точке функция имеет разрыв и хотя бы один из односторонних пределов в ней бесконечен или вообще не существует, это разрыв называется разрывом второго рода.

Все остальные разрывы относят к разрывам первого рода. К таким разрывам относят и так называемые устранимые разрывы, которые поясним ниже при

т. е. на всей числовой оси. Ни в одной точке она не имеет предела (ни конечного,

44

ни бесконечного). Следовательно, она терпит разрыв второго рода в каждой точке области определения. Её график изобразить невозможно, но можно представить мысленно. Бесконечное множество точек графика лежит на прямой и бесконечное – на прямой , при этом множеством значений функции является конечное множество {0, 1}.

Функция задания 2) также определена на всей числовой оси. В частности, она определена и в точке (по условию . Однако не существует (в нуле нет ни конечного, ни бесконечного предела, см. задание 3) из примера 4). Следовательно, в точке имеется разрыв второго рода. График этой функции изобразить очень трудно. В окрестности нуля он совершает бесконечное множество колебаний, сжимаясь к оси ординат.

Третья функция определена на , её график изображён на рисунке 5.

левосторонний предел в нуле совпадает со значением функции в нуле. Таким образом, при имеется непрерывность слева, а справа – разрыв. При построении графика совершается бесконечный скачок.

В задании 4) функция определена а всей координатной прямой. При этом по

ситуацию, что предел в точке не совпадает со значнием функции в этой точке. Так как предел существует и конечен, то имеем разрыв первого рода. Этот разрыв относят к устранимым разрывам. Его можно устранить, переопределив

отличается только значением в одной точке , но которая в этой точке является непрерывной. Любое другое переопределение (изменение) значения функции в нуле, кроме , разрыва в этой точке не устранит. На рисунке 6 указан примерный вид графика исходной функции.

0

Рисунок 6 – График функции

Жирная точка на оси означает, что ; выколотая точка на оси

В нуле нет ни левосторонней, ни правосторонней непрерывности.

Читатель без труда может изобразить график переопределённой функции, уже непрерывной в нуле и на всей области определения.

В ситуации 5) функция определена для всех , кроме . Очевидно, что эта точка является предельной точкой для множества (-,являющегося областью определения рассматриваемой функции.

Следовательно, её надо считать точкой разрыва функции. Так как

(предел существует и конечен), то имеем разрыв первого рода. Разрыв относят к устранимым разрывам. Действительно, разрыв устраняется следующим образом. Надо доопределить функцию в нуле, а именно: положить (за значение в нуле приняли предельное значение в этой точке). Новая функция (уже применявшаяся в задании 4))

46

Рекомендуем читателю построить график функции 5) и сравнить с графиком

(см. задание 6) примера 4). В этой точке имеет место разрыв второго рода. Рассматриваемая функция напоминает функцию 2) этого примера. Различие

ней функция не определена) происходит разрыв второго рода. Такой разрыв в точке принято называть ещё разрывом с бесконечным скачком. Функция на области определения не ограничена. На рисунке 7 изображён её график.

3

является непрерывной на своей области определения (см. приведённое выше определение непрерывности функции на промежутке). Это не противоречит

47

тому, что они имеют по одной точке разрыва, так как указанные точки разрыва соответствующей области определения функции не принадлежат. Каждая из этих функций будет непрерывной на любом промежутке, являющемся частью своей области определения (сужение функции непрерывно).

Обычно функцию 8) обозначают (знак ). Она не определена в нуле. Односторонние пределы в этой точке существуют и конечны:

Таким образом, в нуле имеем разрыв первого рода. Этот разрыв называют ещё разрывом с конечным скачком. При таком разрыве в точке величину , т.е. разность между правосторонним и левосторонним пределами в точке , называют скачком функции. Для этой функции скачок в нуле есть величина При скачке разрыв не устраним при любом доопределении функции в точке разрыва . Эта функция в нуле не обладает односторонней неопределённостью. Её график изображён ниже на рисунке 8.

1

0

-1

Рисунок 8 – График функции

Выколотые точки означают, что На области определения функция является непрерывной.

Функция 9) определена на всей числовой оси можно считать, что предыдущая функция доопределена в точке нулём . И всё же в нуле имеем разрыв первого рода. Так как точка уже входит в область определения функции, то на этой области функцию надо считать разрывной из-за разрыва в точке . График функции изображён на рисунке

9.

48

y 1

-1

Рисунок 9 – График функции

Обратимся к функциям 10) и 11), которые определены на всей числовой оси. Ниже построены их графики (рисунки 10 и 11).

1

0 -1

Рисунок 10 – График функции

1

0 -1

Рисунок 11 График функции Обе функции определены в нуле и имеют в этой точке разрыв первого рода.

разрывны на области определения (- Для исследования функции 12) и 13) построим их графики (рисунки 12, 13).

49

Рисунки позволяют сделать следующие заключения.

Функция 12) не определена в точке и имеет в ней разрыв второго рода, причём с бесконечным скачком. Односторонние пределы в этой точке таковы:

таковы:

. Следовательно, в этой точке наблюдаем

разрыв первого рода, причём с конечным скачком. Доопределением функции в точке разрыв устранить невозможно. Разрыв в точке как слева, так и справа.

Обе функции 12) и 13) на их областях определения являются непрерывными. Две последующие функции определены на одном и том же отрезке [1,2]. При

этом первая терпит разрыв на левом конце , а вторая – на правом конце (см. рисунки 14, 15).

50

5

3

Читателю предлагаем переопределить каждую функцию на соответствующем конце отрезка [1,2] так, чтобы новая функция (с изменённым значением на одном конце) стала непрерывной на всём отрезке, и указать эту функцию.

Рекомендуем также привести пример функции, определённой на отрезке [] и имеющей разрыв второго рода на каком-нибудь из концов этого отрезка или на обоих его концах.

Ответ: 1) в каждой точке области определения имеем разрыв второго рода; 2) в нуле имеем разрыв второго рода; 2) в нуле имеем разрыв второго рода; 3) в нуле функция имеет разрыв второго рода, причём слева непрерывна, а справаразрыв; 4) в нуле имеем разрыв первого рода, причём разрыв устранимый; 5) в нуле функция терпит разрыв первого рода, причём устранимый; 6) в нуле разрыв второго рода; 7) в точке функция терпит разрыв второго рода, при этом разрыв с бесконечным скачком; 8) в точке разрыв первого, причём с конечным скачком (разрыв устранить нельзя); 9) в нуле разрыв первого рода; 10) разрыв первого рода в нуле, при этом функция в нуле непрерывна слева; 11) разрыв в нуле первого рода с непрерывностью в этой точке справа; 12) в точке

разрыв второго рода, причём с бесконечным скачком; 13) разрыв первого

51

рода в нуле, при этом с конечным скачком; 14) разрыв первого рода на левом конце отрезка [1,2]; 15) разрыв первого рода на первом конце отрезка [1,2].