Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5725.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

случае

исходная

приближённая формула

принимает вид

Для вычисления

надо

взять

(тогда

что соответствует

Следовательно,

Ответы: 1) 2) 3)

Модуль 4. Функции многих переменных

Пример 1. Указать области определения следующих функций двух переменных:

Решение. Область определения первой функции задаётся условием

или

. Очевидно, что такое неравенство

задаёт на

плоскости

круг радиуса

с центром в начале координат.

В область

определения включается и граница этого круга – окружность

радиуса

с центром в точке (0,0). Отметим, что графиком функции является

полусфера.

Область определения второй функции задаётся условием

или

, т.е. представляет собой круг без его границы – окружности

радиуса

с центром в начале координат.

Третья

функция определена

во всех очках плоскости

, для которых

или

. Следовательно, функция определена во всех

точках плоскости, кроме точек упоминавшейся окружности

Функция 4) определена в точках плоскости, которые удовлетворяют

неравенству	или	. Область	определения

представляет собой внешность упоминавшегося круга радиуса			с центром в
начале координат с включением точек окружности.
Ответы: 1) круг радиуса	с центром в начале координат (
с включением его границы – окружности; 2) открытый круг			, круг
без его границы – окружности; 3) плоскость без точек окружности			;
4) задаётся неравенством
	84

Пример 2. Найти уравнения линий уровня следующих функций: 1)

	2)	3)

Решение. Понятие линии уровня функции двух переменных
подробно описано на стр. 82 (задание 16).
Линии уровня первой функции задаются			уравнением

где	. При	плоскость	не будет пересекать поверхность
(параболоид), которую задаёт эта функция.			При	это уравнение задаёт
окружность с центром в точке (2, -1) и радиусом				. Таким образом, линии

уровня этой функции есть концентрические окружности с указанным центром и


радиусом. При	получаем вырожденную линию уровня –			точку (2,	-1),
соответствующую наименьшему значению функции			.
График функции представляет поверхность, называемую параболоидом.
Линии уровня	функции	, графиком которой является поверхность,
называемая гиперболическим параболоидом, задаются уравнением					При
линией уровня будет пара пересекающихся прямых				.	При
они имеют вид		, т.е. линиями уровня являются гиперболы.			При
они имеют вид		, т.е. линиями уровня являются гиперболы.			При

ветви любой такой гиперболы лежат в первой и третьей четвертях, а при - во второй и четвёртой. Линии уровня третьей функции определяются

уравнением

, т.е. представляют собой на плоскости прямые,

проходящие через начало координат, исключая прямую

(ось

, в точках

которой функция не определена.

Ответы: 1)

; 2)

; 3)

Пример 3.

Вычислить

следующие

пределы, если

они

существуют:

; 2)

; 4)

Решение. Первая функция определена на всей плоскости. Пользуясь

теоремой о пределе суммы, получим, что
Вторая функция (показательно-степенная) существует при		и
произвольном . Тогда, если	любое действительное число,	то

Это можно показать на основании определения предела на «языке последовательностей». Следовательно,

Вычисление пределов функции двух переменных является более сложной задачей по сравнению с вычислением предела функции одной переменной. Это

связано с тем, что переменная точка	из области определения функции
может стремиться к предельной точке	области определения по

различным направлениям, а таких направлений – бесконечное множество. Для функций одной переменной точка может стремиться к предельной точке на числовой прямой только по следующим направлениям: только слева, только справа, слева и справа.

Предел функции двух переменных в точке будет существовать только тогда, когда многочисленные значения пределов по всем возможным направлениям совпадут между собой.

Функция

определена всюду

на плоскости, кроме

прямой

Функция в точке

не определена, но о наличии предела в ней можно

говорить. Выберем направление движения к (0,0) по прямым

(при таком

движении при

и переменная

. Тогда

. При различных значениях углового коэффициента

прямой

получаем различные значения предела. Данный предел не существует.

Функция

определена всюду на плоскости, кроме точки (0,0). Будем

приближаться к (0,0) по прямым

Тогда

Данный предел не существует, поскольку при различных

получим разные

значения предела.

Ответы: 1)13; 2) 16; 3) не существует; 4) не существует.

Пример 4. Найти частные и полные приращения функций: 1)

.
Решение. Частным приращением		функции			по переменной
называется величина			а частным приращением по

– величина			Полным	приращением		называется

величина			, т.е. разность		между	значениями

функций в точках	и		, при	этом	обе точки должны

принадлежать области определения функции. Для первой функции имеем следующее:

Найдём все приращения второй функции:

У второй функции получилось, что полное приращение функции равно сумме её частных приращений. Однако в общем случае такого равенства нет, т.е. Это мы видим при сравнении приращений первой функции.

Ответы: 1) 2)

Пример 5. Исследовать на непрерывность функции примера 4.

Решение. Воспользуемся разностным условием непрерывности. Функция

называется непрерывной в точке	если выполняется
равенство

Полные приращения этих функций найдены в примере 4. Воспользовавшись этим, получим следующее:

Таким образом, обе функции, определённые на всей плоскости, непрерывны в каждой точке плоскости. Графики этих функций представляют собой сплошные, не расслаивающиеся поверхности. Уже упоминалось, что первая поверхность называется гиперболическим параболоидом. Она имеет вид седла. Вторая поверхность есть параболоид вращения (сечениями в координатных плоскостях являются параболы ).

Ответ: Обе функции непрерывны на всей плоскости.

Пример 6. Указать точки разрыва функций 1)		; 2)				;

3) .

Решение: Первая функция имеет единственную точку разрыва – начало координат, а вторая разрывна в точках целой линии прямой . В обоих случаях функции в точках разрыва обращаются в бесконечность.

Третья функция терпит разрыв в каждой точке окружности , при приближении к точкам этой линии значения функции стремятся к бесконечности.


Ответ: 1)	2) точки прямой	; 3) точки окружности			.
Пример 7.	Найти частные производные		и	функций примера 4 на

основании определения частных производных.

Решение: Частные производные первого порядка функции

определяются равенствами

. Воспользуемся

ещё тем, что частные приращения этих функций вычислены в примере 4.

Для функции

имеем

Для функции

имеем

На основании этих результатов можно заметить правило: при вычислении частной производной по одной переменной на другую переменную надо смотреть как на постоянную величину и применять правила вычисления производной функции одной переменной и таблицу производных основных

элементарных функций.
	Ответ: 1)		; 2)		.
	Пример 8. Найти частные производные первого порядка следующих
функций:
5)		.		2)		; 3)	; 4)	;
				2)		; 3)	; 4)	;

Решение: Будем руководствоваться правилом, сформулированным при решении примера 7.

Для соответствующих функций получим следующие результаты:

;

Ответы: 1)

; 2)

;

; 4)

;

Пример 9. Вычислить частные производные первого порядка сложных

функций	1)		; 2)	;	3)	;	4)	;
5)		.
5)		.
Решение: Все функции примера имеют вид							, т.е. являются
композициями			функций			; переменная		является
промежуточным			аргументом.	Тогда	частные производные		вычисляются по

формулам:

, где

есть обычная производная

Функцию

1) можно представить

в виде

, где

. Тогда

Вторая функция представима в виде

, где

. По аналогии с

предыдущими действиями получим, что

Функция 3) представляется в виде

, где

Тогда

Для функции 4) имеем

где

. Так как

, то

Последняя функция представима в виде

, где

. Так

как

то

;

Ответы:

;

Пример 10. Найти производную функции

в точке

направлении вектора

Решение:	Производная	функции	в точке	по

направлению	вектора	вычисляется по	формуле

, где	есть угол, который образует вектор		с осью , а	– с осью

. Из аналитической геометрии известно, что направляющие косинусы вектора

следующим	образом	выражаются	через	его	координаты:
		.

Вычислим по этим равенствам направляющие косинусы заданного вектора

. Так как		, то	,	.
. Так как		, то	,	.
Найдём значения частных производных данной функции в точке					:
	.

Подставляя все найденные значения в выписанную формулу нахождения ,

получим	.		.
получим			.
Ответ:
Ответ:
Пример 11. Найти градиент функции			в точке	.
Решение: Градиентом функции			в точке	называется
двумерный вектор		с координатами	:	.

Отметим основные свойства этого вектора: 1) градиент перпендикулярен к линии уровня функции, проходящей через точку ; 2) в направлении градиента функция возрастает; 3) в данной точке характеризует направление и величину максимальной скорости изменения функции в этой точке, при этом

			.
			.
Очевидно, что градиент заданной				функции	в любой	точке	есть
вектор		. Тогда		в точке		это будет	вектор
	или			,	где	– стандартный базис

двумерного пространства .
	Рекомендуем читателю построить этот вектор и линию уровня функции,
проходящую через точку		.
	Ответ:	.
	Пример 12. Вычислить все частные производные второго порядка функций
1)	, 2)	.
		90

Решение: Частные	производные	вообще говоря, являются снова
функциями переменных	. Дифференцируя каждую из них как по , так и по

, получим четыре частные производные второго порядка. В обозначениях это

будет выглядеть так:					.
При этом производные		и	называются смешанными.		В случае их
непрерывности они будут равны.
Для первой	функции		, а		. Тогда на
основании приведенных		формул			,
.	Очевидно, что имеется равенство			.

Первые частные производные второй функции вычислены в примере 9, при

этом	. Для вычисления вторых производных
	надо применять правило вычисления производных от произведения
функций.	Тогда
,

Так как смешанные производные непрерывны, то снова имеем равенство

.
Ответы: 1)	;

Пример 13. Исследовать на экстремум функции

Решение. Определение экстремума (минимума или максимума) для функции двух переменных аналогично определению экстремума функции одной

переменной. Под окрестностью точки				будем понимать открытый круг
с центром	в	некоторого радиуса	, т.е. множество точек		плоскости,
удовлетворяющих неравенству
удовлетворяющих неравенству
Если	есть точка экстремума дифференцируемой функции				, т.е.

функции, имеющей непрерывные частные производные, то выполняются

равенства	или
	91

Точки , в которых выполняются равенства , называются критическими или стационарными. Такие точки подозрительны на экстремум, однако его может и не быть. То же самое имели для функции одной переменной.


У функции	частные производные первого порядка таковы:
. Единственной стационарной		точкой является точка	.
Экстремума в этой точке нет, т.к.		а в любой окрестности точки
функция принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Теперь исследуем вторую функцию, определённую на всей плоскости. Частные производные первого порядка таковы: т.е. также существует на всей плоскости. Тогда критические точки являются решениями системы

Легко установить, что есть две критические точки, а именно Остаётся выяснить, являются ли они точками экстремума для функции двух переменных.

Пусть функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого второго порядков в некоторой окрестности стационарной точки Введём обозначения: