вычисляется легко, если положить (тогда а .

Действительно Подставляя все аргументы и указанные их приращения в выписанное

приближённое равенство для этой функции, получим

Ответ: 10,02.

Модуль 5. Интегральное исчисление

промежутке, если для всех точек этого промежутка выполняется равенство

Ясно, что такой функцией является функция Для этого читателю надо только вспомнить таблицу производных основных элементарных функций и определение дифференциала.

Пример 2. Вычислить неопределённый интеграл

В этом равенстве интеграл, стоящий справа, часто оказывается табличным; тогда получим ответ, если возвратимся к прежней переменной . В противном случае придётся проводить некоторые преобразования подынтегральной функции от переменной , чтобы получить табличные интегралы.

Этот метод называется методом подстановки или методом замены переменной. При замене переменной часто более удобной оказывается не

.

В случае 4) сделаем подстановку тогда и

.

Для вычисления последнего интеграла применим подстановку ,

подынтегрального выражения, то

Отметим, что все интегралы свелись к табличным. Упрощать новые подынтегральные функции в этих заданиях не пришлось.

Пример 4. Вычислить следующие интегралы:

.

95

должен быть или табличным или легко вычислимым. Часто приходится снова вычислять по частям.

При вычислении таких интегралов нужные обозначения обычно пишут в квадратных скобках.

;

;

.

Может показаться, что при вычислении интеграла 4) выбраны неверные обозначения. Однако это не так. Полученный справа интеграл снова берём по

.

96

Основная формула означает, что определённый интеграл от непрерывной функции по отрезку есть приращение её первообразной по этому отрезку. Поэтому формула является простым и удобным способом вычисления определённых интегралов. При вычислении интегралов от конкретных функций правую часть обычно обозначают символ

Так как все функции примера непрерывны и их первообразные имеются в таблице неопределённых интегралов, то получаем следующие результаты:

Ответы:

Пример 6. Найти площади плоских фигур, ограниченных кривыми, заданными следующими парами алгебраических уравнений:

Решение. Площадь фигуры, расположенной между кривыми, вычисляется по

интеграла первой пишется функция, график которой лежит на отрезке выше.

В обоих случаях сначала надо получить функции, т.е. разрешить уравнения относительно переменной . Очевидно, что в первом случае этими функциями будут , а во втором - .

Приступим к нахождению площади первой фигуры. Решив систему уравнений

97

.

Для нахождения площади второй фигуры надо решить систему уравнений

.

Ответы: .

Пример 7. Исследовать на сходимость следующие несобственные интегралы

Применяя этот способ к заданиям этого примера, получим следующее:

.

98

Проведённые вычисления показывают, что первые два интеграла сходятся, а

3) расходится.

Пример 8. Исследовать на сходимость следующие несобственные интегралы:

.

Решение. Все интегралы являются несобственными интегралами первого рода. Промежутки интегрирования являются бесконечными, а подынтегральная

равенстве был только что вычислен в задании 3), а второй вычисляется по аналогии с интегралом 1) примера 7.

Ответы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) =

(все интегралы сходятся).

Пример 9. Исследовать на сходимость несобственные интегралы второго

ограничена на нём. Будем считать, что имеется особенность только в точке ,

Если выписанный предел справа существует и конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся, в противном случае – расходящимся.

равно . При вычислении предела воспользовались непрерывностью функции

.

Функция 2) также имеет особенность только на правом конце промежутка,

Пример 10. Исследовать на сходимость несобственные интегралы второго