Модуль 1. Множества и отображения

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5725.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

. Таким образом, разложение функции в ряд Маклорена имеет следующий вид: . Искомым членом является

или т.е. имеем ответ 1).

является множество

, являющееся

является множество

, являющееся

неограниченным. Последнее неравенство

выполняется для любых

Пример 1. Найти объединение конечных множеств . Решение. Согласно определению объединения множеств (см. задание 1 текстовых заданий с решением) таковым множеством будет . В него

входят все элементы обоих исходных множеств.

Ответ: объединением заданных множеств является множество {1,2,3,4,5,6}. Пример 2. Указать объединение конечных множеств

Решение. Объединением этих множеств будет множество {1,2,4,6,7}, т.е. объединение совпало множеством

Ответ: {1,2,4,6,7}.

Пример 3. Найти объединение множеств и . Решение. Объединением будет множество {1,2,3,5,7}, т.е. объединение

совпало с множеством .

	Ответ: {1,2,3,5,7}.
	Пример 4. Указать объединение следующих множеств:						и
	Пример 4. Указать объединение следующих множеств:						и
		.
		.
	Решение.	Очевидно,	что	. Действительно, все			элементы
множеств		принадлежат полуотрезку [0,15), при			этом общие элементы
(точки множества (5,10]) входят один раз.
	Ответ: полуотрезок [0,15).
	Пример	5. Найти	объединение	множеств:		интервала	(1,10) и
	Пример	5. Найти	объединение	множеств:		интервала	(1,10) и

интервала (7,12).

Решение: В объединение должны войти точки, принадлежащие либо , либо

. Тогда	. Точка	принадлежит	искомому множеству,
поскольку она является точкой множества		. Точка	принадлежит этому

множеству, так как она принадлежит . Ответ: интервал (1,12).

Пример 6. Найти объединение множеств: и .

Решение. Оба множества являются отрезками. Согласно определению объединения множеств имеем .

Ответ: Отрезок [1,12].

Пример 7. Указать		объединение множеств:		и

	числового луча	.

Решение. Очевидно,		что	Таким образом, объединение

таких лучей (полупрямых) есть вся координатная прямая (числовая ось) .

Ответ:

Пример 8. Найти пересечение конечных множеств

Решение. Согласно определению пересечения двух множеств (см. задание 2


текстовых заданий с	решениями) таким множеством будет множество
. Действительно, это множество состоит из общих элементов
исходных множеств	, т.е. из элементов, принадлежащих как		так и .
Ответ: пересечением заданных множеств является множество {3,6,10}.
Пример 9. Найти пересечение множеств		и	.

Решение. Общим элементом исходных множеств является только один

элемент		. Следовательно,			={5}.
Ответ: {5}.
Пример		10.		Указать пересечения следующих конечных		множеств:
					.
					.
Решение.		Так		как заданные	множества не имеют общих	элементов, то
	, т.е. пересечением является пустое множество.
Ответ:			пустое множество.
Ответ:			пустое множество.

Пример 11. Найти объединение и пересечение следующих бесконечных

множеств: множества нечётных чисел		и множества
множеств: множества нечётных чисел		и множества
чётных чисел	.
Решение.	Очевидно, что	т.е. объединением
является множество N натуральных чисел. Так как общих элементов множества
не имеют, то пересечением является пустое множество.
Ответ:	.
Пример12. Найти пересечение следующих пар множеств:
1)	;
	23

2) 3) 4) 5)

Решение. Все множества являются промежутками. При этом в первых двух


случаях оба	множества	являются отрезками. В первом случае		есть
подмножество	(	, причём	. Тогда очевидно, что пересечением
является отрезок [3,6]. Во втором случае			(отметим, что концы
этого отрезка		принадлежат обоим исходным множеством).

В третьем случае данные множества являются интервалами, причём их общей

частью будет интервал (5,10). Точки		не входят в пересечение, так
как	не принадлежит	.

Вчетвёртой ситуации имеем, что , при этом принадлежит обоим исходным промежутком. Тогда пересечением является полуотрезок (1,3].

Впятом и шестом случаях множества являются числовыми лучами (полупрямыми). В случае 5) имеется только одна общая точка – нуль, тогда

. В ситуации 6) общей точки нет и, следовательно, пересечение есть

пустое множество (

Ответы: 1)[3,6]; 2)[10,12]; 3) (5,10); 4) (1,3]; 5){0}; 6)

пустое множество.

Пример 13. Имеются следующие уравнения и неравенства: 1)

Из множества их решений выделить ограниченные и

неограниченные множества.

Решение.

Множеством

решений

уравнения

является

множество

, уравнения

множество

, а уравнения

множество

. Все эти множества конечны и являются ограниченными.

Множеством

решений

неравенства

является

отрезок

; это

множество ограничено. Множество решений неравенства

есть

множество

, являющееся

неограниченным множеством.

Решения неравенства

принадлежат

отрезку

являющемуся ограниченным множеством. Множеством решений неравенства

действительных чисел, т.е. множеством его решений является неограниченное множество

Ответы: ограниченными являются множества решений уравнений 1), 2), 5) и неравенств 3), 6); неограниченными являются множества решений неравенств 4), 7) и 8).

Пример 14. Указать множество, на которое отображает отрезок – функция .

Решение. Проще всего дать ответ, построив график этой функции, который

имеет вид
			1
-1			1
Рисунок 1 – График функции
Из рисунка 1 видно, что отрезок			отображается на отрезок

Ответ: отображением является отрезок			.

Пример 15. Найти множество, на которое отображает полуотрезок функция

Решение. Обычно есть желание вычислить значения этой функции на концах исходного полуотрезка (в точках ) и исходя из этого сделать вывод. Так поступать нельзя, поскольку функция на этом полуотрезке не является строго монотонной. Построим график функции:

Рисунок 2 – График функции

Из рисунка 2 видно, что отображением является множество [4,8]. Этот отрезок отмечен на оси (исходный полуотрезок (-1,2] отмечен на оси ). Действуя так, как сказано ранее, получили бы неправильный ответ полуотрезок (5,8].

Ответ: отображением является отрезок [4,8].
Пример 16. Выяснить отображение интервала (0,64) функцией	.

Решение. Функция определена на луче (0,+) и является на этом множестве строго возрастающей, причём областью значений (отображение этого луча

функцией) является множество (-		). Вычислим значение этой функции на
концах заданного	интервала:	; кроме того, символически можно
записать	. Так как исходное множество (0,64) открытое (концы не

включены), то отображением будет множество (-	. Построение графика не
понадобилось, но рекомендуем читателю это сделать.
Ответ: отображением является множество (-	.


Пример 17. Найти естественную область определения функции		.

Решение. Так как квадратный корень можно извлекать только из

неотрицательных чисел, то должно

выполняться неравенство

или

Множеством

решений каждого неравенства

является

множество

Ответ: областью

определения

функции является

множество

, т.е. объединение лучей (-

Пример 18. Указать область определения функции

Решение. Должно выполняться строгое неравенство 4-

, так как на нуль

делить нельзя. Множеством решений этого неравенства является интервал (-2,2). Ответ: интервал (-2,2).

Пример 19. Найти какую-нибудь функцию, отображающую отрезок [-1,1] на

отрезок [-	].
Решение.	Такой функцией может быть линейная	функция	,
графиком которой является прямая линия, проходящая через точки (-1,			) и (1, ).
Параметры	искомой функции найдутся из условия	прохождения прямой
через эти точки. Указанное требование приводит к системе уравнений

C неизвестными		сложив равенства, получим			т.е.	; тогда
. Итак, имеем		,	. Следовательно, искомая функция			.
Ответ: отображением отрезка [-1,1]				на отрезок [-	] является функция
.
Пример 20.	Издержки		при	производстве	некоторой	продукции
линейно зависят	от	объёма	(ед.) производства. Известно, что при
			26

издержки составили 10 у.е. (), а при . Найти функцию издержек производства.

Решение. По условию сказано, что функция имеет вид . Параметры найдутся из условия, что график функции проходит через точки (2,10) и (8,20). Это приводит к решению системы уравнений

Решение этой системы такого: . Таким образом функция имеет вид .

Ответ: .

Пример 21. Выписать первые шесть членов последовательностей, общие члены которых заданы следующими аналитическими формулами: 1)

2), 3) .

Решение. Последовательность есть функция натурального аргумента . Областью определения любой последовательности является множество

натуральных чисел		. При	каждом натуральном		число
	есть значение этой функции. Выбирая по порядку расположения
числа из	, будем получать члены конкретной последовательности.
Для	имеем	,
		Следовательно, первые шесть членов таковы: 1, 8,
27, 64, 125, 216.
Обратимся ко второй последовательности				. Напомним, что число
Обратимся ко второй последовательности				. Напомним, что число

(факториал натурального числа ) есть произведение всех натуральных чисел от 1 до включительно, т.е. Так как

то

Тогда первыми шестью членами этой последовательности

являются числа 1,

Числитель третьей последовательности имеет вид . Он представляет собой последовательность, первые шесть членов которой таковы: 1, -1, 1, -1, 1,

-1. Для самой последовательности первыми шестью членами будут,

очевидно, числа 1, , , , , .

Ответ: 1) 1, 8, 27, 64, 125, 216; 2) 1, ; 3) 1, , , , ,

Пример 22. Требуется записать в каком-нибудь виде формулу общего члена каждой из следующих последовательностей:

1)2,4,6, 16, 32, …;

2), …;

3)-, … .


Решение. Очевидно, что из формулы	получаются выписанные члены
первой последовательности. Эта формула издаёт её		общий	член	, если
предполагать, что закономерность последующих членов		(	сохраняется.

Числители второй последовательности пробегают номера n множества N, а каждый знаменатель на единицу больше числителя. Тогда .

У третьей последовательности знаки чередуются. Если знаки относить к

числителям дробей, то числа числителей будут получаться из выражения

Знаменатели этих дробей получаются из выражения

(см. первую

последовательность). Таким образом,

Ответ: 1)

; 2)

; 3)

Пример 23.

Последовательность

задана рекуррентным

соотношением

при заданном первом члене

Найти четвёртый член

этой последовательности.

Решение. Подставив в рекуррентное соотношение

, получим

. Так как по условию примера

то

Положим в

рекуррентном равенстве

; тогда получим, что

Взяв в

рекуррентной формуле

получим

требуемый четвёртый

член

Итак,

Ответ:

Пример 24. Выписать последовательность, у которой

и при

выполняется равенство

Решение: Положим в рекуррентном равенстве

. Тогда

, и так

как по условию

то

Возьмём теперь

тогда

При

имеем

При

имеем

. И так

далее.

Окончательно

получаем

следующую последовательность: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, (каждый её член,

начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих членов, что и дано в рекуррентном соотношении).

Ответ: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .

Пример 25. Выяснить, какие из приведённых ниже функций чётны, какие

нечётны, а какие не являются ни чётными, ни нечётными: 1)

, 2)

, 4)

Решение. Функция

, заданная

на симметричном относительно

нуля

промежутке,

называется

чётной, если

для любого

аргумента

из

этого

промежутка

выполняется равенство

, и

нечётной,

если

. Если ни одно из этих равенств не выполнено, то функция не является ни чётной, ни нечётной (будет функций общего вида). К таким относится большинство функций.

График чётной функции симметричен относительно оси ординат, а нечётной – относительно начала координат. График функции общего вида такими симметриями не обладает. По графику можно судить о принадлежности функции к соответствующему классу.


Пусть каждая из функций	,	– чётная или нечётная. Тогда легко
вывести правила (утверждения)	о чётности или нечётности их суммы			+
, произведения	и	частного	. Например, очевидно

утверждение: произведение двух чётных или двух нечётных функций есть функция чётная; произведение чётной функции на нечётную есть функция нечётная.

Функция определена на луче , т.е. на несимметричном относительно начала координат промежутке. Она является функцией общего вида, т.е. не является ни чётной, ни нечётной.

Функция	определена на всей координатной прямой	, т.е. на
множестве	, которое симметрично относительно нуля. На основании
множестве	, которое симметрично относительно нуля. На основании
свойства	абсолютной величины числа имеем
свойства	абсолютной величины числа имеем
	, что означает чётность этой функции.
	, что означает чётность этой функции.

Все остальные функции этого примера также определены на всей числовой оси. Для третьей функции имеем равенство

которое означает её нечётность; для четвёртой что означает её чётность. Для пятой функции имеем, что

, что не равно ни , ни ; функция не относится ни к чётным, ни к нечётным.

Рекомендуем читателю построить графики всех функций примера.

Для третьей и четвёртой функций можно провести другие рассуждения.

Функция

имеет

вид

, где

есть нечётная функция, а

чётная. Очевидно, что

частное

есть нечётная функция.

Функция

имеет

вид

, где

являются

чётными функциями. Тогда, очевидно, частное будет чётной функцией. Ответы: первая и пятая функции примера являются функциями общего вида,

вторая и четвёртая – чётными, третья – нечётной.

Пример 26. Указать функции, композициями (суперпозициями) которых

являются следующие сложные функции:

, 2)

, 3)

Решение.

Пусть

функция

есть

функция

от переменной

, а

переменная

(промежуточная

переменная) является

функцией

от

переменной

. Тогда функция

от переменной

называется сложной

функцией (композицией или суперпозицией) функции

. Сложная функция

получилась

путём

подстановки

функции

в качестве

аргумента

функцию .

Если

где

, то путём

соответствующих подстановок получим сложную функцию

композицию функций

При этом использовались две

промежуточные

переменные

Первую функцию

можно записать в виде

где

Тогда

, а

;

функция

как

функция

независимой

переменной

такова:

, т. е. является степенной функцией. Итак, первая

сложная функция является композицией функции

Функция

записывается в виде

где

Итак, эта сложная функция есть композиция логарифмической функции

и тригонометрической функции

Третья функция

записывается

с помощью

промежуточных

переменных

следующим

образом:

	Таким образом, функция имеет вид								, т.е.
является композицией трёх функций.					Как функции переменной			они таковы:
,	,			.
,	,			.
Обратимся к последней функции,					которая записывается в виде				, где
и	(					Снова имеем		суперпозицию
трёх функций	, которые			как	функции	переменной	таковы:
Ответ: 1)	,		;		2)	,		; 3)	,
,		; 4)
,		; 4)
Пример 27. Из функций						составить следующие композиции
(сложные функции): 1)					.

Решение. В предыдущем примере при заданной функции выявлялись функции, образующие данную композицию. При этом рассматривались

следующие	композиции:		(двух функций		и	),	(трёх
функций	). В этом примере для двух функций решается обратная задача,
причём будет показано, что важен порядок образования композиций.
Получим	первую	композицию			.	Если	положить
					промежуточной переменной
U. Так как по условию примера				, то		. В эту формулу надо
подставить	(по	условию			). В	результате получим
	, т. е.	.
Для получения композиции				положим		.	Тогда надо
рассмотреть	функцию		промежуточной		переменной . Так как по
условию примера		,	то	. В последнее равенство надо
подставить	(по условию примера				). Получим, что
т.е.
Обратим внимание, что композиции					и	есть	различные
функции.
Ответ: 1)		2)
Пример 28. Из функций			,				образовать
композицию	.
Решение.	Если взять				,	то получим нужную
композицию		.	Так как	по условию
	то получим			.
			31

Ответ: .

Пример 29. Найти обратные функции к следующим функциям: 1)

Решение. Сначала приведем понятие обратной функции и укажем условие её

существования.
Пусть	– действительные переменные, а	являются

соответствующими множествами их изменения. Обычно любым из этих множеств является некоторый промежуток. Промежуток может быть любого


типа,		например отрезок.		Интервал,	какой-нибудь полуотрезок или луч,
(			всё множество вещественных чисел.

	Пусть каждому числу			по некоторому правилу (закону)			поставлено в
соответствие единственное число					. Тогда говорят, что имеется однозначная
функция				. Если множество		есть некоторый промежуток,
то		называют областью определения функции				и записывают	. Если образ

множества

совпадает с

называют

множеством значений этой функции. При этом переменная

называется

независимой (аргументом функции

, а

Если при описанном соответствии каждому

можно по

некоторому

правилу (закону)

поставить в соответствие единственное число

то

говорят, что имеется обратная к

функция

Для

неё

применяют ещё обозначение

. При этом говорят,

что исходная функция обратима. Переменная

является аргументом функции

, числа

являются значениями этой функции. Множество

является её

областью определения, а множество

областью значений.

Если

является обратной для

то функция

будет

обратной для

поэтому

функции

называют

взаимно обратными. При этом будут выполняться следующие соотношения:

Справедливо утверждение: всякая строго монотонная функция (строго убывающая или возрастающая ) имеют обратную.

Условие строгой монотонности является достаточным ( но не необходимым) для существования обратной функции. Обратную функцию могут иметь и нестрого монотонные функции. Однако в утверждении слова «строго монотонная». Легко указать примеры, когда неубывающая (невозрастающая) функция обратной не имеет.

Справедлива ещё следующая теорема: если определённая на промежутке с

областью значений на промежутке		функция	строго монотонна и
непрерывна, то обратная функция		на промежутке	также непрерывна
и имеют ту же строгую монотонность.
Графики функций	и	в системе координат		совпадают.

Но так как принять аргумент любой функции обозначать через , а её значение –

через

то обратную

функцию надо

записать

в виде

Тогда график обратной функции симметрично отразится относительно

прямой

– биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Если функция

задана аналитическим выражением

, то для

получения аналитического выражения обратной функции

надо решить

уравнение

относительно

. Такое выражение

через

не

всегда

существует (не выражается через элементарные функции).

Обе рассматриваемые в примере

функции определены, непрерывны и строго

возрастают на

Для нахождения обратной функции

к функции

разрешим это

уравнение

относительно

(эта

функция и

является

обратной). Её надо записать в виде

. Ясно, что областью определения

является

множество

На

нём

функция

непрерывна

строго

возрастает.

Разрешив уравнение

относительно

получим

(обратная

функция). Сменив обозначения переменных на общепринятые, получим

Функция определена

на всей числовой оси,

при этом непрерывна и строго

возрастает.

Графическое изображение исходных и обратных им функций дано на рисунках 3, 4.

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20226.42 Mб15720.pdf
#
13.11.20226.5 Mб65721.pdf
#
13.11.20226.5 Mб115722.pdf
#
13.11.20226.65 Mб25723.pdf
#
13.11.20226.78 Mб65724.pdf
#
13.11.202212 Mб25725.pdf
#
13.11.2022373.25 Кб358.doc
#
13.11.2022506.88 Кб259.doc
#
13.11.202229.18 Кб16.doc
#
13.11.20221.1 Mб160.doc
#
13.11.2022412.67 Кб261.doc