Сапунов Прогнозирование ползучести и длителноы прочности 2015

Каждая точка одной из сходственно расположенных фигур при равномерном деформировании совпадает с соответствующей точкой другой фигуры(вершина треугольника a1 с вершиной a2 ,

вершина b1 с вершиной b2 и т.д.); каждая линия (например, b1c1 ) одной фигуры совпадает с соответствующей линией ( b2c2 ) другой.

Совпадающие между собой отдельные геометрические элементы объектов (точки, линии, поверхности) называют сходственными.

Очевидно, что две геометрически подобные фигуры, расположенные сходственным образом, можно расположить совершенно произвольным образом путем поступательных перемещений и поворотов одной из фигур. Хотя в этом случае относительное расположение фигур и не является, по определению, сходственным, для соответствующих элементов геометрически подобных фигур - со храняются понятия сходственных элементов.

Для каждой из сходственных точек 1, 2, 3 двух геометрически подобных объектов справедливы соотношения типа

x1 = y1 = z1 = l1 = const , x2 y2 z2 l2

где x, y, z - координаты точек объекта; l - характерные линейные размеры объекта. Отношение l1 / l2 определяет некоторый геомет-

рический масштаб двух геометрически подобных объектов.

Можно утверждать, что геометрическое подобие заключается в сохранении формы объекта при изменении его размеров.

Безразмерные комбинации определяющих параметров, сохраняющие свои численные значения для двух подобных систем(явлений), как уже отмечалось, носят название критериев подобия. Поскольку для двух подобных явлений их безразмерные уравнения тождественно совпадают, эти уравнения могут быть представлены в форме соотношений между критериями подобия.

Безразмерные уравнения, содержащие в качестве переменных величин критерии подобия, носят название критериальных. Критериальные уравнения обладают свойством инвариантности по -от ношению к любым подобным системам, и именно это свойство позволяет широко применять данные уравнения при моделировании процессов (явлений).

71

Моделированием называют такое воспроизведение явления, при котором поля основных для данного процесса физических переменных и поля соответствующих переменных в моделируемом явлении подобны.

3.2. Метрические преобразования аффинной геометрии

Рассмотрим на простых примерах (рис. 3.2, а - г) некоторые типы геометрического преобразования кривых с использованием представлений аффинной геометрии.

пространенным в механике и приводит к разделению переменных. В этом случае x1 = x2 , D = a22 и кривая 1 переходит в кривую 2 :

72

Противоположное АП g б Î g , сжатие (растяжение) кривой 1 к оси y, показано на рис. 3.2, б на примере кривой типа изотермы, характерной для ползучести полимера. Теперь уже y1 = y2 , D = a11 и тогда

приведения переменных вдоль оси x = t , где t - время. В отечественной литературе за таким подходом установилось название“метода аналогий” (МА) или “метода приведенных переменных”. В настоящее время он служит сравнительно устойчивой базой, позволяющей экстраполировать различного рода кинетические процессы для термореологически простых полимеров.

73

Третий вариант аффинного подобия g в , называемый гомотетией или обобщенным подобием, представлен на рис. 3.2, в. Здесь

a11 = a22 и

Именно такое аффинное преобразование используется для -по строения принципиально новой механики, описывающей повторнопеременное деформирование металлов с учетом ползучести.

Четвертый случай (рис. 3.2, г) представляет композицию (про-

получить из старой l1 Î p (кривой 1) с помощью сжатия последней сначала к оси х , а затем к оси у (или наоборот). В этом случае

С позиций теории подобия и моделирования данный случай, по сути, отвечает практически не изученному“нелинейному подобию”. Именно это центроаффинное преобразование будет применяться в дальнейшем.

4. Аффинное подобие первичных кривых деформирования или разрушения одного семейства

4.1. Принцип аффинного подобия первичных кривых деформирования или разрушения одного семейства

Два явления (процесса) будем называть аффинно-подобными, если по обобщенным характеристикам(переменным) одного явления можно получить соответствующие характеристики другого с помощью центроаффинного (метрического) преобразования, которое эквивалентно переходу от одной системы единиц измерений к

74

другой. Отметим, что графическое представление обеих процессов при этом также является аффинно-подобным.

Как пример, рассмотрим вопрос о подобии изотерм долговечно-

янный во времени вектор условий проведения опыта(скел-фактор) x представляется обычно температурой T , однако в роли составляющих скел-фактора могут выступать давление, тип агрессивной среды, величина зерен стали, тип термообработки, интегральный поток или плотность нейтронного облучения и т.п. Отметим, что

корректное описание процесса деформирования или разрушения справедливо при условии " xi Î Wx , где предельная область Wx

внешних параметров опыта xi очерчивается их граничными значе-

ниями, например температурами плавления или стеклования, разрушающими напряжениями или пределами текучести и .т.Дляп построения (выявления границ) такой области требуется проведение соответствующих экстремальных экспериментов.

В приложении к изотермам долговечности суть принципа -аф финного подобия (эквивалентности) такова:

для каждого материала всегда существует такая область WT изменения температуры " Ti Î WT , при которой каждая i-я изо-

терма долговечности может быть получена из любой другой за счет ее центроаффинного преобразования.

Математически данное утверждение можно обосновать, пред-

Здесь x*(x ), y*(x ) - характеристики материала, зависящие от условий проведения опытаx (постоянные в течение каждого

75

i-опыта) и являющиеся случайными величинами;j - функциональный идентификатор закона долговечности, одинаковый для любой из i Î N кривых ( jÎ jˆ , где jˆ - класс положительно опре-

деленных функций).

Кривые длительной прочности, полученные при разных температурах T1 и T 2 , будут иметь вид

ним соотношением F (y )= lg j (10y ). Легко видеть, что изменение

скел-фактора приводит к тому, что трансформируются масштабы кривых длительной прочности по координатным осям, а сам идентификатор j при этом остается неизменным. При этом соответст-

вующие графические образы в логарифмических координатах могут быть получены друг из друга с помощью лишь взаимных поступательных сдвигов. Другими словами, соотношения (4.4) и (4.5) описывают «параллельный перенос» кривых и, тем самым, аффинное подобие кривых трансформируется в их конгруэнтность.

76

Приведем некоторые дополнительные обоснования справедли-

ляется результатом его некоторого преобразования геометрической природы. Наложим на это преобразование условие неизменности «качества процесса» Y1, формализуя его следующим образом:

если z , например, линейная функция, описывающая какой-либо участок кривой длительной прочности,то z¢ по-прежнему является функцией того же качества, т.е. линейной.

Кроме того, это преобразование должно удовлетворять условию

где 1/ x* , 1/ y* - модули подобного преобразования или масштабы, зависящие от C ¢ и, в конечном счете, от x¢ .

1 Третьяченко Г.Н. Теория подобия применительно к вопросам прочности. Киев: Наукова думка, 1978. - 66 с.

77

В дальнейшем соотношения подобия(4.6) будем называть масштабным преобразованием, а метод, использующий принцип аффинного подобия первичных кривых, методом преобразования масштабов. Масштабное преобразование, как и подобное, и аффинное, обладает свойствами непрерывных групп Ли. Одним из следствий этого факта является независимость формы графических образов кривых длительной прочности от двухпараметрического (двумерного) изменения вектора условий проведения опыта x . Из формул (4.7) следует результат (4.1) и, соответственно, вывод о логарифмической совмещаемости кривых длительной прочности.

Принцип аффинной подобия «изокривых» одного семейства постулирует их автомодельность (но не автономность): каждая кривая моделирует любую другую и общим для них является “изофункционализм” или “качество процесса ”.

Приведенные математические обоснования принципа аффинного подобия изотерм долговечности носят достаточно общий характер и позволяют распространить его на другие первичные“изокривые” деформирования и разрушения материала, являющиеся исходной информацией для феноменологического подхода в механике деформированного твердого тела. К таким кривым относятся: диаграммы деформирования и упрочнения, кривые прямой и обратной ползучести, кривые релаксации, мало- и многоцикловые кривые Велера, кривые неньютоновского течения и т.пПараметром, постоянным в течение каждогоi-го опыта (скел-фактором), могут выступать: время, температура, действующие напряжения и циклические добавки к ним, скорость и частота нагружения, внешнее давление и т.п. При этом стоит подчеркнуть, что далее будет рассматриваться только простое(пропорциональное) нагружение, тоже являющееся своего рода “изопроцессом”, связанным с постоянным значением параметра ЛодеLs ( Le ), определяющим тип

напряженного (деформированного) состояния.

Возможность применения принципа аффинной эквивалентности к первичным “изокривым” одного семейства сводится к проверке

конгруэнтности соответствующих логарифмических гомологий при переходе к логарифмическим координатам.

Отметим, что уравнение типа (4.1), постулирующее нелинейное подобие кривых, можно получить с помощью известной P -теоре-

78

мы (теоремы Букингемма - Федермана) классической теории подобия. Именно таким образом подобное соотношение было найдено

для полимеров в предположении, что x* ~ T / T0 , где T0 - темпера-

тура стеклования.

4.2. Частные случаи принципа аффинного подобия кривых

Соотношения (4.4) и (4.5) являются вполне удовлетворительным

ных кривых деформирования или разрушения одного семейства могут быть получены друг из друга с помощью преобразования масштабов по координатным осям (или совмещены друг с другом с помощью только лишь взаимных поступательных переносов). Другими словами, изменение внешних факторов (параметров эксперимента) не меняет идентификатор функции, описывающей рассматриваемый процесс деформирования или разрушения, меняет лишь ее масштабные параметры по обеим координатным осям.

Поскольку рассматриваемое центроаффинное преобразование представляет композицию (произведение) простейших метрических преобразований, связанных с растяжением (сжатием) кривой к осям x или y , они могут рассматриваться как частные случаи.

Действительно, если характеристика x* не зависит от условий

проведения опыта x , т.е. x* = inv (x ), соотношение (4.1) описывает, например, общепринятое подобие (гомотетию) кривых длительной ползучести металлов. В этом случае в соотношении(4.1) возможно разделение переменных:

В логарифмических координатах соотношение(4.8) определяет совмещение “параллельных кривых” с помощью только вертикального сдвига.

79

В механике полимеров большее распространение получил дру-

гой частный случай: y* = inv (x ), известный под названием “метода

аналогий” и упоминавшийся выше. Метод определяет совмещение “параллельных кривых” с помощью только горизонтального сдвига. В этом плане соотношения (4.4) и (4.5) показывают методологическую ограниченность разного рода аналогий(температурно-, на- пряженно-, баро- и т.п. временных), играющих значительную роль в механике полимеров. Ограниченность упомянутых аналогий заключается именно в неоправданном игнорировании вертикального параллельного переноса кривых.

Общепринятые в реологии компромиссные варианты метода, связанные с откорректированными координатами, справедливы только в отдельных случаях. Указанная ограниченность метода аналогий породила неоправданные его усложнения типа введения понятия о «термореологически сложном материале» и т.п., что придает методу громоздкость и ненадежность последующей процедуре экстраполяции.

Отметим, «сложнореологические» тела, не отвечающие методам аналогий, соответствуют рассматриваемому центроаффинному преобразованию.

4.3. Гипотеза «единой кривой» одного семейства кривых деформирования или разрушения

Идея «единой кривой» в учении о прочности впервые, повидимому, была высказана немецким инженером . ПЛюдвиком около века назад, когда автор свел воедино в координатах Треска - Кулона « g max - tmax » кривые упрочнения, построенные для ряда

чистых металлов при разных значениях параметра Лоде.

деформаций) кривые деформирования малоуглеродистых сталей совпадают воедино при различных напряжённых состояниях. Иными словами, в данном случае имеет место «единая кривая де-

формирования».

80