Сапунов Прогнозирование ползучести и длителноы прочности 2015

ем, от условий проведения эксперимента(влажность, температура и т.п.) и ряда других причин.

Ниже приведена методика выбора математической модели реономного поведения материала и прогнозирования с ее использованием ползучести составных клееных деревянных балок при четырехточечном изгибе на базе натурных четырехлетних испытаний.

Методика использует концепцию аффинного подобия первичных кривых ползучести, когда кривые ползучести могут быть получены друг из друга с помощью преобразования масштабов как по оси «время» (что отвечает различного рода«аналогиям» механики полимеров), так и по оси «деформация ползучести» (что соответствует традиционному подобию кривых ползучести металлов).

1

Постановка и результаты эксперимента. Схема испытаний балки на ползучесть при четырехточечном изгибе, типы сечений, номера и названия испытываемых балок показаны на рис. 4.4.

Геометрические размеры балки: длина L = 1200 мм, размеры поперечного сечения b = 40 мм и h = 50 мм; расстояние между опорами балки d = 810 мм. Испытания проводились при постоянной нагрузке P = 500 Н; стрела прогиб балки измерялась на базе l0 = 680 мм.

Рис. 4.4

Типы (I – III) и номера (в скобках) испытываемых балок показаны на рис. 4.4: I (1) – сплошная балка; II (2, 3, 4) – слоистая клееная; III (5, 6) – слоистая клееная армированная.

1 Эксперимент поставлен и проведен в лаборатории механической надежности Университета .г Мец (Франция) под руководством доктора наук Ф. Жодена.

91

Балка типа I склеена по длине из двух частей размером 20 ´ 50 мм и при данной схеме испытания может рассматриваться как сплошная. Балки типовII и III склеены из пяти полос размером 40 ´10 мм, уложенных по высоте. Балки типа III дополнительно армированы двумя слоями стекловолокнистой ткани, показанной на сечении жирными линиями. В качестве связующего для всех трех типов балок применялась фенолформальдегидная смола.

Используемая древесина – ель. Прочностные (упругие) характеристики древесины (модуль упругости E , модуль сдвига G , коэффициент Пуассона n ) приведены в табл. 4.1, где индексы L, R, T

определяют, соответственно, продольное, радиальное и тангенциальное направления упругой симметрии материала.

Как следует из табл. 4.1, упругое поведение рассматриваемой древесины в целом отвечает модели ортотропного тела, поскольку выполняются (с погрешностью до 13 %) классические соотношения между упругими характеристиками:

Здесь nij - коэффициенты Пуассона, равные (без учета знака) от-

ношению деформации сжатия в направлении j к деформации рас-

тяжения в направлении i .

Результаты эксперимента приведены на рис. 4.5, где в координатах «стрела прогиба f - время t » представлены кривые дли-

92

тельной (свыше четырех лет) ползучести всех испытываемых балок; цифры 1 – 6 на рисунке соответствуют номерам балок.

f , мм

2,0

1,5

1,0

0,5

Рис. 4.5

Традиционный подход к прогнозированию длительной ползу-

чести балок. Кривые ползучести исследуемых балок (см. рис. 4.5) подобны, поэтому зависимость стрелы прогиба балки от времени можно представить соотношением

где f 0 (t ) - стрела прогиба балки со сплошным поперечным сечением; e 0 и c 0 (t ) - упругая и реономная составляющие прогиба

этой балки; ki - масштабные коэффициенты, зависящие только от типа слоистой клееной балки. С геометрической точки зрения коэффициенты ki характеризуют традиционное подобие кривых пол-

зучести, которое принято называть сжатием(расширением) к оси t . Их значения, найденные из эксперимента, для номеров балок

1 – 6 составляют: 1 – 1,0 ; 2 – 0,733 ; 3 – 0,703 ; 4 – 0,688 ; 5 – 0,628 ;

93

пунктирной линии) и установившейся (справа от вертикальной пунктирной линии). Участки установившейся ползучести характеризуются постоянными скоростями деформированияvi , пропор-

циональными коэффициентам ki . Статистическая обработка результатов испытаний на требуемом обычно уровне доверия95 % (или уровне риска 5 %) подтверждает наличие прямолинейных участков установившейся ползучести.

Легко видеть, что используемая для металлических материалов процедура прогнозирования ползучести по прямолинейной экстраполяции на периоды упреждения, в 1,5 – 2 раза превышающие продолжительность испытаний, здесь непригодна, поскольку трудно предположить неограниченно нарастающий линейный характер деформирования и соответственно сколь угодно большие прогибы балки. Более того, поскольку древесина является естественным композитом, при умеренных напряжениях следует ожидать затухания ползучести, как это обычно полагают в механике полимеров.

Причина такого противоречия столь уникальных про продолжительности (свыше четырех лет) экспериментальных данных кроется в игнорировании участка неустановившейся ползучести: из рассмотрения исключено начальное экспериментальное«окно», составляющее около 200 сут, что представляется недостатком общепринятого «постадийного» (а не «сквозного») анализа кривых последействия.

Выйти из этого положения можно двумя путями.

Путь первый – введение корреляционного соотношения, связывающего скорость установившейся ползучести с некоторой критической величиной, например со временем до разрушения:

где l1 , l2 - экспериментальные параметры. В русскоязычной литературе для металлов обычно принимают l1 =1 , l2 = 0,01 - 10 , в англоязычной - l1 = 0,77 - 0,93 .

Путь второй – интегральный, не разделяющий кривую ползучести на участки неустановившейся и установившейся ползучести и

94

предполагающий наличие нелинейного (аффинного) подобия кривых ползучести, ранее обнаруженного для кривых усталостной и длительной прочности.

Прогнозирование длительной ползучести деревянных балок с использованием аффинного подобия кривых ползучести. Пред-

ставим реономную составляющую стрелы прогиба балки в форме соотношения:

где, в отличие от уравнения(4.10), фигурируют уже два масштабных коэффициента: ai и bi . Логарифмируя соотношение (4.12) и проводя некоторые преобразования, приведем его к виду

где F0 (x )= lg[c0 (10lg x )] . Полученное соотношение (4.13) иллюстрирует параллельный перенос кривых(4.12) в логарифмических координатах lg c (t )- lg t (рис. 4.6).

На рис. 4.6 приведены экспериментальные кривые ползучести (без учета мгновенноупругих деформаций) в логарифмических координатах для балок 1, 3, 5.

lgc ,

мм

0

- 1

Рис. 4.6

95

Для удобства рассмотрения кривые1 и 3 смещены по высоте: начала координат для этих кривых соответствуют точкам 01 и 03 . Видны единая форма представления кривых и их совмещаемость при параллельном переносе, что легко доказывается в рамках дисперсионного критерия Фишера на требуемом уровне доверия.

Так же, как и на рис. 4.5, на рис. 4.6 проведена вертикальная пунктирная линия, условно разделяющая участки неустановившейся и установившейся ползучести. Можно видеть, что представление экспериментальных кривых в логарифмических координатах -по зволяет описать единой кривой и кратковременную(неустановившуюся), и длительную ползучесть, что делает эти составляющие равноправными в формировании математической модели ползучести.

Поставленная задача прогнозирования ползучести рассматриваемых балок на базе представленных на рис. 4.6 экспериментальных данных требует предварительного решения следующих двух задач:

1)выбора математической модели ползучести, наиболее подходящей для описания данных испытаний;

2)определения параметров, входящих в выбранную математическую модель.

При рассмотрении первой задачи учтем, что ползучесть материалов органического происхождения и полимеров при относительно небольшой нагрузке является физически линейной и проще всего ее можно описать в рамках наследственной теории. Поэтому, не проводя здесь процедуру выбора математической модели, наиболее адекватной эксперименту, из нескольких конкурирующих, ограничимся лишь констатацией результата, состоящего

вследующем. Среди наиболее известных моделей линейной вяз-

коупругости (Ржаницына - Колтунова, Работнова, Кольрауша - Слонимского, Шварцля - Ставермана, стандартного линейного тела и .)др предпочтение отдано дробно-экспоненциальной Эa ( Эr ) - функции Работнова, лучше других подходящей(в смысле среднеквадратичного критерия Гаусса) для описания рассматриваемых экспериментальных кривых ползучести.

96

Дробно-экспоненциальную функцию удобно представить в

где 0 < r £ 1 - параметр дробности (сингулярности) Эr - функции, определяемый так же, как и параметр b ³ 0 из экспериментальных данных; G(nr ) - гамма-функция Эйлера.

С использованием Эr -функции стрелу прогиба балки можно записать в виде:

Здесь ki - масштабный коэффициент, отвечающий традиционному подобию кривых ползучести, определяемый так же, как и параметры ai и bi из экспериментальных данных.

Реономную составляющую стрелы прогиба балки после некоторых преобразований запишем в аффинно подобном виде:

Процедуру определения параметров r , ai ( ai ) и bi ( bi ) дробноэкспоненциальной функции проведем, используя возможности, предоставляемые концепцией аффинного подобия рассматриваемых кривых ползучести.

97

На рис. 4.7 показана номограмма, позволяющая определять значения разыскиваемых параметров дробно-экспоненциальной Эr -функции. Номограмма представлена в осях:

Эr -функции.

Расслоение кривых на номограмме обусловлено дискретизацией параметра r с шагом0,1. Представленную номограмму (шаблон) удобно выполнить на кальке.

Для определения параметраr кальку следует наложить на рис. 4.6 до визуального совпадения одной из кривых номограммы с анализируемой экспериментальной кривой ползучести, применяя лишь процедуру параллельного переноса. Например, кривая r = 0,3 совпадает с кривой ползучести балки1, т.е. значение параметра r

98

для этой экспериментальной кривой определено. Поскольку значения абсциссы и ординаты начала координат номограммы в

сетке опытной кривой ползучести 1 составляют lg a1 = lg(a1 / b1 ) и lg b1 = lg b11 / r , легко находим параметры a1 и b1.

Значения параметров дробно-экспоненциальнойЭr -функции,

полученные по предложенной схеме для всех шести рассматриваемых балок, приведены в табл. 4.2.

Таблица 4.2

b0,020 0,037 0,035 0,030 0,024 0,026

Представленный процесс графоаналитического определения параметров ползучести легко алгоритмизируется и реализуется с применением того или иного критерия адекватности. В частности, использование статистического критерия Фишера с достоверностью 95 % приводит к значениям определяемых параметров, отличающихся от приведенных в табл. 4.2 не более, чем на 15 %.

Поскольку математическая модель (4.16) определяет затухающую ползучесть, легко вычислить предельный прогиб для каждого типа балки:

При получении соотношения(4.17) учтена асимптотическая формула

99

Наконец, с применением соотношения типа (4.11) можно услов-

Необходимые для расчета скорости установившейся ползучести определяются из экспериментальных данных.

Отметим, что балки типа III (клееные, армированные) имеют и меньший предельный прогиб, и меньшее время затухания ползучести, что дает им некоторое преимущество перед балками других типов.

Представленная методика прогнозирования ползучести слоистых клееных деревянных балок при изгибе достаточно проста, позволяет получить некоторые количественные характеристики, необходимые для оценки поведения балок в эксплуатационных условиях, и может быть использована при анализе ползучести других элементов конструкций из материалов органического происхождения и полимеров.

5. Единая кривая длительной прочности жаропрочных сталей и сплавов и ее приложения

Расчет конструкций на длительную прочность проводится, как правило, с целью определения уровня напряжения, при котором гарантированы заданная долговечность или срок работы конструкции до разрушения при заданном уровне напряжений. При этом

100