Никитенко Нестационарные процессы переноса и 2011

скольку соответствующий прыжковый параметр не содержит прыжкового слагаемого 2γa , необходимого согласно модели

Миллера – Абрахамса, сравни (3.16) и (3.13). С учётом этого слагаемого получается, исходя из требования

u = (Etr − E )kT = (Etrans − E )kT + 2γa ,

следующее выражение для характерной прыжковой длины a :

Как показано в разделе 4.3.3 на примере гауссовского распреде-

Рис. 3.7. Температурные зависимости транспортной энергии Etrans для различных величин σ . Сплошные линии показывают результат вычислений согласно уравнениям (3.18), (1.2.3), (3.21). Пунктирная линия вычислена (при σ = 0,1эВ ) в предположении, что обратные прыжки отсутствуют, т.е. Wesc (E′,t) =1 в (3.18а).

γ−1 = 0, 2 нм

На рис. 3.7 представлены зависимости энергии транспортного уровня Etrans от температуры, вычисленные для случая гауссовско-

151

го распределения ЛС согласно уравнениям (3.18), (3.21) для нескольких значений характерной энергетической ширины σ. Видно,

что Etrans < σ в случае σ < 0.1 эВ и T > 200 K, при этом Etrans → 0 в случае высоких температур. Пунктирная кривая показывает положение Etrans , вычисленное без учёта возможности возврата носи-

теля на исходное состояние (Wesc (E′,t) =1), как это было сделано в работе [3:24], где понятие Etrans было введено из других соображе-

ний (как энергия максимума «дифференциальной проводимости», которая характеризует вклад состояний с данной энергией E в общую проводимость), см. кружки на рис. 3.7 и рис. 2 в указанной статье. Последние результаты совпадают достаточно хорошо (в пределах kT при T > 200 К), что подтверждает, что ЛС с энергия-

ми вблизи Etrans вносят основной вклад в транспорт и, таким образом, именно Etrans является аналогом «края подвижности» модели РФВ.

3.4.3. Низкотемпературная энергетическая релаксация

Следует заметить, что в неупорядоченной системе прыжковых центров энергетическая релаксация неравновесных носителей на начальном (после генерации) временном интервале, t < ts , проис-

ходит посредством прыжков вниз по энергии. Как отмечалось выше, при достаточно высоких температурах время сегрегации ts не

превышает значительно характерного времени прыжка по состояниям вблизи транспортного уровня,

переходе к низким температурам, 2γM0−1/3kT / E0 <1, когда транспортный уровень может быть расположен достаточно глубоко, Etrans / E0 >1. В этом случае вероятность возврата носителя после прыжка вниз по энергии с уровня E >> Etrans пренебрежимо мала, и вычисления величин Etr , Etrans и ts согласно уравнениям (3.19), (3.20) значительно упрощаются:

152

где G(E) ≡ ∫E dEg(E) . В случае экспоненциального распределения

−∞

g(E) , см. (1.42), получено

Рис. 3.8. Температурные зависимости транспортного уровня (вверху) и времени перехода от низкотемпературного к термоактивированному режиму релаксации ts (внизу) для нескольких значений энергетической ширины гауссовского распре-

деления ловушекσ , эВ (указаны на рисунке). Сплошные линии – расчёт согласно (3.24), (3.25), пунктирные – согласно методу работы [3:18]. 2γM0−1/ 3 =10

153

Результаты (3.27) и особенно (3.26) близко совпадают с соответствующими результатами, полученными в различных вариантах моттовского подхода к задаче о прыжках с переменной длиной

[1:47, 1:48, 3:22]: EtransMonroe = −3E1 ln(2, 41M01/3 E1 / γkT ) и

tsMonroe =ω0−1 exp(3E1 / kT ) . К последнему выражению ещё более

экстраполирована вплоть до момента t = ts .

Результаты вычислений по формулам (3.24), (3.25) для случая гауссовской функции g(E) , см. (1.84), представлены на рис. 3.8.

Для сравнения пунктирные кривые показывают результаты вычисления Etrans из работы [3:22]. Различие не превышает kT . Следует заметить, что уравнение (3.24), в отличие от метода работы [3:22], не приводит к неправильным (положительным) значениям Etrans

при высоких температурах. Таким образом, на примере экспоненциального и гауссовского распределений ЛС подтверждается правомерность определения величин Etrans и ts согласно уравнениям

(3.24) и (3.25).

3.5. Транспортный уровень и неравновесный прыжковый транспорт

3.5.1. Границы применимости формализма модели многократного захвата к описанию прыжкового транспорта

Основная трудность в построении аналитических теорий прыжкового транспорта связана со значительным количеством случайно распределённых параметров, характеризующих ЛС с индексом λ , см. (1.48). При этом невозможность строгого вычисления в общем

154

случае функций распределения, волновых функций локализованных носителей и фононного спектра вынуждает к упрощающим предположениям и введению феноменологических параметров, см. например (1.59). Строго говоря, число заполнения данного состояния fλ определяется не только его энергией, но и локальной кон-

фигурацией (окружением) данного состояния. Однако в ряде практически важных случаев возможно упрощённое описание прыжковой релаксации и транспорта посредством усреднённой по локальным конфигурациям функции заполнения ЛС f (E,t) или распре-

деления локализованных носителей ρ(r, E,t) = f (r, E,t)g (E). Эти

функции зависят только от энергии состояния E и времени (и, вообще говоря – от макроскопических координат r ). Данный подход не противоречит результатам теории протекания постольку, поскольку рассматривается перенос носителей заряда на расстояния, много большие, чем масштаб микроскопической неоднородно-

стиrc0 [1:5].

Теоретические модели, в которых пространственно-временная эволюция неравновесных носителей заряда описывается усреднёнными функциями, зависящими от энергии, времени и, вообще говоря, макроскопических координат (можно назвать их макромоделями) широко и успешно применялись для анализа энергетической релаксации и транспорта носителей заряда [1:47, 48; 3:22, 23, 27]. В данных работах учитывалось, что длины прыжка (точнее, величины 2γr ) до ближайших соседей разбросаны в широких пре-

делах (проводимость с переменной длиной прыжка, или r − E протекание [1:4, 5]). Альтернативный подход состоит в учёте возможности прыжков с данного ЛС лишь на z ближайших соседей, находящихся на определённом расстоянии a [3:1, 30]. Такой подход оправдан наличием ближнего порядка и сильной локализации. Однако недиагональный беспорядок может быть следствием как анизотропии волновой функции локализованного носителя, так и отсутствия ближнего порядка в расположении ЛС (молекулярнодопированные полимеры) [3:4; 1:14].

155

3.5.2. Уравнение неравновесного транспорта

Макро-подход положен в основу теоретической модели прыжкового транспорта, развитой в работах [3:27, 28], что позволяет применять уравнения модели МЗ с ограничениями, указанными выше. Предполагается, что характерная частота ухода локализо-

ванного носителя зависит только от энергии ЛС. Эта частота ω(E)

определена исходя из условия, что среднее число соседних ЛС, на которые носитель может со значительной вероятностью совершить прыжок с исходного состояния и не вернуться обратно, достигает

единицы в течение интервала времени ω(E )−1 (см. раздел 3.4.2).

Как можно видеть из (3.17а) и (1.24), последнее эквивалентно уравнению

т.е. для носителя, занимающего ЛС с энергией вблизи Ed (t ), к мо-

менту t появляется в среднем одно доступное для прыжка и притом «невозвратное» состояние. Из уравнений (3.14), (3.16) и (3.29) следует:

Ed (t) = Etr − kT ln(ω0t) = Etrans − kT ln(ν0t) , Ed (t )> Etrans , (3.30)

аналогичная результату модели многократного захвата, причём энергия Etrans аналогична краю подвижности.

Как уже упоминалось, при t > ts быстрота процесса ограничена термоактивированными прыжками на ЛС с энергиями E ≈ Etrans с

более глубоких ЛС. Именно к последнему случаю применима концепция транспортного уровня и, в частности, уравнение (3.30). По-

ρ(x,t, E), заметим, что в случае, когда характерная энергия энергетического распределения ЛС E0 значительно превышает тепловую

156

энергию kT , подавляющая часть носителей заряда при условии

t >> τ0 локализована на ЛС с энергиями E << Etrans . Заполнение таких ЛС происходит преимущественно путём прыжков вниз по

энергии (с состояний вблизи Etrans ), аналогично модели МЗ.

Рассмотрим процесс прыжкового транспорта носителей заряда при наличии приложенного электрического поля напряжённости F0 , применяя уравнения, аналогичные уравнениям (1.18)–(1.20)

где D0 = a2 6τ0 , a – характерная длина прыжка, см. (3.22), (3.23).

Очевидно, что уравнение (3.31) эквивалентно уравнению непрерывности (1.18), записанному согласно модели МЗ, а также модели РФВ, причём функция N0 (x,t) аналогична введённой в модели МЗ

плотности свободных носителей (плотности носителей в проводящих состояниях), а D0 – аналог коэффициента диффузии носите-

лей в проводящих состояниях. В уравнениях (3.31), (3.32) τ0 – это

характерное время прыжка между состояниями с энергиями вблизи транспортного уровня, в соответствии с определением величины

μ0 = (e / kT )(a2 / 6τ0 ) .

Состояния с энергиями E < Etrans в дальнейшем будем называть

ловушками, поскольку их роль в процессе транспорта аналогична ловушкам в модели РФВ, хотя, будучи прыжковыми центрами, они ничем не отличаются от «проводящих» ЛС с энергиями

E > Etrans .

Сравнивая системы уравнений (1.18)–(1.20) и (3.31)–(3.33), следует заметить, что в последних уравнениях транспортный уровень

157

Etrans зависит от температуры, в отличие от края подвижности EC из раздела 1.4.2. Однако эта зависимость достаточно слаба при условии 2γM0−1/3kT / Eo >1 (так, в случае гауссовского распределения

g (E) изменение Etrans не превышает 0,025 эВ, то есть kT при комнатной температуре, при σ < 0,1эВ и 200 К<T<300 К). Следует

добавить, что именно при не слишком низких значениях температуры можно пренебречь временным интервалом низкотемпературной релаксации, t < ts .

Согласно методу, описанному в разделе 1.4.2, используем разделение ловушек на мелкие и глубокие. Приближённые решения для мелких и глубоких ловушек, соответственно, имеют вид

ρsh (x, E,t) = gsh (E,t)exp((Etrans − E) / kT )(N0 (x,t) / M0 τ0ν0 ), (3.34)

где No (x,t) = ∫dt No (x,t ) , как и в разделе 1.4.2, а плотности мелких

0

и глубоких ловушек gd (E,t) и gsh (E,t) определяются уравнениями

(1.26).

Выполнив интегрирование по энергии в уравнениях (3.34), (3.35) и используя (3.33), нетрудно получить связь (1.27) между

функциями N (x,t) , N0 (x,t) и N0 (x,t) (разумеется, в (1.28), (1.29), под EC в данном случае надо понимать Etrans ).

Точность приближения можно повысить, учтя слабую неравновесность заселённости мелких ловушек. Для этого следует выразить ρ(x, E,t) из уравнения (3.33), в котором под знак производной

по времени следует подставить ρsh (x, E,t) из уравнения (3.34). В итоге в уравнении (3.35) появляется дополнительное слагаемое,

158

t >> θ1 (t) / θ2 (t) . Появление конечного нижнего предела в уравнении (3.46) связано с тем обстоятельством, что для глубокого «хвоста» мелких ловушек, имеющих энергииE < Ed (t) , для которых Wd (E,t) ≈1 , отклонения от квазиравновесности нельзя считать ма-

лыми, поэтому использовано приближение (1.23). Интегрирование по времени уравнения (3.31) (при этом в по-

следнем пренебрегается диффузионным слагаемым, согласно типичным условиям времяпролётного эксперимента) приводит к следующему уравнению:

(3.31), (3.35), (3.36) и (3.38), получаем уравнение для плотности носителей заряда N (x,t) в условиях неравновесного транспорта,

Слагаемое в правой части (3.39а) описывает задержку носителей на глубоких ловушках в условиях неравновесного транспорта, μ(t) – контролируемая ловушками подвижность, которая в нерав-

новесном режиме убывает со временем за счёт увеличения средней энергетической глубины захваченных носителей. Уравнение (3.39а) отличается от (1.31) диффузионно-подобным третьим слагаемым в правой части, которое появилось вследствие отличия (3.36) от (1.30). Зависящий от времени коэффициент стимулированной по-

лем диффузии (СПД)

соответствует дисперсии, которая пропорциональна напряжённости F0 и намного превышает дисперсию, создаваемую обычной

диффузией, при обычных для времяпролётного эксперимента значениях напряжённости поля и температуры. Нетрудно показать, что с учётом обычной диффузии в уравнении (3.40) вместо DF (t)

будет присутствовать коэффициент полной диффузии Dt (t) = D(t) + DF (t) . Стимулированная полем диффузия была ис-

159

следована в работах [3:33, 34] для предельного случая квазиравновесного транспорта, когда её коэффициент принимает (в пределе больших времён) постоянное значение. Это возможно в том случае, если g(E) убывает быстрее экспоненциальной функции.

Приняв момент генерации носителей заряда в данном материале за начало отсчёта времени, t = 0 , следует заметить, что

Wd (E,0)=1, т.е. все ловушки являются глубокими. С течением времени, по мере установления термодинамического равновесия, Wd (E,t )→ 0 для любой энергии E . Таким образом, τ(t ) является неубывающей, а θ1 (t ), θ2 (t ) и λ(t ) – невозрастающими функциями времени. Из уравнений (1.28), (3.37), (3.40) следует, что μ(t ) и DF (t ) являются, соответственно, убывающей и растущей функ-

циями времени.

Сделав в уравнении (3.39) оценку ∂N / ∂t N / t , легко видеть, что при условии (1.39), т.е. при достаточно малых временах, оно переходит в уравнение сильно неравновесного транспорта (1.40), см. раздел 1.4.3 (на начальном временном интервале вкладом СПД в дисперсию можно пренебречь).

В предельном случае больших времён λ(t) → 0 , μ(t) →μeq и DF → DFeq (если плотность ловушек убывает с энергией быстрее

экспоненты). Уравнение (3.39) в этом случае описывает квазиравновесный транспорт. Стимулированная полем диффузия в этом случае обсуждается в следующей главе.

Надо заметить, что явление аномальной диффузии известно не только в случае переноса носителей заряда в неупорядоченных полупроводниках и диэлектриках. Аналогичное явление имеет место, например, при просачивании жидкости в пористых средах (коэффициент диффузии пропорционален квадрату скорости). Обзор математических методов и результатов исследования аномальной дисперсии частиц в неупорядоченных средах (преимущественно для одномерных моделей) можно найти в работе [3:35].

160