Никитенко Нестационарные процессы переноса и 2011

c энергиями меньше E , в то время как основной вклад в ток вно-

сят носители, занимающие намного более мелкие состояния с энергиями вблизи Etrans . Можно привести также примеры (прямоугольное энергетическое распределение ЛС), когда времена teq _ μ и teq _ D

практически совпадают, так что квазидисперсионный режим отсутствует, см. раздел 5.4.

Следует заметить, что уравнение (3.39) описывает все указанные выше режимы переноса, т. е., в порядке убывания степени неравновесности – дисперсионный, квазидисперсионный и квазиравновесный режимы (уравнение (3.39) может описать и переход к

равновесному режиму, если заменить DF (t ) на коэффициент полной диффузии, D(t )= D0θ1 (t )+ DF (t )). Оно включает сильно не-

равновесный (дисперсионный) и квазиравновесный режимы как предельные случаи при малых и больших временах, соответственно. Можно назвать его уравнением неравновесного транспорта. Очевидно, проявления неравновесности носителей заряда значительно шире, чем эффекты дисперсионного транспорта. То обстоятельство, что квазидисперсионный режим переноса имеет признаки, характерные для обоих предельных случаев, в некоторой степени разрешает противоречия в интерпретации экспериментальных результатов ВПМ для некоторых модельных полимеров (например, поливинилкарбазол), когда транспорт характеризуется то как сильно неравновесный [1:13], то как квазиравновесный [1:14].

4.4. Диффузия, стимулированная переменным полем

Полученные выше уравнения, описывающие неравновесный транспорт (см. (3.39), (4.18)), справедливы не только в случае постоянного электрического поля F0, но и в том случае, если его на-

пряжённость F (t ) достаточно медленно изменяется со временем:

характерное время его изменения ω−1 больше, чем характерное время установления квазиравновесия teq _ D . В противном случае

стимулированная полем диффузия имеет ряд особенностей, которые исследованы в данном разделе для двух предельных случаев –

181

квазиравновесного ( t > teq _ D ) и сильно неравновесного ( t < teq _ μ )

транспорта. В последнем случае о стимулированной полем диффузии можно говорить потому, что значительная дисперсия, превышающая дисперсию от обычной диффузии, может возникать без сдвига «центра тяжести» распределения носителей. Следует заметить, что условие

где thop ≈ v0−1 = ω0 exp(2γa) – характерное время прыжка между проводящими состояниями, предполагается выполненным в данном параграфе, что не исключает из рассмотрения случая ωeq _ D >1 ,

поскольку thop teq _ D .

4.4.1. Режим квазиравновесного транспорта

В этом случае ( t > teq _ D ) в уравнении (3.39б) можно считать

θ1 (t )≈ θ1 (∞)≡ θ , θ2 (t ) ≈ θ2 (∞) ≡β и λ = 0 . Энергетическое распределение ловушек считаем достаточно глубоким для реализации условия N0 (x,t ) N (x,t ) . Вместе с тем, быстропеременность по-

ля приводит к тому, что ∂N0 (x,t )∂t нельзя, вообще говоря, считать малой величиной в сравнении с ∂N (x,t )∂t . Из уравнений

(3.31), (3.33) получено следующее уравнение для полной плотности носителей [4:11]:

182

локализовано на ловушках. Следовательно, N (x,t ) ≈ N (x,t ), где

угловые скобки означают усреднение на временном интервале от t до t +trel . Выполняя такое усреднение в уравнении (4.27), получим

Этот предельный случай известен как полевая диффузия, или СПД. В обратном случае достаточно высоких частот, ωtrel 1 ,

F (t ) = 0 и расплывание пакета носителей происходит, согласно

(4.26), без заметного сдвига его «центра тяжести». На освободившийся носитель действует поле со случайной фазой, поэтому прыжки носителей на соседние ЛС в обе стороны оказываются равновероятными. В случае осциллирующего поля с амплитудой

F0 , F (t )= F0 cos(ωt ), из (4.27) получена не зависящая от времени

результат (4.28) с заменой F0 на «действующее значение» F0 2 . Физический механизм СПД особенно нагляден в случае моноэнер-

длина lF близка к амплитуде колебаний носителя в переменном

183

поле, lF ≈ μ0 F0 ω (предполагается, что амплитуда превышает сред-

поля практически не отличается от его мгновенного значения,

F (t ) ≈ F (t ), а коэффициент СПД, строго говоря, зависит от времени, см. (4.29). Центр тяжести пакета x(t ) колеблется с часто-

той ω, а его дисперсия растёт вследствие стохастического разброса времён освобождения носителей с ЛС, т.е. работает механизм полевой диффузии. Однако при выполнении условий

μ0 F0 ω x ωωt (ω2 + ωt 2 ) μ0 F0t и t (θωt )(ω2 + ωt 2 )ω2 ос-

цилляциями x(t ) и DF (t ) можно пренебречь, и коэффициент DF также определяется формулой (4.30).

Результаты, полученные для случая осциллирующего поля, показывают, что СПД является доминирующим по отношению к обычной диффузии механизмом расплывания пакета носителей при условии достаточно высокой напряжённости поля и низких темпе-

ратур: F02 > 2kT (ωt eμ0 )(1 + ω2 ωt 2 ).

В рассмотренном случае координатное распределение носителей заряда представляет собой гауссовский пакет с дисперсией

жет быть исследована специально поставленными времяпролётными экспериментами с использованием зависящего от времени поля

В этом случае следует ожидать появления зависящей от частоты

Экспериментальное исследование диффузии, стимулированной переменным полем, может быть полезно для выяснения механизма

184

электропроводности в конкретном материале и уточнения транспортных параметров.

4.4.2. Режим сильно неравновесного транспорта

По причине быстропеременности величины N0 (x,t ) (см. начало

раздела 1.5.1) уравнение N0 (x,t )≈ ∂∂t τ(t )N (x,t ) , применимое

в режиме СНТ в случае постоянного поля, следует уточнить следующим образом:

N0 (x,t ) ≈ dτ(t )dt N (x,t )+ τ(t ) ∂N (x,t )∂t −∂N0 (x,t )∂t . (4.34)

Решив уравнение (4.34) относительно N0 (x,t ) и используя

(4.35а) является эквивалентной формой записи уравнения в приближении СНТ (1.40) (имеет то же решение (1.41)). В случае поля

F (t ), определяемого формулой (4.32), из (4.35б) при условии dτ(t )dt 1 получаем

В случае F0 = 0 (осциллирующее поле) пространственная дисперсия носителей зависит от времени по закону

На начальном (после импульса генерации) интервале времени решение N (x,t ) уравнения (4.35) в условиях времяпролётного экс-

185

(4.37), d (t )≈ (1 2 )μ0 FV τ(t ), превышает (при условии ωτ(t ) 1 ) аналогичную величину, создаваемую обычной диффузией в дисперсионном режиме, dT (t )= 2(kTμ0 e)τ(t ) (в случае экспонен-

циально распределённых ЛС, τ(t ) (v0t )α ). Однако, как следует из (4.37), при ωτ(t ) 1 СПД практически не даёт вклада в расплывание пакета носителей: d (t )≈ (μ0 FV ω){ln ωτ(t) }12 . Следует заме-

тить, что численная величина дисперсии может быть довольно значительной. Так, при FV =104 Всм, ω =106 с−1 , μ0 = 0,1 см2 В с и

ωτ(t ) 1 получаем d (t )≥10 мкм.

Таким образом, при низких температурах путём изменения частоты либо амплитуды переменного поля можно управлять толщиной слоя носителей заряда, генерированных в образце. Следует заметить, что приведённые выше формулы не исчерпывают полностью частотную зависимость коэффициента СПД вследствие сла-

бой степенной зависимости μ0 ωS , s 1, которая обусловлена прыжковым характером транспорта в неупорядоченной среде [1:5].

186

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЙ ТОК В УСЛОВИЯХ ВРЕМЯПРОЛЁТНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

5.1. Переходный ток при неравновесном транспорте

При условии t θ1 (t)θ2 (t) уравнения (2.13) и (4.18) приводят к следующей формуле для переходного тока:

Результат вычислений по формулам (2.13), (4.18) значительно упрощается, если в интеграле (2.13) заменить нижний предел на

−∞ , что справедливо в случае F0 M (t,0) 4πD (t,t′) 1 (это не

исключает t ttr ), то есть когда при x = 0 концентрация близка к 0.

Надо заметить, что именно при этом условии и справедливы приближения, лежащие в основе уравнения (3.39), поскольку диффузионноподобный член в этом уравнении есть лишь способ описания дисперсии носителей заряда, возникающей в процессе их дрейфа в неравновесных условиях.

Практически важным является также случай генерации носителей однородно по объёму слоя ( N0 – начальная концентрация), ко-

торый реализуется при облучении быстрыми электронами в экспериментах по нестационарной радиационной электропроводности [1:13]. В том же приближении получено [3:28]

187

На рис. 5.1 показано хорошее количественное согласие результатов счёта переходного тока по приближённой формуле (5.6) (пунктирная кривая) и согласно уравнениям (5.1) (сплошная линия), а также качественное согласие с результатом эксперимента (линия с кружками) и численного моделирования (чёрные кружки).

t, MKC

Рис. 5.1. Временные зависимости переходного тока в условиях времяпролётного эксперимента. Сплошная кривая – результат вычислений из уравнения (5.1), пунктирная кривая (почти сливается со сплошной) – приближённая формула (5.6), линия с кружками и точки представляют результаты соответственно эксперимента и численного моделирования [1:14]. Штрихпунктирные линии показывают способ определения времён t0 и t1 2 , σkT = 3,5 , T = 312 К

Данные времяпролётного эксперимента и результаты численного моделирования были приведены в работе [1:14] Надо заметить, что применимость уравнения (5.6) ограничена по времени сверху

величиной (2 ÷3)ttr . Послепролётная асимптотика j(t) описывается уравнением (2.15б), в котором τ(t) определяется уравнениями (1.23), (1.26), (1.29). Величиной, непосредственно измеряемой в

189