Красников Моделирование физических процессов с исползованием 2012

3.4.4. Граничные условия

Граничные условия могут быть пяти типов. Рассмотрим каждый из них (рис.3.23).

Рис. 3.23. Граничные условия для системы уравнений акустики

Sound hard boundary. Аналог стены. На границе с таким условием нормальная компонента скорости равна нулю. Следовательно, и производная по нормали от давления также обращается в ноль:

∂∂npG = 0.

Sound soft boundary. «Мягкая» стена. Давление на такой границе равно нулю.

Pressure. На границе задаётся давление в явном виде. Режим доступен только для временного гармонического анализа.

Normal accelerarion. Нормальное ускорение. Представляет внешний источник звука. Условие можно использовать в мультифизическом режиме, с режимом строительной механики.

81

n − ρ10 ( p − qG) = an .

Режим доступен только для временного гармонического анали-

за.

Impedance boundary condition. Обобщение случаев «мягкой» и «жёсткой» стены.

где Z – акустическое входное сопротивление внешней области. С физической точки зрения, это соотношение между давлением и нормальной компонентой скорости. Режим доступен только для временного гармонического анализа.

Radiation condition. Данное условие задаёт проходящую через границу волну. Существует три типа волн: плоские, цилиндрические и сферические (только в 3D-геометрии) (рис. 3.24).

Рис. 3.24. Форма для задания граничного условия проходящей через границу волны

Общий вид граничного условия:

82

где k – волновое число, а κ(r) – функция, задающая вид волны. В зависимостиоттипа волны, функцияможет принимать следующие виды:

κ(r) = 0 – плоская волна.

κ(r) = 21r – цилиндрическая волна.

κ(r) = 1r – сферическая волна (доступна только в трёхмерной

геометрии).

В последних двух случаях r=r(x,y,z) – кратчайшее расстояние до источника.

Выбрать волну можно в выпадающем списке Wave type. Помимо этого необходимо заполнить следующие величины:

p0 – давление – амплитуда источника, nk=(nx,ny) – направление волны,

r=r(x0,y0,z0) – точка, в которой находится источник сферической волны, или через которую проходит ось цилиндрической волны.

3.4.5.Пример задачи на распространение звука. Акустика реактивного глушителя

Решим задачу распространения звука в реактивном глушителе. Подобный глушитель представляет собой бесконечно длинную трубу со специальной камерой, представляющей собой цилиндр большего диаметра. Схема глушителя изображена на рис. 3.25.

На левый канал подаётся звуковая волна, которая проходит через камеру и выходит через правый канал. Одной из основных величин, характеризующих качество глушителя, является его звукопоглощающая способность Dtl:

83

где Wi – средняя по времени мощность входящей звуковой волны, а Wt – мощность выходящей волны. Данная величина рассчитывается по формуле:

W = ∫I 2πrdr,

где I – интенсивность излучения звуковой волны, рассчитывающаяся выражением

Теоретическое значение звукопоглощающей способности рассчитывается по формуле:

где S1, S2 – площади поперечного сечения канала и камеры соответственно, k – волновое число, L – длина камеры. Таким образом, решив задачу, мы сможем сравнить точность решения FEMLAB с аналитическим значением.

Откроем навигатор моделей, выберем в поле Space dimension размерность пространства Axial symmetry (2D). Далее выберем прикладной режим Comsol multiphysics->Acoustics- >Time-harmonic analisys (рис. 3.26).

Итак, перед нами область с аксиальной симметрией, для удобства ось симметрии прочерчена красной штрихпунктирной линией. Особенность аксиальной 2D-геометрии состоит в том, что построенная область будет образовывать фигуру вращения вдоль этой оси. Таким образом, конечная фигура будет трёхмерной, а рисовать область следует только с одной стороны оси вращения. Вместо осей X, Y в этом режиме используется система координат R, Z.

84

Построим треугольники со следующими диагоналями (координаты

R-Z):

R1: {(0;0) (0,3;1)};

R2: {(0;1) (0,6;3)};

R2: {(0;3) (0,3;4)}.

Рис. 3.27. Константы для задачи

В итоге, геометрия задачи должна иметь вид согласно рис. 3.28.

Рис. 3.28. Геометрия задачи реактивного глушителя

Зададим коэффициенты уравнения (Subdomain settings). Выделим одновременно все три области и укажем для них следующие значения (рис. 3.29):

86

1, 3, 5 – Axial Symmetry. Эти границы соответствуют оси вращения, поэтому на них задаётся условие симметричности.

8–12 – Sound hard boundary (wall). Стенки глушителя.

2, 7 – Radiation condition. Через эти границы будет проходить звуковая волна. Для границы 2 укажем значение амплитуды давления p0 равным 1.

Далее, добавим в таблицу Scalar Expressions следующие выражения:

В этих выражениях мы использовали неопределённые величины W_in, W_out. Чтобы задача могла быть запущена, необходимо определить их. Для этого вызовем пункт меню Options- >Expressions->Boundary Expressions. В списке Boundary selection

выберем границу 2 и укажем следующие значения:

I_in real(conj(p0)*p0)/(2*rho_air*c_air)

Затем в списке Boundary selection выберем границу 7 и укажем следующие значения:

I_in

I_out real(conj(p)*p)/(2*rho_air*c_air)

Далее откроем пункт меню Options->Integration coupling vari- ables->Boundary variables. В списке Boundary selection выберем границу 2 и введём следующие значения:

P_in I_in*2*pi*r

88

Затем списке Boundary selection выберем границу 7, и укажем следующие значения:

P_in

P_out I_out*2*pi*r

Задача готова к решению. Зададим сетку качества Finer и откроем окно Solver parameters. Выберем параметрический реша-

тель (Parametric). В поле Parameter names введём значение freq, а

в поле Parameter values укажем массив значений range(0,5,200). Наконец, откроем окно Physics->Scalar variables, и в первой

строчке в поле Expression введём freq.

Запустим решение. Полученное решение будет иметь следующий вид (рис. 3.31).

Рис. 3.31. Визуализация решения. Распределение давления в реактивном глушителе

Теперь осталось сравнить полученную звукопоглощающую способность глушителя с теоретической. Для этого вызовем пункт меню Postprocessing->Domain Plot parameters. На вкладке General выберем все частоты из списка Solutions to use. Включим

89

флажок Keep current plot. Затем перейдём на вкладку Point. Выберем точку 1 в списке Point Selection. В поле Expression укажем D_tl. Нажмём Apply, и график будет построен.

Чтобы сравнить полученные значения с аналитическими, необходимо построить два графика одновременно. Для этого введём теперь в поле Expression значение D_tl_analytical. Чтобы новый график отличался от старого, откроем окно Line settings. Выберем в выпадающем списке Line Color значение Color, выберем синий цвет, а тип маркеров (поле Line marker) укажем Square. Нажмём Apply, и перед нами появится следующий график (рис. 3.32):

Рис. 3.32. Сравнение аналитического и теоретического значений звукопоглощающей способности глушителя

90