Морозов Введение в теорию горячей плазмы Част2 2013

Γ = −∫VD0C1 sin2 dθd3V = − 12 ∫vD0 C1d3V =

При малых частотах столкновений этот интеграл можно преобразовать с помощью соотношения, известного из теории обобщенных функций:

Таким образом, в области плато коэффициенты диффузии и теплопроводности не зависят от частоты столкновений,

Заметим, что, в отличие от классической диффузии, коэффициент диффузии в области плато неодинаков для электронов и ионов, поэтому скорость диффузии будет определяться наименьшим из электронного и ионного коэффициентов. Это не относится к коэффициенту теплопроводности. Поэтому перенос тепла по ионному каналу будет существенно выше переноса тепла по электронному.

Режим Пфирша–Шлютера.

При увеличении частоты столкновений плазма переходит в гидродинамический режим, так называемый режим Пфирша– Шлютера. В этом режиме столкновения приводят к тому, что исчезает разница между запертыми и пролетными частицами. Параллельная скорость у частиц имеет порядок тепловой скорости и слабо зависит от полоидального угла. Смещение частицы от магнитной поверхности при этом составляет в среднем величину ∆ = qρ

81

([8], (3.20)). Тогда коэффициент диффузии можно оценить по обычной формуле:

Эта величина в q2 раз больше классической величины и не за-

висит от сорта частиц. Таким образом, в режиме Пфирша– Шлютера диффузия снова оказывается автоматически амбиполярной.

Характер коэффициента переноса показан на рис. 12.

Рис. 12. Зависимость неоклассического коэффициента диффузии от частоты столкновений

Вреальном токамаке коэффициенты диффузии и теплопроводности для ионов могут всего лишь в несколько раз превосходить неоклассические. Для электронов же эти величины могу отличаться на один–два порядка.

Внастоящее время не существует общепризнанной теории аномального переноса в токамаке. Поэтому для расчётов используют как численные расчёты на основе гирокинетического уравнения, в котором произведено усреднение обычного кинетического уравне-

82

ния по ларморовскому вращению, так и различные эмпирические модели.

Для оценки глобального энергетического времени удержания тепла τE применяют так называемые скейлинги. Хорошей эмпири-

ческой формулой для токамаков с невысокой плотностью плазмы является скейлинг Мережкина–Муховатова (скейлинг Т-11):

qa = q(a), HT – тороидально магнитное поле. Время измеряется в

секундах, радиусы – в сантиметрах, плотность – в см-3, магнитное поле – в гауссах. Этот результат близок к теоретической формуле Кадомцева–Погуце для электронной теплопроводности:

ωpe qR

или близкой к ней формуле Окавы, которая не содержит фактора ε = a / R . Основное отличие состоит в том, что формула (5.2.21)

содержит множителя Ai0.4 , то есть не включает так называемого

«изотоп-эффекта», наблюдаемого экспериментально. Заметим, что неоклассические коэффициенты переноса даже растут с увеличением атомного номера рабочего газа, что противоречит эксперименту. Теоретические модели, основанные на нелинейном рассмотрении баллонных мод, то есть мод, связанных с «выпячиванием» магнитных поверхностей, аналогичном выпячиванию наружу надуваемой велосипедной камеры, дают правильную зависимость коэффициентов переноса от атомного номера рабочего газа [4, 6].

Эмпирические скейлинги для ИТЭР учитывают значительное увеличение времени удержания, когда мощность нагрева превосходит некоторую критическую величину, так называемый L-H (lowhigh) переход. Для L-режима скейлинг ИТЭР выглядит так:

83

Здесь τE измеряется в секундах, ток I – в MA, магнитное поле

H – в Tл, полная вводимая в плазму мощность Р – в МГДж, R и a – в метрах, n – в м-3 n – средняя по объему плотность в м-3. Величина k характеризует вытянутость сечения токамака в вертикальном направлении.

Существует и ряд других, менее общих, скейлингов.

ГЛАВА 6. ИЗЛУЧЕНИЕ ПЛАЗМЫ

Большую роль в тепловом балансе плазмы может играть её излучение. В горячей области, особенно в случае использования сильных магнитных полей, существенный вклад в энергобаланс вносит циклотронное излучение.

Не менее существенную роль может играть и тормозное излучение, которое может стать особенно существенным при переходе от реакции на смеси дейтерия и трития к реакции D+3He . Эта реакция хороша тем, что её продуктами являются только заряженные частицы, обычный гелий и протон, которые удерживаются магнитным полем, и реактор не требует мощной радиационной защиты. Однако эта реакция должна протекать при значительно более высокой температуре, чем реакция D+T, и тормозное излучение может стать весьма значительным.

В плазме, помимо ионов водорода, присутствует также небольшое количество ионов примесей. Обычно их доля составляет не более нескольких процентов от числа ионов дейтерия, но они лишь частично ионизованы, и их линейчатое излучение может давать определяющий вклад в энергобаланс, а также приводить к различным неустойчивостям. Линейчатое излучение наиболее интенсивно в периферийной зоне, однако оно может приводить к нарушению глобального равновесия и устойчивости.

Кроме того, будет слегка затронуто и рекомбинационное излучение, которое не играет столь определяющей роли, как другие виды излучения, однако в некоторых случаях его учёт может быть важным.

84

6.1. Циклотронное и тормозное излучения

Циклотронное излучение отдельной нерелятивистской заряженной частицы в магнитном поле может быть вычислено по формуле

где d – вторая производная по времени от дипольного момента системы зарядов d = ∑Zirie (ri – радиус-вектор i-го заряда). Для

i

отдельного электрона, вращающегося в магнитном поле, можно написать

Подставляя второе из этих соотношений в (6.1.1) и усредняя по распределению Максвелла, получаем для интенсивности излучения единицы объема

рактерное время высвечивания этого энергосодержания. Для оценки времени высвечивания всей энергии положим H = 5T и полу-

чим τ ≈10−1 с. Такие потери очень велики. Однако плазма в токамаке непрозрачна для такого излучения вследствие резонансного поглощения γ -квантов. Поэтому для интегральных потерь за счёт

циклотронного излучения, выходящего через поверхность, вводят множитель Φ:

а γ – неоднородность магнитного поля.

Излучение ультрарелятивистского излучения имеет весьма своеобразный характер. Спектр его содержит множество гармоник

85

циклотронной частоты (рис. 13), а излучение остро проходит вдоль направления скорости.

Рис. 13. Спектр (качественный) излучения ультрарелятивистского электрона

Тормозное излучение, в отличие от циклотронного, имеет сплошной спектр. В условиях термоядерного синтеза излучением ионов можно пренебречь. Характерная частота этого излучения по порядку величины может быть определена как ω ~Te / m . Интен-

сивность излучения при торможении электрона на голом ядре, выраженная в смэрг3с , описывается формулой

Здесь z – заряд ядра, а температура измеряется в электронвольтах. Излучение иона с зарядом z, имеющего электронный остаток, может описываться той же формулой, если электрон не проникает глубоко в электронную оболочку.

6.2. Линейчатое и рекомбинационное излучения

Несмотря на то, что концентрация примесей обычно не превышает нескольких процентов от концентрации основной плазмы, она может играть определяющую роль в энергобалансе и устойчивости

86

благодаря тому, что линейчатое излучение не полностью ионизованной примеси оказывается весьма существенным.

Линейчатое излучение при плотностях плазмы, характерных для токамака и стелларатора, обычно можно рассчитать в корональном приближении. Для этого должны выполняться следующие условия:

а) характерное время ионизации наиболее представленного при данной температуре иона должно быть существенно больше времени жизни возбужденного состояния: τion >> τex ;

б) время между столкновениями электрона с ионом примеси должно быть много больше τex .

В данном приближении можно сначала вычислить распределение примесей по ионизационным состояниям, а затем просуммировать излучение от отдельных ионизационных состояний. При этом полагают, что излучение свободно выходит из плазмы. В таком приближении считается, что возможны только переходы между соседними ионизационными состояниями, то есть заряд иона может меняться только на единицу:

Здесь nz – концентрация ионов с зарядовым номеромz ; Rz и Iz – скорости рекомбинации и ионизации соответственно. Во всех

приведенных ниже формулах для скоростей процессов температура и энергия ионизации измеряются в электрон-вольтах. При этом считается, что основным механизмом ионизации является ионизация электронным ударом. Скорость такой ионизации из основного состояния определяется выражением

Фотоионизацией в корональном приближении пренебрегают. В противоположном случае локального термодинамического равновесия (ЛТР) считается, что существует равновесие между процессами фотоионизации и фоторекомбинации, а для расчёта степени ионизации пользуются формулой Саха. Однако этот случай мы рассматривать не будем, так как в токамаках и стеллараторах эта ситуация реализуется крайне редко.

87

Рекомбинация в рассматриваемом нами случае может быть трёх типов: фоторекомбинация, трёхчастичная рекомбинация и диэлектронная рекомбинация. Для того чтобы одновременно выполнялись законы сохранения импульса и энергии, в процессе должны участвовать как минимум три частицы. В случае фоторекомбинации это ион, электрон и фотон. В случае трёхчастичной рекомбинации в процессе принимают участие два электрона и ион. Один из электронов захватывается ионом, а второй уносит избыток энергии, оставаясь свободным.

Диэлектронная рекомбинация происходит следующим образом. Сначала электрон захватывается в виртуальное состояние, в котором энергия связанного состояния превосходит энергию ионизации. Далее возможны два процесса. Первый – это когда захваченный электрон снова переводится в свободное состояние. Второй – если захваченный электрон остается захваченным, а избыток энергии высвечивается в результате каскада переходов электрона из возбужденного состояния в основное.

Скорость фоторекомбинации определяется в интервале Te z2 < 400 эВ следующим приближенным выражением:

Скорость диэлектронной рекомбинации вычисляется по довольно сложному правилу и зависит от многих характеристик плазмы и примеси. Однако для лёгких примесей можно пользоваться приближенным выражением

Константы в этой формуле, зависящие от сорта примеси, приведены в работе [7]. Диэлектронную рекомбинацию, как правило, следует учитывать в термоядерной плазме.

88

Трёхчастичная (three body) рекомбинация в плазме токамака c лёгкими примесями играет существенную роль лишь при температурах не выше одного-двух эВ и описывается формулой

Рекомбинационное излучение начинает играть определенную роль в том случае, когда линейчатое излучение уже довольно слабо, а тормозное ещё не слишком важно. Его интенсивность определяется выражением

Встационарном случае (корональное равновесие) можно вычислить распределение примесей по её зарядовым состояниям, положив в уравнении (6.2.1) производную по времени равной нулю. Заметим, что в реальной плазме всегда существуют флуктуации, которые несколько смещают концентрации зарядовых состояний от их стационарных значений на величину, которая в предельном случае может составлять величину порядка тридцати процентов. Здесь мы, однако, не будем учитывать этот эффект.

Встационарном случае концентрация ионов с зарядом z зависит

только от заряда и электронной температуры: nz = nz (Te ) . Величину nz можно вычислить аналитически, однако это имеет смысл

лишь про малых z. В противном случае выражения получаются чрезвычайно громоздкими. Интенсивность излучения при этом сводится к произведению плотности электронов, суммарной плотности примеси

уровня энергии иона j на уровень i, Cijz – частота таких переходов. Эта частота может быть вычислена по формуле

89

Здесь i – исходный уровень, j – возбужденный уровень, Enjtr – энергия перехода, fij – сила осциллятора, gij – гаунт-фактор, кото-

рый зависит от отношения энергии перехода к температуре, атомного номера и изменения главного квантового при переходе. Очень грубая аппроксимация дает gik ~ 0,2. Во многих случаях можно

принимать во внимание только переходы в основное состояние. Тогда хорошая аппроксимация в области температур, типичных для токамака, 1 эВ < Те < 10 КэВ имеет вид

Lz (Te ) = ∑L0z− j =

Результаты расчётов для излучения отдельных ионов Lz (Te )и

полного излучения примеси в корональном равновесии, отнесённого к одному иону примеси и к одному электрону (удельного), приведены на рис. 14 и 15.

Рис. 14. Удельная мощность излучения иона с зарядом z в зависимости от температуры

90