Морозов Введение в теорию горячей плазмы Част2 2013

ющих этому решению, являются цилиндрические поверхности, простирающиеся вдоль оси z′ от −∞ до +∞ . В этой области ч а- стицы удерживаться не могут.

б) ψ = 0 . В этом случае одно из решений представляет собой

точку в центре, а другое – эллипсоид, который является сепаратрисой, отделяющей замкнутые магнитные поверхности от разомкнутых.

Рис. 2. Сечение магнитных поверхностей сферомака плоскостью

ζ = const

в) ψ'> 0. Геометрическими местами точек, соответствующих

этому решению, является система вложенных тороидальных поверхностей. Эта область – область удержания плазмы.

Поверхность ψ'=1 вырождается в кольцо, соответствующее магнитной оси системы.

11

На рис. 2 представлено сечение системы поверхностей плоско-

стью ζ = const .

Итак, первым этапом расчёта системы для магнитного удержания плазмы является расчёт равновесия плазмы в магнитном поле. Уравнение Шафранова–Грэда – это статическое нелинейное уравнение. Во-первых, оно может быть обобщено на случай вращающейся плазмы. Во-вторых, оно нелинейное и, следовательно, допускает не единственное решение при одних и тех же граничных условиях.

1.2. Равновесие плазмы в токамаке

Ближе всего к параметрам термоядерного реактора в настоящее время находится токамак. Поэтому рассмотрим равновесие в такой системе подробно. Конфигурация его представляет собой тор с сильным продольным магнитным полем, вдоль которого течёт ток. В цилиндрическом приближении магнитные поверхности представляют собой коаксиальные цилиндры с постоянным радиусом. При свёртывании цилиндра в тор магнитные поверхности будут торами, оси которых будут смещены относительно магнитной оси. Рассмотрим такую тороидальную систему в приближении малой тороидальности. Отношение малого радиуса тора r к большому радиусу R обычно обозначают через ε . Будем рассматривать токамак в пределе малой тороидальности ε <<1. Сечение магнитных поверхностей плоскостью ζ = const в такой системе будет представ-

лять систему вложенных слегка вытянутых окружностей со смещёнными центрами. Будем считать, что эти сечения мало отличаются от окружностей радиуса r.

Для описания магнитных поверхностей введём новую систему координат r, ϑ, ζ . Старые цилиндрические координаты будем

называть r ', ζ, z . Удобно выбрать новую систему координат так,

чтобы поверхности r = const совпадали с магнитными поверхностями. Радиус поверхности r = const будем называть малым радиусом в отличие от большого радиуса R, равного расстоянию от центра сечения данной поверхности до оси симметрии тора (рис. 3).

12

Пусть R0 – большой радиус магнитной оси системы. Тогда центр магнитной поверхности радиуса r будет удален от оси симметрии тора на расстояние

Рис. 3. Квазицилиндрическая система координат

Введем точку А на окружности r = const . Радиус r ' точки А в старой системе координат в новой системе координат выражается следующим образом:

Угол α = ϑ+ δ показан на рис. 3. В случае малой тороидальности он мало отличается от азимутального угла ϑ. Тороидальное магнитное поле в этом случае можно представить как

Азимутальное магнитное поле в том же приближении может быть представлено в виде

где Λ(r)– параметр асимметрии, зависящий от распределения тока и давления.

13

В новой цилиндрической системе координат квадрат элемента

Здесь dxi – контравариантные компоненты вектора dl, gik – метрический тензор, отличные от нуля компоненты которого с точностью до ε имеют вид

Действительно, подставив это выражение в (1.2.11) и разделив на H (3) , находим

14

В этой системе координат, как уже указывалось, силовые линии являются прямыми и описываются выражениями

Ковариантные и контравариантные компоненты магнитного поля имеют вид

15

Составляющая H(3) будет содержать еще малую добавку δH(3) к

R0H0 , возникающую из-за азимутального тока. В результате электрический ток выражается следующим образом:

Подставляя ток в уравнение равновесия в нулевом по ε приближении получаем

Эта величина называется смещением Шафранова.

ГЛАВА 2. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ОПИСАНИЮ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ

Рассмотрим общие подходы к проблеме устойчивости. Один из таких подходов – метод малых возмущений. Вначале рассматривается равновесие плазмы. Затем вводится малое отклонение от этого равновесия. Если при этом малое возмущение нарастает со временем, такое равновесие является неустойчивым.

В этой главе мы рассмотрим два метода анализа устойчивости: метод малых возмущений и энергетический принцип. Оба рассмотренных здесь метода имеют ограниченные области применимости. В одножидкостном приближении они позволяют анализировать довольно широкий класс желобковых и винтовых мод, весьма важный при анализе устойчивости тороидальных систем. С другой

16

стороны, за рамками рассмотрения оказываются возмущения, связанные с разделением зарядов, такие, как ленгмюровские моды, а также коротковолновые возмущения. Последние требуют кинетического описания. Заметим также, что метод малых возмущений может быть развит и в многожидкостной гидродинамике, и в кинетике.

2.1. Метод малых возмущений

Метод малых возмущений мы будем рассматривать в гидродинамическом приближении Брагинского [2]:

Умножая уравнения (2.1.1) и (2.1.2) на массы электронов и ионов соответственно и суммируя два этих выражения, получаем уравнение непрерывности для плазмы как целого:

Сложим уравнения (2.1.3) и (2.1.4). Пренебрегая вязкими членами, получаем

17

нении (2.1.3). Ток j можно выразить через электронную и ионную скорости:

J = ne(Vi – Ve). (2.1.8)

Полагая, что скорость электронов не слишком велика по сравнению со скоростью ионов (это предположение не всегда справедливо), можно положить также V ≈ Vi .

Для анализа таких гидродинамических неустойчивостей, как винтовая неустойчивость в токамаке, которые развиваются за времена, много меньшие времени между столкновениями, можно пренебречь столкновениями, то есть силами трения между электронами и ионами. В этом случае уравнение (2.1.3) примет вид

Левую часть уравнения (2.1.10) можно оценить как mτi n V, где τ – характерное время развития неустойчивости, а её отношение к

последнему члену в правой части – как (ωHi τ)−1. Здесь ωHi = eH – mic

ионная ларморовская частота. Таким образом, для процессов, характерное время развития которых много больше ионной ларморовской частоты, левую часть уравнения (2.1.10) можно положить равной нулю.

Сравним теперь первый и последний члены в (2.1.10). Для первого члена можно сделать такую оценку:

Последний член в правой части (2.1.10) можно оценить следующим образом:

18

Здесь ρi – ионный ларморовский радиус. Если отношение макроскопической скорости плазмы к её тепловой скорости достаточ-

но велико (оставаясь малым по сравнению с единицей), V >> ρi , vTi a

то в уравнении (2.1.10) можно пренебречь также и градиентом давления. В результате получаем

К материальным уравнениям необходимо добавить уравнения

В последнем уравнении опущена производная по времени от электрического поля, то есть полученная система уравнений не описывает такие быстрые процессы, как распространение радиоволн в плазме.

Как всегда в методе малых возмущений, ищем все величины в виде суммы, не зависящей от времени невозмущенной величины и

малой добавки, H = H0 + H1; P = P0+P1; ρ = ρ0 +ρ1 ; E = E1; V = 6. Мы предположили, что невозмущённые значения скорости и элек-

трического поля равны нулю.

19

Удобно ввести смещение элемента плазмы V = dtd ξ ≈ ∂∂t ξ . По-

следнее равенство получено в первом порядке теории возмущений путем отбрасывания квадратичного по возмущению члена. Уравнение (2.1.25) теперь перепишется следующим образом:

Окончательно, подставляя полученные выражения в уравнение (2.1.23), получаем уравнение второго порядка для ξ:

20