Морозов Введение в теорию горячей плазмы Част2 2013

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

W* ~ ∫dr f (r)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2022

Размер:

1.9 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Выразим это условие устойчивости через параметр β =					8πp	.
Выразим это условие устойчивости через параметр β =					(H0ze )2	.
					(H0ze )2
Условие			равновесия при (H0ze )2 >> (H0θe )2	принимает вид
8πP +(H0zi )2		= (H0ze )2 , что можно переписать так:
β+	(H0zi )2		=1.		(3.3.27)
β+	(H0ze )2		=1.		(3.3.27)

Выражая правую часть неравенства (3.3.26) через β, получаем

условие устойчивости
m	1	−β	≥ 0,	(3.3.28)

2		−β
что в пределе β <<1 дает
m ≥ 2.				(3.3.29)

Это означает, что моды m −1 и m = 2 неустойчивы, остальные – устойчивы.

В реальных тороидальных системах величина kz ограничена снизу, kz ≥ 2Lπ = R1 , где L и R – длина окружности и большой ра-

диус тороидальной системы.

В бесконечном цилиндре наиболее неустойчива мода с kz = k* .

В случае цилиндра с отождествленными концами на

налагает-

ся ограничение

≥

, и если

k <

, то наиболее неустойчивой

оказывается мода с

. Для этого случая при

m = ±1, β <<1

условие (3.3.24) можно переписать как

2πRρ

ω =

± a H0ze .

(3.3.30)

(H0ze )2

Плазма устойчива, если положительна правая часть этого равенства,

q	≡	H z	a	>1.
		0e
		H0θt R
	a	H0θt R

Это условие называют условием Крускала–Шафранова, а величину qa – коэффициентом запаса устойчивости Шафранова.

Данное условие несколько модифицируется, если плазменный цилиндр окружён бесконечно проводящей стенкой при r = b. В этом случае дисперсионное уравнение превращается в следующее:

a 2m

4πρ0ω =(kz H0i )

kz H0e +

H0e

−

(H0e )

(3.3.31)

1−

При удалении бесконечно проводящей стенки на бесконечность дисперсионное уравнение переходит в уравнение (3.3.24). При приближении стенки к границе плазмы система становится устойчивой.

3.4. Неустойчивость шнура с распределённым током

В реальных токамаках ток распределен по радиусу. Поэтому перейдем к рассмотрению устойчивости плазмы с распределённым током. Воспользуемся для анализа вариационным принципом (2.2.16). Для удобства приведем его снова:

W =	1	∫d3r γP0 (divξ)2 +				1	(rot[ξ,H0 ])2	+
W =	2	∫d3r γP0 (divξ)2 +				4π	(rot[ξ,H0 ])2	+
	2					4π
+(ξ, P0 )div				1
			ξ −		([ξ,rotH0 ],rot[ξ,H0 ])				+
			ξ −	4π	([ξ,rotH0 ],rot[ξ,H0 ])				+
				4π

	1			1		∂			2	2
+	1	∫d3r(H1e )2	−	1	∫dSξn2	∂	P0	+	H0i − H0i .
+		∫d3r(H1e )2	−	2	∫dSξn2		P0	+	H0i − H0i .
	8πV			2	s	∂n				8π
		e

Напомним, что все равновесные величины зависят только от ра-

диуса r , H0r = 0.

Для устойчивости функционал W должен быть неотрицательным. Покажем, что первый и третий члены в сумме всегда неотри-

цательны. Для того чтобы вычислить работу плазмы при возмущении, умножим возмущенное давление (3.1.30) на divξ:

W1 = (γP0 (divξ)2 +(ξ, P0 )divξ).

(3.4.1)

Пусть плазма сжалась, divξ < 0, а давление увеличилось, P1 > 0 . При этом работа W1 , совершённая внешней силой над плазмой, по-

ложительна, то есть γP0 (divξ)2 +(ξ, P0 )divξ ≥ 0. В случае расширения плазмы divξ < 0, P1 ≤ 0, а величина W1 ≥ 0 по-прежнему.

Таким образом, первый и третий члены в выражении (2.2.16) в сумме неотрицательны. Поэтому наиболее опасными являются несжимаемые возмущения, для которых divξ = 0.

Два последних интеграла в выражении (2.2.16) обращаются в ноль, так как объём вакуума равен нулю, а смещение плазмы на твёрдой границе также зануляется.

Итак, функционал (2.2.16) значительно упрощается:

∫{

(

)}

−

[ξ,rotH ],Q

(3.4.2)

8πV

где Q = rot[ξ,H0 ]. Второй член в фигурных скобках преобразуется следующим образом:

([Q,ξ],rotH0 )= ξr [rotH0,Q]

+Qr [ξ,rotH0

] .

(3.4.3)

С учётом этого выражение (3.4.2) будет выглядеть как

∫{

}

2 −

Q [ξ,rotH

]

−ξ

[rotH

,Q]

(3.4.4)

8πV

Компоненты вектора Q имеют вид:

Qr = ( ,ξr H);

(3.4.5)

Q = (H

, )ξ

+ ξ

Hθ −

∂Hθ

;

(3.4.6)

∂r

Qz = (H, )ξr

−ξr

∂Hz

(3.4.7)

∂r

Вычислим теперь второй член в формуле (3.4.4).

Qr [ξ,rotH0 ]r ≡ Qr ;

Xr = div(ξr H0 );

Xr = div(ξr Xr H0 )−ξr (H0, Xr )r .

ЗдесьX =[ξ,rotH0 ]. Окончательно получаем

Qr Xr = div(Qr Xr H0 )+ ξr [rotH0,Q]r −

−ξ2

∂H

0θ

−

∂r

∂θ

Функционал W теперь принимает вид

W =

d3r

+ ξ

8π ∫

0θ

+ Qθ + ξr

+ H0θ

− 2

0θ +

θ0

(3.4.8)

(3.4.9)

(3.4.10)

Интеграл от дивергентного члена свёлся к интегралу по поверхности и выпал, так как смещение на жёсткой границе обращается в ноль.

Подставим rotH = 4π j в условие равновесия

[j,H] .

P +

= −

dHθ

+ 2 Hθ

(3.4.11)

8π

В этом случае функционал W принимает вид

W =

d3r Q2

Q + ξ

8π ∫

0θ

+ Qθ + ξr

+ H0

(8πP + H02z ) .

(3.4.12)

интеграл

входят

только две независимые функции: ξr и

U =[ξ,H]. Представим эти функции в виде гармоник:

ξr

= a(r)sin(mθ+ kz );

(3.4.13)

U = b(r)cos(mθ+ kz ).

Тогда компоненты вектора Q выразятся через ξr

и U как

m H

0θ

+ k

acos(mθ+ k

z);

= −

b+ H

+ a sin(mθ+ k

z)−ξ

rot

;

0θ

(3.4.14)

1 dU

dξ

rotθH0 −

r +

r dθ

− H0z

sin(mθ+ kz z).

Интеграл

(3.4.12)

содержит

члены,

пропорциональные

sin2 (mθ+ kz ),

cos2 (mθ+ kz ) и sin(mθ+ kz )cos(mθ+ kz ). При инте-

грировании члены вида sin2 (mθ+ kz )

и cos2 (mθ+ kz ) дают множи-

тель

π , а члены, пропорциональные sin(mθ+ kz )cos(mθ+ kz ), за-

нуляются. Постоянный множитель при минимизации функционала не важен, поэтому можно написать

W ~

∫

+ H0

−

kzb

b− H0z

1 d

(8πP0

+ H0z )

H0θ + kz H0z

(3.4.15)

r dr

Величина b входит в функционал алгебраически. Поэтому его можно минимизировать, просто приравняв производную от подынтегрального выражения к нулю. Отсюда находим

	kz H0	a	−	da	+	m	a	+	da
	kz H0	θ	−		+	r	H0z	+
b =		r		dr		r	r		dr	.	(3.4.16)
b =			kz2 +(m / r )2							.	(3.4.16)
			kz2 +(m / r )2

Подставим это выражение в (3.4.15):

∫

kz H0z

+(m / r )

kz2

H0θ − kz H

(8πP0 + H0z )+ r kz H0z +

H0θ

r (kz +(m / r

+(kz2H02z r2 − m2H02θ )

kz r

+ m

0)z2 )2 a2 +

(3.4.17)

Последний член можно проинтегрировать по частям, учитывая, что a(r0 ) = 0; H0θ (0) = 0. В результате находим, что функционал W*

представляется в виде

Здесь

f =

H0z +

H0θ

;

+ m

g = r kz

H0z +

H0θ

−

+ m

2 2

dP0

k2H 2

kz r

8π

+ m

(3.4.18)

− mr22 H02θ .

Легко видеть, что задача свелась к принципу наименьшего действия в механике для одномерного движения материальной точки. Роль действия играет функционал W* . Уравнение, аналогичное

уравнения Эйлера, имеет вид

d		da
	f		= ga .	(3.4.19)

dr		dr

Очевидно, что наиболее опасными возмущениями являются те, для которых минимален первый член под интегралом в формуле

(3.4.18), то есть

kz H0z + m H0	θ = 0.	(3.4.20)
r

Это винтовые возмущения, вытянутые вдоль силовой линии. Но H0z и H0θ зависят от радиуса. Поэтому условие (3.4.20) может

выполняться лишь на некоторых, так называемых резонансных поверхностях. Уравнения силовых линий на магнитной поверхности

r = const	имеет вид 2πz − h(r)θ = const . Здесь h =	2πrH0z	= 2πRq ,

		H 0θ

q – коэффициент запаса устойчивости. При целочисленном q шаг

силовой линии кратен периоду эквивалентного цилиндра. Вблизи резонансной силовой линии с шагом h0 приближенно

h ≈ h0 + 2πr dqdr x, где x – отклонение от рациональной поверхно-

сти.

Рассмотрим наиболее простой случай m >>1. Функции f и g будут выглядеть так:

f =

dq x

;

q dr

(3.4.21)

2 dlnq

g =

8πrP′+ 4H

+ m

H0z

Два последних члена в g малы как x и x2 и могут быть отброшены. Функционал W в этом случае упрощается:

W = const

∫

da 2

+ ηa

(3.4.22)

dx x

8πr

Здесь η =

, штрих означает производную по r.

H0z P0′ rq′

Уравнение Лагранжа для этого функционала имеет вид

= ηa ,

(3.4.23)

а его решение

a = C1xν1 +C2xν2 ,

где ν = − 1		±	1 + η	. Если	− 1	< η< 0, то ν – действительное от-
1,2	2		4		4
	2		4		4

рицательное число, и оба решения расходятся в нуле. Если η > 0,

одно из решений расходится в нуле, а второе нарастает к периферии, то есть не удовлетворяет граничному условию a(r0 ) = 0. Это

означает, что в обоих случаях возмущения не развиваются и плазма устойчива.

Пусть теперь η< −1/ 4. В этом случае решение, удовлетворяющее граничным условиям


a(x) = x−1/2		η+	1		,

	sin			lnx
			4

сильно осциллирует в нуле, модель требует уточнения, и вопрос об устойчивости требует дальнейшего изучения.

В связи с этим рассмотрим модельную задачу. Введем безразмерную переменную y = x / xa , где xa – координата некоторой

условной границы, достаточно далёкой от рациональной поверхности. Граничные условия будут иметь вид ξ(y = ±1) = 0. Домножим

dξ

функционал W = const∫

+ ηξ

dy > 0 на положительную

−1

ddy

величину ∫1

ξ2dy :

−1

dξ

> 0.

(3.4.24)

∫ y

dy∫ξ

dy +η ∫ξ

−1

С помощью неравенства Буняковского

(3.4.25)

∫

f12dx∫ f22dx ≥

∫ f1 f2dx

для первого члена в левой части неравенства (3.4.24) можно написать неравенство

1	2	dξ 2	1	ξ	2		1	1	dξ2 2		1	1	ξ	2	2	(3.4.26)
∫ y			dy∫	ξ		dy ≥	2	∫ y	dy	=	4	∫	ξ		dy .	(3.4.26)
−1		dy	−1				2	−1	dy		4	−1

Мы проинтегрировали правую часть неравенства (3.4.24) по частям. Заменим первый член этого неравенства на меньший с помощью неравенства (3.4.26) и получим необходимое условие устойчивости:

1			1		1		4rP′		1		rq′
		+ η	∫	ξ2dy ≥ 0, или η≥ −	4	, или −	0	≤				q	.	(3.4.27)
	4								4β
							P			z
			−1				0

Здесь βz = 8πP20 .

H0z

Полученный критерий устойчивости называется критерием Сайдема. Заметим, что в системах для удержания плазмы P0′< 0.

Поэтому при нулевом шире, S ≡ rqq′ = 0, любой спадающий про-

филь неустойчив.

3.5. Винтовая неустойчивость в системах типа «токамак»

Рассмотрим теперь винтовую неустойчивость применительно к установке типа «токамак». В токамаке тороидальное поле (в случае цилиндра с отождествленными концами поле в направлении оси z) существенно превышает полоидальное, H0z >> H0θ . Плазма зани-

мает центральную часть цилиндра, r ≤ a . Вакуум занимает область a < r ≤ b. Следовательно, в энергетический принцип должен включать энергию поверхности и вакуумной области. Энергия поверхности имеет вид

WS ≈ ∫

∂

H 2 − H 2

ξn

0i − P0

dS .

∂n

8π

Из условия равновесия P =

[j,H] имеем:

P +

+ Hθ

= −

Hθ

8π

4πr

(3.5.1)

(3.5.2)

На границе «плазма–вакуум» полоидальное магнитное поле непре-

	d		2	2
рывно, производная	d	P +	Hz	+ Hθ	также непрерывна, то есть
	dr			8π

P + Hiz

+ Hθ

Hez

+ Hθ

≡

(3.5.3)

8π

dr 8π

Подставляя (3.5.3) в (3.5.1), находим, что

= 0.

(3.5.4)

Вычислим теперь вклад We от вакуумной области:

= const ∫(H1 )2d3r .

(3.5.5)

В вакуумной

области

магнитное

поле

можно

представить

как

градиент

скалярной

функции

H1 = − ψ ,

∂ψ 2

1 ∂ψ 2

∂ψ 2

∂z

. Разлагая ψ в ряд Фурье по θ и z ,

∂r

r ∂θ

получаем

= const∫b rdrdθdz∑∑ei(m+m′)θei(kz +kz′ )z ×

m,k m′,k′

∂ψm,k

+ k

∂ψm′,k′

m′

+ k′

m,k

m′,k′

∂r

При интегрировании по θ и

остаются только те члены, для

которых m′ = −m; kz′ = −kz . Тогда

∂ψm,k 2

−

+ kz

(3.5.6)

= const∫rdr∑

∂r

ψm,k .

m,k

Введем

величину

ζ = rH1er

= ψk ,m

+ kz

r . Подставляя это

выражение в (3.5.6), получаем

dζ

ζ22

= const∑∫

dr .

(3.5.7)

m,k

Таким образом, функции ξr и ζ являются решениями уравнений Эйлера:

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.20222.39 Mб4Михеев Теоретические основы специалности Елементная база автоматических систем Лабораторный практикум 2012.pdf
#
12.11.20223.86 Mб6Мишулина Основы теории вероятностей 2011.pdf
#
12.11.20221.45 Mб7Мкртчян Учебное пособие по русскому языку как иностранному для спетсиалности 2015.pdf
#
12.11.2022966.07 Кб4Молошная Електромагнитная совместимост.pdf
#
12.11.20221.82 Mб30Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011.pdf
#
12.11.20221.9 Mб13Морозов Введение в теорию горячей плазмы Част2 2013.pdf
#
12.11.20223.45 Mб6Морозов Скхемные решения и принтсипы работы пассивныкх систем 2015 (1).pdf
#
12.11.20223.45 Mб8Морозов Скхемные решения и принтсипы работы пассивныкх систем 2015.pdf
#
12.11.202212.8 Mб2Муравев Инженерная олимпиада школников 2016.pdf
#
12.11.20225.66 Mб10Назаметдинов Анализ данных 2012.pdf
#
12.11.2022982.63 Кб6Наумов Современные проблемы философии науки 2011.pdf