Морозов Введение в теорию горячей плазмы Част2 2013

Уравнение (2.1.31) должно быть дополнено граничными условиями.

Рассмотрим два варианта: на границе плазмы с идеально проводящей стенкой и на границе с вакуумом.

На границе со стенкой смещение плазмы в направлении, пер-

Здесь n – единичный вектор, нормальный к поверхности.

В идеально проводящей плазме составляющая электрического

Проинтегрировав (2.1.34) по времени, окончательно получаем граничное условие на бесконечно проводящей неподвижной стенке:

На неподвижной границе «плазма–вакуум» магнитное поле перпендикулярно границе (в противном случае плазма будет вытекать

Величины в вакууме и в плазме будем обозначать соответственно индексами «e» (external) и «i» (internal). Равенство полных дав-

21

Все величины надо вычислять на смещённой границе r = r0 +(ξ,n0 ) , где индексом «0» обозначены радиус-вектор невоз-

мущенной границы и нормаль к ней. Разлагая в ряд по ξ, с учётом (2.1.30), получаем в первом приближении

−γPi0( ,ξ)+ 41π(H0i ,H1i ) = 41π(H0e ,H1e )+ (ξ8,nπ0) ∂∂n (H02e − H02i ). (2.1.38)

Вэтом уравнении все значения берутся на невозмущённой границе «плазма–вакуум».

Вплазме в системе отсчёта, движущейся вместе с граничной

поверхностью, электрическое поле E* = E + 1c [V,H0 ] обращается в

Так как оба слагаемых в левой части формулы первого порядка

В вакууме электрическое поле выражается через векторный по-

Интегрируя это равенство по времени и учитывая, что магнит-

На границе вакуум-стенка смещение обращается в ноль, поэтому [A,n]= 0.

2.2. Энергетический принцип

Уравнение (2.1.31) можно записать следующим образом:

22

Здесь Kˆ – дифференциальный оператор. Можно показать, что

∫dV (η, Kˆξ)= ∫dV (ξ, Kˆη), то можно написать функционал Φ, ва-

риация которого дает исходное уравнение.

В фурье-представлении двукратное дифференцирование по времени заменяется на умножение на квадрат частоты ω. Если мнимая часть частоты оказывается больше нуля, то система неустойчива. Анализ устойчивости может быть существенно упрощён. Для такого уравнения можно построить вариационный принцип. Подставляя в этот принцип вместо точного решения уравнения приближённую пробную функцию, качественно описывающую характер решения, можно с хорошей точностью получить собственные значения ω, то есть исследовать устойчивость системы.

Домножим уравнение (2.2.1) на ξ скалярно и проинтегрируем

по объёму и по времени по частям от −∞ до t и по пространству, полагая ξ(−∞) = 0.

Это равенство справедливо при произвольном t. Поэтому можно считать, что

Первый член в этом выражении можно интерпретировать как

W = 12 ∫(ξ,Kˆξ)d3r , – как потенциальную.

Если W > 0 при всех возможных смещениях от положения равновесия, то система устойчива. В случае уравнения (2.1.31) потенциальная энергия имеет вид

23

W = − 12∫d3r(ξ,{ ( P0,ξ)+ (γP0 ( ,ξ))+

Преобразуем первый интеграл в фигурных скобках. Интегрирование ведется по объёму, занятому плазмой, так как вне его давление равно нулю. Обозначим

В первом члене интегрирование ведётся по поверхности, ограничивающей плазму. Рассмотрим теперь последний член в интеграле (2.2.4). Обозначим

В первом интеграле интегрирование снова ведется по границе плазмы. Раскрывая двойное векторное произведение и учитывая, что поверхность плазмы параллельна магнитному полю, получаем выражение для потенциальной энергии

24

Поверхностный интеграл

Величину Q надо вычислять на подходе к границе плазмы со

стороны плазмы. Эту величину можно определить, подставляя уравнение (2.1.13) в (2.1.16) и интегрируя последнее по времени:

Скалярное произведение (dS,ξ)можно выразить через модуль

элемента поверхности и нормальную к поверхности составляющую смещения, dSξn . Тогда

Последний член обращается в ноль, так как магнитное поле на границе плазмы перпендикулярно поверхности плазмы. Снова перейдем к интегрированию по объёму, но теперь будем вести интегрирование по вакуумной области. При этом знак нормали к поверхности плазмы имеет другой знак:

25

Учитывая, что в вакууме rotH =4cπj=0, раскроем двойное векторное произведение и подставим H1 =rotA1 . При этом получаем

Пользоваться энергетическим признаком удобно в тех случаях, когда нужно получить общие сведения об устойчивости плазменной конфигурации. Он, в частности, позволяет приближенно быстро найти область неустойчивости, что при нахождении её методом малых колебаний требует значительного времени.

ГЛАВА 3. УСТОЙЧИВОСТЬ ИДЕАЛЬНОЙ ПЛАЗМЫ В СИСТЕМАХ С ЗАМКНУТЫМИ МАГНИТНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ

В этой главе мы рассмотрим конкретные неустойчивости, характерные для плазменных конфигураций в термоядерных установках.

3.1. Желобковая неустойчивость

Одной из наиболее опасных оказывается так называемая желобковая (flute-like в зарубежной литературе) неустойчивость. Её ещё называют перестановочной или конвективной неустойчивостью. Эта неустойчивость весьма опасна, так как практически не возмущает магнитного поля.

Рассмотрим эту неустойчивость в пробкотроне.

26

а также вариацию магнитного поля δH . В установках типа токамак или стелларатор параметр β=8HπP2 , равный отношению плазменно-

го давления к магнитному, мал, и возмущение магнитного поля можно считать практически вакуумным, то есть для него можно положить rotH = 0. Вычислим циркуляцию вектора Н по замкнутому контуру 1а–1б–2б–2а–1а, показанному на рис. 6. Будем считать контур узким, то есть интегралами на участках 1б–2б и 2а–1а можно пренебречь. Длина участка 1а–1б равна dl, магнитное поле на этом участке равно H. Длина участка 2а–2б равна dl+δdl, а ма г- нитное поле, соответственно, равно H +δH . Таким образом, из условия обращения в ноль циркуляции магнитного поля получаем

Если потенциальная энергия при отклонении от равновесия растёт, то система устойчива. Потенциальная энергия плазмы в трубке – это сумма энергий всех частиц в этой трубке. Вероятность пребывания частицы на отрезке силовой линии dl равна отношению времени пребывания на этом отрезке к времени пребывания между пробками

Подставляя (3.1.4) в (3.1.3) и учитывая, что µ=mv2 , получаем

2H

Вероятность пребывания частицы на отрезке dl равна отношению времени пребывания на нём к п ериоду обращения между пробками:

||

Пусть в интервале dεdµ на данной силовой линии содержится

dεdµF(ε,µ) частиц. Тогда полное приращение энергии в трубке сечением dS имеет вид

30