Леонтева Сборник лабораторныкх работ по физике Молекулярная физика 2015

•установите трубку 4 в бутыль Мариотта 1 (см. рис. 1.14), рас- положив её строго вертикально;

•начните отсчёт времени колебаний, когда цилиндр оказыва- ется в нижнем положении.

•измерьте время 4–5 колебаний цилиндра, найдите период его колебаний, а затем и показатель адиабаты.

3. Опыт повторяют 5–6 раз, записывая результаты в табл. 1.4.

4. По результатам опытов найдите среднее значение γ и погреш- ность.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какой процесс называется адиабатическим?

2.Что называется теплоёмкостью тела?

3.Почему у одного и того же тела могут быть разные теплоёмкости?

4.Какая из теплоёмкостей СP или CV больше и почему?

5.Как связаны СP и CV в идеальном газе? Выведите соотношение между СP и CV для идеального газа.

6.Что называется числом степеней свободы молекулы? Как это число

связано с γ? Зная γ из опыта, рассчитайте число степеней свободы моле- кулы воздуха. Обоснуйте полученный результат.

7.Обоснуйте предположение о том, что колебания алюминиевого ци- линдра в трубке приводят к адиабатическому процессу в воздухе, содер- жащемся в бутыли и трубке.

8.Роль поршня в вашем опыте может выполнять воздух, находящий- ся в трубке. Оцените частоту колебаний воздуха, приняв длину трубки равной 60 см.

Задание 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СР/СV ВОЗДУХА ПО СКОРОСТИ ЗВУКА

Приборы и принадлежности: звуковой генератор ГЗ-112, мик-

рофон, динамик, раздвижная труба.

Описание метода измерений и установки

Распространение звуковой волны в газе происходит адиабатиче- ски. Сжатия и разрежения в газе сменяют друг друга настолько

31

быстро, что теплообмен между слоями газа, имеющими разные температуры, не успевает произойти. Такие процессы описываются уравнением Пуассона:

PV γ = const, γ = CP .

CV

Скорость распространения звуковой волны в газах зависит от показателя адиабаты γ. На измерении скорости звука основан один из наиболее точных методов определения показателя адиабаты.

Скорость звука в газах определяется формулой

c = γ RT ,

µ

где R – газовая постоянная, Т – температура газа, a µ – его моляр- ная масса. Из этой формулы получим выражение для γ, которым и надлежит пользоваться в данной работе:

γ = µ c2 .

RT

Таким образом, для определения показателя адиабаты достаточ- но измерить температуру газа и скорость распространения звука в нём.

Определение скорости звука в данной работе производится на основании измерения частот звука, соответствующих стоячим вол- нам в закрытой с обоих концов трубе. Звуковая волна, распростра- няющаяся вдоль трубы, испытывает многократные отражения от её торцов. Звуковые колебания в трубе являются наложением всех от- ражённых волн и, вообще говоря, очень сложны. Картина упроща- ется, если длина трубы L равна целому числу полуволн, т. е. когда

L = nλ/2,

где n – любое целое число∙ λ – длина волны. Если это условие вы- полнено, то волна, отражённая от торца трубы, вернувшаяся к её началу и вновь отражённая, совпадает по фазе с падающей.

Совпадающие по фазе волны усиливают друг друга. Амплитуда звуковых колебаний при этом резко возрастает – наступает резо- нанс.

При звуковых колебаниях слои газа, прилегающие к торцам трубки, не испытывают смещения (узел смещения). Узлы смеще-

32

ния повторяются по всей длине трубки через λ/2. Между узлами находятся максимумы смещения (пучности).

Скорость звука с связана с его частотой f и длиной волны λ со- отношением:

c = λf.

Рассмотрим эксперимент, в котором частота f звуковой волны остаётся неизменной, но изменяется длина трубы L. Для этого при- меняется установка, общий вид которой показан на рис. 1.16.

Рис. 1.16

Основная часть установки – труба 4 с поршнем 5 на линейке 6, схематический вид которой изображён на рис. 1.17. Левый торец трубы закрыт стенкой 3. Через малые отверстия в стенке объем воздуха в трубе связан с двумя одинаковыми динамиками 1 и 2, один из которых (любой) служит источником звуковых колебаний, а второй – приёмником (микрофоном). Координата поршня опре- деляется по линейке с помощью риски 7.

Начало координат значения не имеет. Разность координат поло- жений поршня, соответствующих соседним максимумам сигнала, равна половине длины волны звука. В крайнем левом положении поршень упирается в торец трубы, и по линейке определяется ко- ордината торца.

В установку встроен микрофонный усилитель, питание которого осуществляется от сигнала генератора. Индикатор выходного напряжения усилителя и ручка регулировки усиления расположены на корпусе установки. К гнёздам «М» и «Д» подключают генератор с помощью кабеля. Напряжение генератора устанавливают в пре- делах 8–10 В. Передвигая поршень, определяют точку резонанса по свечению индикатора. Уменьшают свечение индикатора регулято- ром, затем уточняют положение резонанса.

Порядок проведения работы

1.Подготовьте табл. 1.5.

2.Подключите один из динамиков к выходу генератора низкой частоты ГЗ–112.

3.Исходя из примерного значения скорости звука (330 м/с) рас- считайте, в каком диапазоне частот следует вести измерения, чтобы при удлинении трубы можно было наблюдать 2–5 резонансов.

4.Установите на генераторе наименьшую из найденных частот.

5.Перемещая поршень, определите его положения, соответ- ствующие максимумам сигнала с динамика-приёмника. Эти поло- жения следуют с шагом в половину длины волны.

6.Все результаты занесите в табл. 1.5.

7.Определите по результатам ваших измерений скорость звука

ввоздухе.

8.Увеличьте частоту в 1,5–2 раза и вновь определите скорость звука, как это описано в пп. 3–5.

9.Определите погрешность измерения скорости звука.

10.По формуле γ = µ c2 . найдите показатель адиабаты γ и по-

RT

грешность его определения.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что называется теплоёмкостью тела?

2.Почему у одного и того же тела могут быть разные теплоёмкости?

3.Какая из теплоёмкостей СP или CV больше и почему?

4.Как связаны СP и CV в идеальном газе? Выведите соотношение между СP и CV для идеального газа.

5.Что называется числом степеней свободы молекулы? Как это число

связано с γ? Зная γ из опыта, рассчитайте число степеней свободы моле- кулы воздуха. Обоснуйте полученный результат.

6.Какой процесс называется адиабатическим?

7.Почему распространение звука в воздухе считают адиабатическим процессом?

35

36

Поскольку расстояние x можно записать в виде x = υx τ,

где υx – средняя скорость частиц, попавших в ячейку на расстояние

х от середины доски, τ – среднее время движения частиц по доске, то, обозначая:

A = P0 τ,

получим для Р:

− υx2

P = Ae υx2 υx ,

то есть распределение Максвелла.

Итак, изучая рассеяние частиц по доске Гальтона, мы, тем са- мым, изучаем распределение этих частиц по скоростям, которое имеет вид распределения Максвелла. Величина скорости υx зави-

сит от размеров частиц и диаметра гвоздей, а также от количества гвоздей, приходящихся на единицу площади доски. Это соотноше- ние получено в приложении 1, здесь укажем лишь, что установка имеет две сменные доски, для которых величины скоростей υx от-

личаются вдвое. В приложении показано, что υx тем больше, чем больше расстояние между гвоздями R:

υx ~ R.

Так как распределение Максвелла можно записать также в виде

− mυx2

P = Ae 2kT υx ,

то в данной установке «температура» потока частиц определяется

расстоянием между гвоздями:

T ~ R2.

Поскольку цель работы состоит в проверке закона Гаусса, то для удобства проверки следует несколько преобразовать это соотноше- ние, для чего прологарифмируем его:

Поскольку х можно записать как

x = i x,

где i – номер соответствующей ячейки (нумерация идёт от середи- ны доски), то закон Гаусса примет вид

Таким образом, если закон Гаусса в нашем эксперименте спра- ведлив, то зависимость lnPi от i2 носит линейный характер (рис. 1.19). Кроме того, k – угловой коэффициент наклона графика к оси

Поэтому для двух разных досок отношение σ1/σ2 равно корню квадратному из отношения соответствующих коэффициентов наклона:

Отношение же «температур» потоков:

T1 = υ1x = k2 .

T2 υ2 x k1

Порядок выполнения работы

1.Подготовьте табл. 1.6.

2.Укрепите в установке одну из двух сменных досок, и осто- рожно насыпьте через воронку силикагель.

38

3. Линейкой измерьте высоты уровней зёрен уi в ячейках. Ре- зультаты запишите в табл. 1.6. Ячейки нумеруйте от середины дос- ки так: номерам ячеек, находящимся правее середины доски при- писывайте знак плюс, симметричным им ячейкам, находящимся левее середины, приписывайте тот же номер, но со знаком минус.

4. Вычислите величины P = y−i + yi и их логарифмы lnPi, эти

i

2

результаты запишите в табл. 1.6.

5.Проверьте выполнение закона Гаусса. Для этого постройте график, по горизонтальной оси которого отложены значения i2, а по вертикальной lnPi. Экспериментальные точки должны лежать вбли- зи прямой. Проведите прямую так, чтобы точки располагались рав- номерно по обе стороны прямой и лежали максимально близко к ней.

6.Повторите для второй доски операции, указанные в пп. 1–4.

7.Убедитесь, что средние скорости для двух досок υx различа-

ются вдвое. Для этого из графиков зависимости lnPi от i2 найдите угловые коэффициенты наклона k1 и k2 и с их помощью отношение

двум.

39

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что описывает распределение Максвелла?

2.Какова вероятность того, что молекула имеет в точности заданную скорость?

3.В чем различие графиков распределения Максвелла по модулю скорости молекул и по проекциям скорости?

4.Найдите вероятность того, что υx – проекция скорости молекулы на

ось OX находится в пределах (υвер, υвер + 0,1 υвер). Каким будет результат, если вместо проекции скорости рассмотреть модуль скорости? С помо-

щью понятия пространства скоростей дайте объяснение причин различия полученных вами результатов.

5.Как изменится график функции распределения Максвелла, если увеличить температуру? Если увеличить массу молекул?

6.С помощью функции распределения Максвелла дайте графическую интерпретацию утверждениям:

•вероятность молекуле иметь какую-либо скорость в заданном ин- тервале;

•вероятность молекуле иметь скорость больше некоторой заданной;

•вероятность молекуле иметь заданную скорость.

7. Как изменится функция распределения молекул тела по скоростям, если оно движется с постоянной скоростью u?

Приложение к работе 23

Связь параметров распределения Максвелла с геометрией доски Гальтона

Для вывода соотношения связывающего среднюю скорость движения частиц в горизонтальном направлении υх и средним рас- стоянием между гвоздями заметим, что частицы движутся под дей- ствием силы тяжести. Это означает, что кинетическая энергия ча- стиц определяется работой силы тяжести над частицами на рассто- янии средней длины свободного пробега этих частиц λ:

mυ2 ~ λmg. 2

Предполагая, что рассеяние частиц на гвоздях изотропно, получаем