Леонтева Сборник лабораторныкх работ по физике Молекулярная физика 2015
.pdf
вектора скорости, направленного в одну из вершин параллелепипе- да (см. рис. 1.1). Таким образом, произведение функции распреде-
|
|
m |
3/2 |
− |
mυ 2 |
|
|
|
|
2 kT |
|
||||
|
|
|
|
||||
ления Максвелла |
f (υ) = |
|
|
e |
|
|
на число молекул есть |
|
|
|
|||||
|
|
2πkT |
|
|
|
|
|
плотность числа точек внутри параллелепипеда, изображённого на рис. 1.1.
Помимо распределения Максвелла по проекциям вектора скоро- сти υ можно найти также распределение по модулю скорости υ. При этом направлением движения частиц не интересуются.
Распределение Максвелла по модулю скорости определяется формулой:
dN (υ) = N F (υ) dυ.
Здесь F(υ) – функция распре- деления по модулю скорости. Найти эту функцию можно, если определить число молекул с за- данным значением модуля скоро- сти и произвольными направле- ниями движения. Очевидно, что в пространстве скоростей все такие молекулы (точнее, точки, им со- ответствующие) попадают внутрь сферического слоя радиуса υ и толщиной dυ (рис. 1.2). Посколь- ку объём такого слоя равен 4πυ2dυ, то легко находим
m F (υ) = 4π
2πkT
Рис. 1.2
|
3/ 2 |
mυ |
2 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
||
e |
2 kT υ |
2 |
. |
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Величина 2kT/m имеет размерность квадрата скорости:
υвер2 = 2kT .
m
Эта скорость носит название наиболее вероятной скорости мо- лекул. Такое название обусловлено тем, что при υ = υвер функция F(υ) достигает максимума, т.е. такую величину скорости (и близкие к ней значения) имеет наибольшее количество частиц газа (про- верьте это утверждение сами, найдя максимум функции F(υ)).
11
На рис. 1.3 представлен график функции распределения F(υ), а |
||||
на рис. 1.4 – график функции распределения по проекции скорости |
||||
ϕ(υi). |
|
|
|
|
|
F(υ) |
|
|
|
0,9 |
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
0,7 |
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
0,3 |
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
υ/υвер |
0,1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
Рис. 1.3 |
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
j(υ) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
0,2 |
|
υ/υвер |
|
|
0 |
|
|
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
|
|
Рис. 1.4 |
|
|
Заметим, что при любых температурах интеграл от функции |
||||
|
∞ |
|
|
|
распределения |
∫F (υ)dυ = 1 . |
Действительно, |
сумма всех dN( υ ) со |
|
|
0 |
|
|
|
всеми возможными скоростями равна полному числу молекул N, |
||||
12
откуда и следует равенство интеграла от функции распределения единице. То же самое относится и к функциям распределения по проекциям скорости: интегралы от каждой из них, взятые в беско- нечных пределах равны единице.
С помощью функции распределения Максвелла можно найти среднее значение любой физической величины q(υx, υy, υz), завися- щей от скорости
q
= ∫∫∫q(υx ,υy ,υz ) f (υx ,υy ,υz )dυx dυy dυz .
В частности, для среднего значения модуля скорости
∞ |
8kT |
|
|
||
υ = ∫υF (υ)dυ = |
, |
||||
|
|
||||
0 |
|
πm |
|||
|
|
|
|
||
и среднего квадрата скорости |
|
|
|
|
|
∞ |
|
3kT |
|
||
υ2 = ∫υ2 F (υ)dυ = |
|
. |
|||
|
|
||||
0 |
|
m |
|||
|
|
|
|
||
Здесь m – масса молекулы. |
|
|
|
|
|
Отметим ещё один важный факт. Распределение Максвелла справедливо не только в газах, но в любой системе частиц, дви-
жение которых полностью подчиняется законам классической механики. В газах, как было отмечено, поступательное движение
молекул полностью подчиняется законам классической механики (обычно говорят, что оно классично), поэтому распределение моле- кул по скоростям является максвелловским. Колебания атомов в кристаллической решётке твёрдых тел являются классичными только при достаточно высоких температурах, нередко при темпе- ратурах в сотни градусов по Цельсию. При низких же температу- рах (Т ≤ 10 – 100 К) эти колебания совершенно перестают быть классичными. Соответственно, и распределение атомов решётки по скоростям также становится немаксвелловским. Движение элек- тронов проводимости в металлах подчиняется законам квантовой механики вплоть до температур в несколько тысяч градусов, по- этому распределение электронов проводимости в металлах по ско- ростям всегда немаксвелловское.
13
Работа № 21
ПРОВЕРКА ЗАКОНОВ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
Цель работы: проверка законов Бойля–Мариотта и Шарля и определение термического коэффициента давления воздуха.
Воздух, при условиях, близких к нормальным, обладает доста- точно малой плотностью, что позволяет считать его идеальным га- зом. В частности, для воздуха при условиях, близких к нормаль- ным, справедливы законы Бойля–Мариотта и Шарля. Эти законы нетрудно проверить, используя самое простое оборудование, что и требуется сделать в данной работе.
Задание 1. ПРОВЕРКА ЗАКОНА БОЙЛЯ–МАРИОТТА
Приборы и принадлежности: медицинский шприц, манометр.
Введение
Согласно закону Бойля–Мариотта, если изменять объём газа, сохраняя его температуру неизменной (T = const), то давление газа будет изменяться обратно пропорционально объёму газа:
P = const .
V
Если изобразить эту зависимость на графике, по осям которого отложены давление и объём, измеренные в единицах P0 и V0, то графиком будет гипербола (рис. 1.5). Задачей работы будет провер- ка этого утверждения. Одна из проблем такой проверки состоит, однако, в том, что невозможно однозначно отделить гиперболу от какой-либо иной похожей на неё кривой. Единственная линия, ко- торую легко отличить от всех иных, является прямая линия. По- этому для проверки правильности закона Бойля–Мариотта надо строить не график зависимости давления Р от объёма V, а график зависимости объёма V от 1/Р. В этом случае точки графика должны лечь на прямую линию, подобно рис. 1.6.
14
|
|
Изотерма газа |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
P/P0 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
|
|
|
V/V0 |
|
|
|
|
|
Рис. 1.5 |
|
|
|
|
|
Изотерма газа |
|
|
1,45
1,4
1,35
1,3
1,25
V/V0 1,2 1,15
1,1
1,05
1
1 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
P0/P
Рис. 1.6
Метод измерения
Исследование зависимости объёма газа от его давления прово- дится с помощью установки, общий вид которой приведён на рис. 1.7. Она включает в себя медицинский шприц объёмом 10–20 см3, соединённый гибкой трубкой с манометром. При передвижении
15
поршня воздух, заключённый в цилиндре шприца и внутри мано- метра, сжимается, и по манометру определяется избыточное давле- ние сжатого воздуха.
Рис. 1.7
Процесс сжатия воздуха следует осуществлять достаточно мед- ленно, чтобы его температура оставалась неизменной. Кроме того, нельзя допускать сильного сжатия воздуха, чтобы не испортить манометр, который рассчитан на измерение сравнительно невысо- ких давлений (до 300 мм рт. ст.).
Отметим очень важный момент: поскольку внутри трубки и ма- нометра заключён некоторый конечный объём воздуха Vм, то объём воздуха равен сумме объёмов воздуха в цилиндре шприца V и внутри манометра с трубкой Vм. Поэтому при передвижении порш- ня шприца сжимается не только воздух внутри него, но и воздух внутри трубки и манометра.
V
1
P + Pa
-Vм
Рис. 1.8
Заметим также, что давление воздуха внутри шприца равно сумме атмосферного давления Ратм и избыточного давления Р, которое измеряет манометр. С учётом всего изложенного полу- чим для объёма воздуха
(Pатм + P )(V +Vм ) = const .
Разделив обе части этого со- отношения на Ратм, придём к формуле
16
V = |
const |
− Vм . |
|
|
|||
P + Pатм |
|||
|
|
Если это соотношение изобразить на графике, по осям которого отложены V и 1/(Р + Ратм), то получим прямую, как на рис. 1.8.
Порядок выполнения работы
1. Нарисуйте в тетради табл. 1.1.
Таблица 1.1
Ратм = _________ мм рт. ст., V0 = 20 см3
V, см3 |
Р, мм рт. ст. |
Р + Ратм, |
|
1 |
|
Vм, см3 |
|
|
|
|
|||||
P + Pатм |
|||||||
|
|
мм рт. ст. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
0 |
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
… |
… |
|
|
… |
|
||
2.Определите по барометру атмосферное давление Ратм и запи- шите его перед таблицей.
3.Выдвиньте поршень шприца, так чтобы свободный объём шприца составлял 20 см3. Соедините трубкой шприц с манометром.
4.Передвиньте поршень до отметки 19 см3. Запишите показа- ния Р манометра в табл. 1.1.
5.Передвигая поршень, уменьшайте объём воздуха в шприце каждый раз на 1 см3, пока не достигнете давления 300 мм рт. ст. При каждом новом положении поршня записывайте соответству- ющие показания манометра в табл. 1.1.
6.На миллиметровке постройте график ваших результатов, от-
кладывая по оси абсцисс (горизонтальной) значения |
1 |
, а по |
|
||
|
||
|
P + Pатм |
|
оси ординат (вертикальной) – значения объёма воздуха в шприце V. Подумайте, какие масштабы надо выбрать для построения графика.
7.Проверьте, ложатся ли точки вашего графика на прямую ли-
нию.
8.Определите по графику объём воздуха в манометре Vм и за- пишите его в последний столбик табл. 1.1.
17
9. Если полученный график не похож на прямую линию, то чем тогда могут объясняться эти отклонения?
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Что называется идеальным газом?
2.Сильно ли свойства идеального газа отличаются от свойств реаль- ных газов при давлениях порядка атмосферного и температурах порядка комнатных?
3.Какой процесс вы изучали?
4.При каких условиях реализуется этот процесс?
5.Что необходимо для реализации этих условий?
6.Какое давление (атмосфер) будет в цилиндре шприца, если перво- начальный объём воздуха в нём уменьшить за счёт сжатия вдвое?
7.Остаётся ли постоянной температура воздуха в шприце в вашем опыте? Как в этом можно убедиться?
Задание 2. ПРОВЕРКА ЗАКОНА ШАРЛЯ
Приборы и принадлежности: пробирка, барометр-анероид, ме- дицинский барометр, термометр, сосуд с горячей водой
Введение
Если объём некоторой массы газа остаётся неизменным, то дав- ление газа изменяется пропорционально температуре:
P = Nk T.
V
Поделив обе части этого уравнения на температуру Т, получим соотношение
P = Nk = const .
TV
Тогда для двух различных состояний газа, одно из которых с температурой T0 и давлением P0, и другое – с температурой T и давлением P, имеем (закон Шарля)
P = P0 ,
TT0
18
|
T |
|
|
|
T − T |
|
= P0 (1 + αP t ), |
|
P = P0 |
|
= P0 |
1 |
+ |
0 |
|
||
T0 |
T0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
где t = T – T0, а коэффициент αр, называемый термическим коэф- фициентом давления воздуха связан с начальной температурой Т0 соотношением αP = 1/T0.
С другой стороны, согласно предыдущему соотношению
P = P0 + αP P0 |
t, |
P − P0 = αP P0 |
t, |
P − P0 = αP t,
P0
αP = P − P0 .
P0 t
Это соотношение позволяет найти величину αp по измеренным Р, Р0, t и сравнить полученный результат с величиной 1/T0.
Обозначив разность Р–Р0 через Р, найдём, что
|
|
P |
= αP t. |
|
|
|
|
|
|
P0 |
|
|
Полученный результат можно |
||
|
представить в виде графика, по |
||
|
осям которого отложены значе- |
||
|
ния Р/Р0 и t. Этот график бу- |
||
|
дет иметь вид прямой линии, уг- |
||
|
ловой коэффициент наклона ко- |
||
Рис. 1.9 |
торой равен αР (рис. 1.9). |
||
Описание установки и методика измерений
Экспериментальное определение термического коэффициента давления воздуха проводится с помощью установки, схематически изображённой на рис. 1.10 и включающей в себя пробирку П, ме- дицинский манометр М, сосуд с водой В, термометр Т.
Сначала пробирка П открыта, и давление в ней совпадает с ат- мосферным, а начальная температура совпадает с комнатной:
19
Т0 = tкомн + 273.
Затем пробирку закрывают резиновой пробкой, в отверстие которой вставлен мано- метр М. При этом воздух в пробирке немного сжимается и его давление возрастает. Это уве- личение давления Р1 следует добавить к атмо- сферному давлению, так что за Р0 теперь необходимо принять полное давление в про- бирке:
Р0 = Ратм + Р1.
Соответственно, приращение давления Р теперь необходимо отсчитывать от этого но- вого уровня, т.е. определять Р, как разность показаний манометра и давления Р1.
Рис. 1.10 Далее пробирку помещают в сосуд В с го- рячей водой. Воздух в пробирке нагревается, и давление его возрастает. Заметим, что давление в баллончике в
этот момент
P = Pатм + Р1.
Измерения следует продолжать до тех пор, пока температура воды не достигнет значения, превышающего комнатную темпера- туру на 5–10 оС. Так, если начальная температура воды после по- гружения в неё баллончика была 68 оС, то следующие показания надо снимать при достижении температуры 63, 58, ..., 28 оС.
Порядок выполнения работы
1.Определите комнатную температуру и с помощью баромет- ра-анероида величину атмосферного давления Ратм.
2.Приготовьте табл. 1.2 для записи результатов измерений и последующей их обработки.
3.Закройте пробирку пробкой с манометром. Запишите показа- ния манометра перед табл. 1.2.
4.Опустите пробирку в сосуд и наливайте в него горячую воду до уровня пробки с манометром.
5.Подождите 1 – 2 минуты и начинайте измерения температу- ры воды и давления воздуха в пробирке.
20