Астахов Основные разделы механики 2011

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

Векторы.

Вектор — величина, определяемая направлением в пространстве и модулем (абсолютной величиной).

Вектор изображается направленным

отрезком прямой (рис. П5.1) и может B b a обозначаться двумя буквами со стрелкой A

вой со стрелкой наверху, например b, либо одной буквой, напеча-

танной полужирным шрифтом, например a.

Модуль (абсолютная величина) вектора — длина вектора в выбранном масштабе. Обозначается: |a| или а.

Векторы подразделяются на свободные (начало вектора может находиться в любой точке пространства), скользящие (начало вектора может находиться в любой точке прямой, проходящей через начало и конец данного вектора) и связанные (начало вектора находится в определённой точке пространства).

Равенство свободных векторов

Два свободных вектора равны между собой, если их направления одинаковы и модули равны. На рис. П5.1 показаны два равных вектора а и b.

Коллинеарные векторы — векторы, лежащие на параллельных прямых.

Сложение векторов

Для сложения двух векторов a и b необходимо осуществить параллельный перенос вектора а (либо b) таким образом, чтобы конец одного вектора совпал с началом другого (рис. П5.2).

Сумма двух векторов a и b — вектор

начало которого совпадает с началом вектора a, конец — с концом вектора b при условии, что начало вектора b совпадает с концом

61

Сложение нескольких векторов

Для нахождения суммы n векторов можно параллельным переносом по очереди совместить начало последующего вектора с концом предыдущего вектора.

Сумма нескольких векторов ai (i = 1,2,...,n) — вектор

примера показаны четыре вектора, сумма которых равна вектору а.

Умножение и деление вектора на скаляр

Произведением вектора a на скаляр n (действительное число)

является вектор

направление которого при положительном n (n>0) совпадает с направлением вектора а (рис. П5.4а,б), при отрицательном n (n<0) — противоположно вектору а (рис.П5.4,в,г), модуль которого

Из этого правила следует, что векторы а и −а направлены в противоположные стороны, а их модули равны (рис. П5.4,г).

При n = 0 получается нулевой вектор.

Нулевой вектор 0 — вектор, начало и конец которого совпадают.

Модуль нулевого вектора равен нулю.

Деление вектора а на скаляр n можно представить как его умножение на скаляр, равный 1/n.

начало которого совпадает с концом вектора b, а конец — с концом вектора a, при условии, что начало вектора a совпадает с началом вектора b (рис. П5.5а).

Разность векторов а и b можно представить как сумму векторов а и −b (рис. П5.5б):

63

где ax и ay — составляющие вектора a, параллельные осям Ox и Oy соответственно (см. рис. П5.9)

Любой вектор может быть представлен в виде суммы векторов, выраженных через орты:

где ax и ay — проекции вектора a на оси Ox и Oy, соответственно. Вектор а (на плоскости) может быть задан двумя числами —

либо модулем а и углом α к какой-либо оси (например, оси Ox), либо проекциями на оси аx и аy.

Они связаны между собой равенствами:

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение двух векторов a и b (обозначается a·b, (ab) или (a,b)) — скаляр

(рис. П5.10), соединенными своими началами (0 ≤ α ≤π). Скалярное произведение двух векторов может быть выражено

Свойства скалярного произведения:

1)(a,b) = (b,a) — скалярное произведение коммутативно;

2)(a,b) > 0, если угол α острый;

3)(a,b) < 0, если угол α тупой;

4)(a,b) = 0, если угол α прямой.

66

ПРИЛОЖЕНИЕ 6

Методика решения задач

Целью решения задач является усвоение и проверка теоретических знаний по различным разделам физики путем применения ее законов для решения конкретной задачи и правильного оформления этого решения.

Порядок решения задачи следующий:

1.Записать (если имеется) номер задачи.

2.Написать (по возможности кратко) данные задачи (желательно выразить их в единицах Международной системы единиц — СИ).

3.Сделать (если это возможно) рисунок (схему).

4.Написать необходимые теоретические формулы по теме за-

дачи.

5.Используя обозначения физических величин, приведенных в задаче, записать уравнения, связывающие известные величины и величины, которые требуется определить.

6.Если число неизвестных величин больше количества уравнений, то необходимо, используя условие задачи, составить такое количество дополнительных уравнений, чтобы общее число уравнений стало равным числу неизвестных величин.

7.Полученную систему уравнений решить (желательно) в общем виде, выразив искомую физическую величину в буквенных обозначениях через заданные в условии задачи величины.

8.В полученную формулу подставить числовые данные (если они имеются), константы и табличные данные (если необходимо) и определить численное значение искомой величины. После проведения расчетов округлить числа до необходимого количества значащих цифр (но не более, чем количество значащих цифр в исходных числовых данных). Для записи больших (или малых) чисел необходимо использовать степень десяти. В числах, начинающихся

сединицы, в большинстве случаев можно оставлять три цифры,

например, число 1847 записывать в виде 1,85 103, в остальных числах — оставлять две цифры, например, число 0,0478 записывать в виде 4,8 10−2, при этом, если в числе последняя цифра пять, то при

67

ее отбрасывании предыдущую цифру увеличивать на единицу. В ответе разрешается использовать приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц, которые приведены в табл. П6.1.

Таблица П6.1.

9.Проверить единицу (или размерность) искомой физической величины, используя общий вид решения. Если возможно, оценить реальность значения искомой величины.

10.Записать ответ в общем и численном (совместно с единицами физических величин) видах.

11.Попробовать найти решение задачи другим способом.

68

Определить его среднюю путевую скорость <vs> на всем пути. 1.3. Поезд первую половину времени шел со скоростью v1 в

n = 1,4 раза большей, чем вторую половину времени. Определить скорость поезда v1, если его средняя путевая скорость на всем пути

<vs> = 48 км/ч.

1.4.Поезд первую половину пути проехал со скоростью в n = 1,2 раза меньшей, чем вторую половину пути. Определить

скорость поезда на второй половине пути v2, если его средняя путевая скорость на всем пути <vs> = 40 км/ч.

1.5.Каскадер начинает бежать со скоростью v1 = 5 м/с за движущимся грузовым автомобилем. Догнав его, каскадер прыгает в его кузов, и проезжает в автомобиле вдвое большее время, чем он его догонял. Найдите среднюю путевую скорость каскадера в указанном движении, если скорость автомобиля v2 = 3,5 м/с.

1.6.Автомобиль проехал две трети времени со скоростью

v1 = 54 км/ч, остальное время — со скоростью v2 = 20 м/с. Найти среднюю путевую скорость за все время движения.

1.7.Автомобиль проехал одну четверть пути со скоростью

v1 = 18 м/с, оставшийся участок пути — со скоростью v2 = 72 км/ч. Найти среднюю путевую скорость на всем пройденном пути.

1.8 Первую четверть пути поезд двигался со скоростью v1 = 60 км/ч. С какой скоростью v2 поезд прошёл оставшуюся часть пути, если его средняя путевая скорость <vs> на всём пути оказалась меньше скорости v1 в n = 1,5 раза?

1.9. Автобус проехал половину времени со скоростью v1 = 60 км/ч, четвертую часть оставшегося времени он проехал со скоростью v2 = 50 км/ч, а последний участок — со скоростью

69

v3 = 45 км/ч. Найти среднюю путевую скорость автобуса за все время движения.

1.10. Автобус проехал половину пути со скоростью v1 = 60 км/ч, четвертую часть оставшегося пути он проехал со скоростью v2 = 50 км/ч, а последний участок — со скоростью v3 = 45 км/ч. Найти среднюю путевую скорость автобуса на всем пути.

1.13.Первый участок пути ∆S1 = 400 м автомобиль проехал за время ∆t1 = 20 с, второй участок ∆S2 = 450 м за ∆t2 = 30 с, а оставшийся участок пути ∆S3 = 900 м за ∆t3 = 30 с. Написать зависимость путевой скорости от времени vs(t) и пути от времени S(t) и построить их графики, если на всех участках автомобиль двигался равномерно.

1.14.По графику, представленному на рисунке, написать зависимость пути от времени S(t) и построить график зависимости путевой скорости от времени vs(t) материальной точки.

70