Астахов Основные разделы механики 2011

11.17.На сколько процентов отличаются скорости при запуске спутника Земли в экваториальной плоскости на запад и на восток для получения первой космической скорости?

11.18.Какова первая космическая скорость для планеты, масса

ирадиус которой в два раза больше, чем у Земли?

11.19.Какова первая космическая скорость для планеты с такой же плотностью, как у Земли, но вдвое меньшим радиусом?

11.20.Как изменится первая космическая скорость на планете, если она потеряет 1/10 своей массы при неизменной плотности и шарообразной форме?

11.21.Как изменится ускорение свободного падения на планете, если она потеряет 1/10 своей массы при неизменной плотности

ишарообразной форме?

11.22.Каково ускорение свободного падения на поверхности

Солнца, если радиус Солнца в 1 108 раз больше радиуса Земли, а плотность относится к плотности Земли как 1:4?

11.23.Найти угловую ω в и линейную v скорости орбитального движения искусственного спутника Земли, если период обращения его вокруг Земли Т = 105 мин.

11.24.Какими должны быть радиус обращения искусственного спутника Земли по круговой орбите и его линейная скорость, чтобы период обращения спутника был таким же, как у Земли? Какую траекторию будет описывать спутник при наблюдении с Земли? В какой плоскости должна находиться траектория полета спутника, чтобы наблюдателю, находящемуся на Земле, спутник казался неподвижным?

11.25.Искусственный спутник Земли запущен в плоскости земного экватора в направлении вращения Земли по круговой орбите

радиуса R = 3Rз. Через какой минимальный промежуток времени спутник проходит над одной и той же точкой на поверхности Земли?

11.26.Известно, что Луна совершает N = 13 обращений в течение года, и что расстояние от Солнца до Земли в n = 390 раз больше, чем расстояние от Луны до Земли. Считая орбиты Земли и Луны приблизительно круговыми, найдите отношение масс Солнца и Земли.

101

ГЛАВА 3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

§12. Импульс

12.1Тело бросили под углом к горизонту. Сохраняется ли импульс тела? На какую ось проекция импульса этого тела не изменяется? Сопротивлением воздуха пренебречь.

12.2Тело массой m бросили с поверхности Земли под углом α

кгоризонту со скоростью v0. Определить импульс тела р1 в верхней точке траектории.

12.3.Используя условие задачи 12.2, определить время t2, через которое импульс тела р2 будет перпендикулярен начальному импульсу тела р0.

12.4Два автомобиля с одинаковыми массами m движутся со скоростями v и 2v относительно Земли. Чему равен импульс второ-

го автомобиля р21 относительно системы отсчета, связанной с первым автомобилем?

12.5. Используя условие задачи 12.2, определить приращение импульса тела р1 за время подъема тела до максимальной высоты.

12.6 Тело массой m движется равномерно по окружности радиусом R с периодом равным Т. Определить приращение модуля

модуль приращения импульса шарика |Δр|, если направление скорости составляет с плоскостью угол α, равный: а) 90°; б) 30°.

12.8На тело массой m, движущееся со скоростью v0, начинает действовать постоянная сила. Через время τ скорость тела становиться равной –v0. Определить величину и направление силы.

12.9Пластилиновый шарик массой m свободно падает на горизонтальную плоскость с высоты H. Деформируясь при ударе о

плоскость, шарик принимает окончательную форму через время τ. Найти силу реакции плоскости Nпл, считая ее постоянной.

12.10 Стальной шарик массой m, подброшенный вертикально вверх со скоростью v0, абсолютно упруго ударяется с горизонталь-

102

ной плоскостью, расположенной на высоте h. Найти силу давления шарика на плоскость Fд, считая ее постоянной, если длительность соприкосновения шарика и плоскости равна τ.

12.11.Два шарика массой m1 и m2 движутся в горизонтальной плоскости со скоростями v1 и v2, соответственно, причем угол α между скоростями шариков равен 90°. Чему равен модуль импульса системы, состоящий из этих двух шариков?

12.12.Сразу после взрыва импульсы двух осколков снаряда p1 = 2,5i и p2 = 1,5i + 3j. Нарисовать им-

m, движущийся со скоростью v, сталкивается с неподвижным вагоном массой 2m и сцепляется с ним. С какой скоростью движутся вагоны после столкновения?

12.15. Две частицы с массами m1 и m2 движутся навстречу друг другу со скоростями v1 и v2, соответственно. Найти проекцию скорости этих частиц на ось Ох, совпадающую с направлением вектора v1, после их абсолютно неупругого соударения.

12.16 Две частицы с массами m1 и m2 = 2 m1 движутся во взаимно перпендикулярных направлениях со скоростями, модули которых v1 = 2 v2 и v2 = 15 м/с. Найти модуль скорости u этих частиц после их неупругого соударения.

12.17.Между двумя телами замкнутой системы действуют силы трения. Как меняется импульс этой системы и почему?

12.18.Снаряд, вылетевший из орудия под некоторым углом к горизонту, в верхней точке своей траектории разрывается на два осколка равной массы. Один осколок после взрыва возвращается к орудию по прежней траектории. Найти отношение модулей скоростей осколков сразу после взрыва.

103

12.19.Снаряд в верхней точке траектории на высоте h = 100 м

разорвался на две части: m1 = 1 кг и m2 = 1,5 кг. Скорость снаряда в этой точке v0 = 100 м/с. Скорость большего осколка v2 оказалась горизонтальной, совпадающей по направлению с v0 и равной 250 м/с. Определить расстояние L между точками падения обоих осколков.

12.20.На гладкой горизонтальной поверхности находится

прямоугольная призма массой M c углом α к горизонту. С высоты H начинает скользить материальная точка массой m. На какое расстояние сместится призма по горизонтали, когда точка съедет вниз призмы (указание: задачи 12.20, 12.21 решать, используя понятие центра масс системы материальных точек).

12.21.Человек массой m перемещается с носа лодки массой M на ее корму. Длина лодки L. Найти перемещение человека относительно берега?

12.22.Платформа с установленным на ней орудием движется

со скоростью v1. Из орудия выпущен снаряд массой m со скоростью u относительно поверхности Земли. Определить скорость

платформы v2 после выстрела, произведенного в горизонтальном направлении, противоположном первоначальному направлению движения платформы. Масса платформы с орудием (без снаряда) M. Трением платформы о рельсы пренебречь.

12.23.Используя условие задачи 12.22, определить скорость

платформы v2 после выстрела, произведенного в направлении движения платформы, причем скорость снаряда u дана относительно центра масс.

12.24.Используя условие задачи 12.22, определить скорость

платформы v2 после выстрела, если скорость снаряда u дана относительно платформы.

12.25.Из орудия, установленного на железнодорожной платформе, произведен выстрел в вертикальной плоскости под углом

α = 60° к направлению движения платформы. Определить скорость платформы v2 после выстрела, если скорость движения платформы до выстрела v1 = 18 км/ч, скорость снаряда относительно Земли u = 700 м/с, общая масса железнодорожной платформы с орудием и снарядом M = 25 т, масса снаряда m = 25 кг.

104

12.26.Из орудия, установленного на катере, произведен выстрел в горизонтальной плоскости под углом α = 30° к направле-

нию движения катера. Определить скорость катера v2 после выстрела, если скорость движения катера до выстрела v1 = 9 км/ч, скорость снаряда относительно катера u = 600 м/с, общая масса катера с орудием и снарядом M = 25 т, масса снаряда m = 25 кг. Силой сопротивления воды пренебречь.

11.27.Из орудия, установленного на покоящейся железнодорожной платформе, произведен выстрел вертикально вверх. Опре-

делить силу давления платформы на рельсы Fд при выстреле, считая ее постоянной. Снаряд движется по стволу орудия в течении

τ= 0,01 с. Общая масса платформы с орудием и снарядом M = 25 т, масса снаряда m = 25 кг, скорость снаряда относительно Земли u = 800 м/с.

12.28Из ракеты массой М, движущейся вертикально вверх со

скоростью v0, выбрасываются порциями продукты сгорания со скоростью u относительно ракеты. Масса одной порции m. Пренебрегая действием силы тяжести и сопротивлением воздуха, определить скорость ракеты vк после вылета четырех порций.

§13. Работа. Мощность. Энергия

13.1.Тело массой m = 1 кг свободно падает без начальной скорости с высокой башни. Определить работу силы тяжести за первую и третью секунды падения тела.

13.2.Тело массой m находится на горизонтальной плоскости. Какую работу необходимо совершить, чтобы медленно передвинуть тело на расстояние S, прикладывая силу, направленную под углом α к горизонту? Коэффициент трения между телом и плоскостью равен μ.

13.3.По наклонной плоскости поднимают груз массой m, прикладывая к нему силу F, параллельную плоскости. Максимальная высота тела на наклонной плоскости H, угол наклона плоскости к горизонту α, коэффициент трения между телом и плоскостью μ. Определите работы силы тяжести, силы F, силы трения, а также

105

работу равнодействующей силы.

13.4.В воде с глубины H = 5 м медленно поднимают до поверхности камень объемом V = 60 см3. Определите работу по подъему камня, если его плотность ρ = 2,5 г/см3.

13.5.Какую работу надо совершить, чтобы недеформирован-

ную пружину жесткостью k = 40 кН/м растянуть на L0 = 0,5 см? 13.6. Две пружины, скреплены последовательно и растянуты

так, что удлинение первой пружины L01 = 3 см. Определить работы сил упругости при растяжении пружин из недеформированного состояния, если жесткости первой и второй пружин k1 = 300 Н/м и k2 = 600 Н/м соответственно.

13.7.Однородную веревку медленно поднимают со стола так, что ее нижний конец касается поверхности стола. Масса веревки m = 0,1 кг, ее длина L = 50 см. Какую работу совершает при этом внешняя сила?

13.8.При скорости полета v = 900 км/ч четыре двигателя самолета развивают мощность N = 30 МВт. Определите силу тяги одного двигателя в этом режиме работы.

13.9.К бруску, покоящемуся на гладкой горизонтальной плоскости, приложена постоянная горизонтальная сила F. Брусок проходит путь S за время t. Определите среднюю мощность этой силы за время движения бруска. Чему равна мощность силы в конце пути?

13.10.Аэросани массой m = 2 т трогаются с места и движутся с постоянным ускорением a = 0,5 м/с2. Коэффициент трения μ = 0,1. Определите среднюю мощность двигателя аэросаней на участке пути, которому соответствует конечная скорость v = 15 м/с.

13.11.Найти мощность машины (аэродинамической трубы), создающей воздушный поток, имеющий поперечное сечение в виде круга диаметром d = 18 м и текущий со скоростью v = 12 м/с.

Плотность воздуха (при нормальных условиях) ρ = 1,3 кг/м3.

13.12.К первоначально покоящемуся телу массой m = 10 кг, находящемуся на гладкой поверхности стола, приложена горизонтальная постоянная сила F = 5 Н. Определить кинетическую энергию этого тела через время t = 2 с после начала движения.

13.13.За некоторый промежуток времени скорость тела массой

106

m = 100 г увеличивается в n = 3 раза. На сколько изменяется кинетическая энергия этого тела, если начальная скорость v0 = 1 м/с?

13.14. Небольшой шарик массой m = 100 г, подвешенный на нити длиной L = 40 см, движется с постоянной угловой скоростью в горизонтальной плоскости (конический маятник). Какова кинетическая энергия шарика, если во время его движения нить образует с вертикалью угол α = 30°?

13.15.Скорость свободно падающего тела массой m = 500 г за

некоторое время увеличилась с v1 = 2 м/с до v2 = 4 м/с. Чему равна при этом работа силы тяжести?

13.16.Пуля массой m = 10 г, летящая со скоростью v = 200 м/с, пробивает доску, потеряв при этом половину своей скорости. Определить работу силы сопротивле-

13.18.Небольшой шарик бросают с поверхности Земли верти-

кально вверх со скоростью v0 = 10 м/с. Изобразить графики зависимости кинетической и потенциальной энергии шарика от времени (до момента его падения на Землю).

13.19.Тело брошено вертикально вверх со скоростью, модуль

которой v0 = 20 м/с. Чему равна скорость тела в тот момент, когда кинетическая энергия тела в два раза больше его потенциальной энергии? Принять потенциальную энергию тела в исходной точке равной нулю.

13.20.Начальная скорость пули v0 = 660 м/с, ее масса m = 10 г. Известно, что кинетическая энергия пули в верхней точке траекто-

рии Ек = 450 Дж. Определить угол между начальной скоростью пули и горизонтом.

13.21.Парашютист массой m = 80 кг отделился от неподвижно висящего вертолета и, пролетев до раскрытия парашюта расстоя-

107

ние h = 200 м, приобрел скорость v = 50 м/с. Определить работу силы сопротивления воздуха на этом пути.

13.22. Тело массой m пускают со скоростью v0 вверх по наклонной плоскости. Поднявшись до некоторой высоты, тело спускается вниз и останавливается в точке, находящейся ниже исходной точки на расстоянии h по вертикали. Определить работу силы трения за время движения тела.

13.23. Небольшое тело начинает соскальзывать с вершины гладкой сферы радиусом R (см. рисунок). Чему равна скорость тела в момент его отрыва от сферы? Сфера закреплена на горизонтальной поверхности.

13.24. Вверх по плоскости, образующей угол α = 30° с горизонтом, со скоростью v0 = 10 м/с, толкнули шайбу. Коэффициент

трения шайбы о плоскость μ = 0,1. Определить скорость шайбы в тот момент, когда кинетическая и потенциальная энергии шайбы станут равными. Потенциальная энергия шайбы в начальной точке равна нулю.

13.25.Камень массой m = 200 г брошен с горизонтальной поверхности под углом к горизонту и упал на нее обратно на расстоянии s = 5 м через t = 1,2 с. Найти работу бросания. Сопротивлением воздуха пренебречь.

13.26.Лифт массой М = 1000 кг равноускоренно поднимался лебедкой. На некотором отрезке пути длиной L = 1 м лифт двигал-

ся со средней скоростью <v> = 5 м/с и его скорость возросла на v = 0,5 м/с. Какую работу совершила сила, перемещающая лифт на указанном отрезке его пути?

§14. Законы сохранения энергии и импульса

14.1. Мальчик, опираясь о барьер, бросает горизонтально камень массой m = 1 кг со скоростью v0 = 5 м/с. Какую скорость он может сообщить камню, если будет бросать его горизонтально, стоя на коньках на гладком льду? Масса мальчика M = 49 кг. В обоих случаях при бросании мальчик совершает одну и ту же работу.

108

14.2. Два бруска массами m1 = 1 кг и m2 = 2 кг, находящиеся на гладкой горизонтальной поверхности, соединены сжатой пружиной. Определить максимальные скорости брусков после освобождения пружины. Жесткость пружины k = 200 Н/м, ее начальная деформация L = 2 см.

14.3.Два шарика равной массы движутся навстречу друг другу по горизонтальной поверхности. Скорость одного из шариков в n = 3 раза больше скорости другого. Во сколько раз изменится механическая энергия шариков после их центрального абсолютно неупругого столкновения?

14.4.В брусок массой M, лежащий на горизонтальной поверхности. попадает пуля массой m и застревает в нем. Скорость пули

направлена горизонтально и равна v0. Какой путь пройдет брусок до остановки, если коэффициент трения между ним и поверхностью равен μ?

14.5.На нити длиной L = 2 м висит небольшой ящик с песком массой M = 2 кг. Пуля, летящая горизонтально, попадает в ящик и застревает в нем. При этом максимальный угол отклонения нити

от вертикали равен α = 30°. Определить скорость пули, если ее масса m = 10 г. Размеры ящика много меньше длины нити.

14.7.Два одинаковы по размерам шара массой m1 и m2, имеющие проекции скорости v1x и v2x, испытывают центральное абсолютно упругое соударение. Определить конечные проекции скорости шаров.

14.8.Шар массой m налетает на такой же по размерам покоя-

щийся шар массой 2m. Определить модули и направления скорости

109

шаров после центрального абсолютно упругого удара шаров, если скорость первого шара до удара равна v.

14.9.Найти отношение масс соударяющихся шаров, один из которых до столкновения покоился, если после центрального абсолютно упругого удара шары разлетелись в противоположные стороны с равными скоростями.

14.10.Шар массой m1 = 1 кг, движущийся со скоростью v1 , абсолютно упруго сталкивается с шаром массой m2 = 4 кг, движущимся со скоростью v2 в том же направлении. При каком отношении скоростей n = v1/v2 оба шара после столкновения будут двигаться в прежнем направлении?

14.11.Мяч, летящий горизонтально со скоростью v1 = 10 м/с, отбрасывается ударом ракетки в противоположную сторону со ско-

ростью v2 = 20 м/с. Определить модуль изменения импульса мяча, если изменение его кинетической энергии Eк = 10 Дж.

14.12.На передний край платформы массой М, движущейся горизонтально без трения со скоростью v, опускают с небольшой высоты короткий брусок массой т. При какой минимальной длине платформы L брусок не упадет с нее, если коэффициент трения между бруском и платформой k. Какое количество теплоты Q выделится при этом?

14.13.Пуля массой m1 =10 г, летевшая горизонтально со скоростью v1 = 600 м/с, ударилась в свободно подвешенный на длинной нити деревянный брусок массой m2 = 0,5 кг и застряла в нем, углубившись на s1 = 10 см. Найти силу F сопротивления дерева движению пули. На какую глубину s2 войдет пуля, если тот же брусок закрепить?

14.14.Хоккейная шайба, имея начальную скорость v0 = 5 м/с, скользит до удара о борт площадки s1 = 10 м. Удар считать абсолютно упругим, коэффициент трения шайбы о лед μ = 0,1, сопро-

тивлением воздуха пренебречь. Определить, какой путь s2 пройдет шайба после удара.

14.15.Человек стоит на неподвижной тележке и бросает го-

ризонтально камень массой m = 8 кг со скоростью v1 = 5 м/с относительно тележки. Определить, какую при этом человек совершает

110