Астахов Основные разделы механики 2011

1.15.По графику, представленному на рисунке, написать зависимость пути от времени S(t) и построить ее график. Графически определить среднюю путевую скорость материальной точки на всем пути.

1.16.По условиям задачи 1.5 постройте график зависимости

путевой скорости от времени vs(t) и пути от времени S(t), если все время движения каскадера tдв = 90 с.

1.17.По условиям задачи 1.6, постройте график зависимости

путевой скорости от времени vs(t) и пути от времени S(t), если весь путь автомобиля S = 360 км.

1.18.Путь S1 = 240 км между городами автомобиль поехал со скоростью v1 = 60 км/ч. Обратно он возвращался со скоростью v2 = 80 км/ч. Написать зависимости путевой скорости от времени vs(t) и пути от времени S(t) и построить их графики.

1.19.По условиям задачи 1.13 определить во сколько n раз

средняя путевая скорость автомобиля за все время движения tдв больше его средней путевой скорости <vS1> за время t1 = 0,75 tдв.

1.20.По условиям задачи 1.18 определить среднюю путевую

скорость автомобиля <vS1> на пути, составляющим n-ю часть всего пути (n равно первым 3/4).

§2. Векторы

2.1. Начертить следующие векторы (см. рисунок): а) h1 = a + b ,

б) k1 = a − b , в) w1 = a + c , г) n1 = b − c , д) p1 = d + e , е) v1 = e −f .

2.2. Начертить следующие векторы: а) h2 =1,5a , б) k2 = −0,5b,

в) w2 = 23 d , г) n2 = −0,2(d −c), д) p2 = (f − e) , е) v2 = 1,5e + 2a .

2.3.Найти проекции векторов a, b, c, d, e, f на оси Ox и Оу.

2.4.Записать векторы a, b, c, d, e, f через орты.

2.5.Записать векторы, построенные в задаче 2.1, через орты.

2.6.Определить углы αi (i = a, b, c, d, e, f) между векторами a, b, c, d, e, f и осью Ox.

2.7.Определить углы βi (i = h2, k2, w2, n2, p2, v2) между векторами, построенных в задаче 2.2, и осью Oу.

2.8.Записать радиус-векторы через орты.

2.9. Записать перемещение r через орты.

2.10.Определить скалярное произведение векторов: h3 = (аb), k3 = (bc), w3 = (сd), n3 = (de), p3 = (ef), v3 = (fа).

2.11.Определить угол γ между радиус-векторами rн и rк.

2.12.Определить угол δ между радиус-вектором rн и перемещением r.

§3. Равномерное прямолинейное движение

3.1.Материальная точка движется вдоль оси Ох, причем про-

екции скорости этой точки vx = 5 см/с. Какова при этом зависимость от времени координаты этой точки, если при t = 0 x0 = –8 см? Построить график зависимости координаты от времени х(t).

3.2.Материальная точка движется в плоскости хОy. Зависимо-

сти координат этой точки от времени имеют следующий вид: x = 10 – 3t, y = 5 + 4t (в задачах 3.2, 3.3, 3.5 координаты x и y даны в метрах, а время t – в секундах). Каковы при этом проекции скорости на оси Ох и Оy? Чему равен модуль скорости этой точки?

3.3.Движение материальной точки на плоскости описывается уравнениями: x = 2 + 1 t, y = 1 + 2t. Запишите уравнение траектории у(х) этой точки. Изобразите траекторию на плоскости хОy.

3.4.Два тела движутся вдоль оси Oх. Зависимости координат

этих тел от времени имеют вид: х1 = 2 – 3t и х2 = – 4 + 2t, где координата x дана в сантиметрах, а время t – в секундах. Чему равно расстояние d между телами в момент времени t1 = 3 с?

72

3.5. Два тела движутся в плоскости хОу так, что их координаты меняются со временем по законам: x1 = 2t, y1 = 5t, x2 = 1 +1 t, y2 = 4 +1 t. Изобразите траектории этих тел. В какой момент времени встретятся эти тела? Каковы координаты точки встречи?

3.6. По графику, представленному на рисунке, написать зависимость координаты от времени х(t) и построить график зависимости проекции скорости от времени vх(t) материальной точки.

3.7. По графику, представленному на рисунке, написать зависимость координаты от времени х(t) и построить ее график, если хн = −4 м. Графически определить среднюю путевую скорость материальной точки за все время движения.

3.8.Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно L = 500 м, навстречу друг другу начали двигаться два тела: первое

(из п.А) со скоростью v1 = 15 м/с, второе со скоростью v2 = 10 м/с, причем второе тело начало двигаться раньше первого на время

τ= 4 с. Определить, используя зависимости координаты от времени х(t) этих тел, через какое время после начала движения второго тела они встретятся. Решить задачу также графически.

3.9.По условиям задачи 3.8 определить, через какое время

после начала движения первого тела встретились бы тела, если бы второе тело двигалось в том же направлении, что и первое. Решить задачу также графически.

3.10. Расстояние между двумя телами, движущимися равномерно навстречу друг другу, уменьшается на L1 = 16 м за

73

каждые t1 = 10 c. Если эти тела с такими же скоростями будут двигаться в одном направлении, то расстояние между ними будет увеличиваться на L2 = 3 м за каждые t2 = 5c. Найти скорости тел.

3.11.Моторная лодка проходит расстояние между двумя пунк-

тами А и В по течению реки за время t1 = 3 ч, а плот — за время t2 = 12 ч. Сколько времени t3 затратит моторная лодка на обратный путь?

3.12.Между двумя пунктами, расположенными на реке на расстоянии S = 100 км один от другого, курсирует катер, который, идя

по течению, проходит это расстояние за время t1 = 4 ч, а против течения — за время t2 = 10 ч. Определить скорость u течения реки и скорость v катера относительно воды.

3.13.Два катера, шедшие навстречу друг другу, встретились у моста и разошлись. Повернув через время τ = 1 ч, они встретились вновь на расстоянии L = 4 км от моста. Определить скорость течения реки u, полагая, что модули скоростей катеров относительно воды одинаковы и постоянны.

3.14.Вагон шириной d = 2,4 м, движущийся со скоростью v = 15 м/с, был пробит пулей, летевшей перпендикулярно движению вагона. Смещение отверстий в стенках вагона относительно друг друга равно L = 6 см. Какова скорость движения пули u?

3.15.На тележке, движущейся прямолинейно по горизонтальной дороге со скоростью vт = 10 м/с, установлена труба. Под каким

углом к горизонту α следует наклонить трубу, чтобы капли воды, падающие вертикально со скоростью vк = 17,3 м/с, пролетали через трубу не задевая стенок?

3.16. Корабль выходит из пункта А и идет со скоростью v, составляющей угол α с линией АВ (см.

3.17. На лодке переплывают реку, отправляясь из пункта А (см. рисунок). Скорость лодки в стоячей воде vл = 5 м/с, скорость

74

течения реки u = 3 м/с, ширина реки d = 200 м. В точке С лодка при-

3.19. Лодка, движущаяся с постоянной скоростью, пересекает реку под некоторым углом к направле-

нию течения. При этом лодка держит курс в направлении, которое составляет угол α = 30° со скоростью лодки относительно берега. Какова скорость лодки относительно берега v1, если скорость течения реки u = 1 м/с, а скорость лодки относительно воды v0 = 1,5 м/с? Сделать чертеж.

3.20. Человек, двигаясь перпендикулярно к вертикальной стене со скоростью v = 0,5 м/с, держит в руке лазерную указку, наклонив ее на угол α = 30° к горизонту. С какой скоростью u перемещается светящаяся точка по стене?

§4. Равнопеременное прямолинейное движение

4.1.Материальная точка движется вдоль оси Ох. Зависимость координаты этой точки от времени имеет вид: x = 8 – 3t + t2, где x

—в метрах, а t — в секундах. Какова при этом зависимость от времени проекции скорости этой точки на ось Ох?

4.2Зависимость координаты некоторого тела от времени имеет вид: х = 4t –2t2, где x — в метрах, а t — в секундах. В какой момент времени t1 проекция скорости этого тела равна нулю?

4.3Материальная точка движется вдоль оси Оx. Зависимость

от времени проекции скорости этой точки на ось Ох имеет вид: vx = 5 + 4t, где t — в секундах. Какова при этом зависимость от времени координаты этой материальной точки, если при tн = 0 ее координа-

та x0 = –8 м?

75

график зависимости от времени проекции ускорения тела, движущегося вдоль оси Ox. В момент времени tн = 0 координата тела x0 = 4 м, проекция скорости v0х = 3 м/с. Определить проекцию скорости, координату и путь тела при t1 = 3c.

4.6. Тело движется по оси Ox из начала координат. График зависимости проекции ускорения от времени представлен на рисунке. Начертить графики зависимости проекции и модуля скоро-

сти, координаты и пути от времени, если v0х = −3 м/с.

4.7.Материальная точка движется по оси Ox. График зависимости проекции скорости от времени приведен на рисунке. В на-

чальный момент времени tн = 0 координата м.т. xн = 0. Определите координату м.т. в момент времени t1 = 6 с.

4.8.Тело движется по оси Ox. График зависимости проекции

скорости тела от времени изображен на рисунке. Начертить графики зависимости проекции ускорения и координаты тела, а также

76

пройденного им пути от времени. Начальная координата хн = 2 м.

мени. После момента времени t1 = 3 с кривая графика — парабола. Построить график vх(t).

4.11. На рисунке даны графики vx(t) двух материальных точек,

77

движущихся по одной прямой от одного и того же начального положения. В какой момент времени t3 м.т. встретятся?

4.12.Одной из характеристик автомобиля является время t1 его разгона с места до скорости v1 = 100 км/ч. Сколько времени t2 потребуется автомобилю, имеющему время разгона t1 = 3 с, для разгона до скорости v2 = 20 м/с при равноускоренном движении?

4.13.По наклонной гладкой доске толкнули снизу вверх бру-

сок со скоростью v0 = 3 м/с. На расстоянии L от начала пути брусок побывал дважды: через t1 = 1 с и через t2 = 3 с после начала движения. Определить расстояние L и ускорение бруска а, считая его постоянным.

оно двигалось с постоянным ускорением a = 2 м/с2? Расстояние между т.А и т.В L = 250 м. Определить также среднюю путевую скорость, среднюю скорость и скорость тела в точке В.

4.15.Материальная точка движется по оси Ох с ускорением, модуль которого а = 4 м/с2, причем в течение первой половины времени движения проекция ускорения положительна, а в течение

второй — отрицательна. Определить максимальную скорость vм и время движения tдв материальной точки, если путь S = 400 м, а начальная скорость v0 = 0. Построить график vх(t).

4.16.Тело движется из состояния покоя с постоянным ускоре-

нием. При t1 = 20 с модуль ускорения скачком увеличивается в два раза, а его направление меняется на противоположное. Через какое

время tдв после начала движения координата тела будет равна начальной?

4.17.От движущегося автопоезда отцепился прицеп, после чего автопоезд продолжал двигаться с постоянной скоростью, скач-

ком увеличившейся на 10 %. Чему равно отношение путей, пройденных автопоездом и прицепом к моменту уменьшения скорости прицепа в 3 раза, если прицеп двигался равнозамедленно.

4.18. Тело движется по прямой со скоростью v0 = 0,5 м/с. Затем, двигаясь с постоянным ускорением и пройдя некоторый путь S,

78

оно приобретает скорость v1 = 5v0. Двигаясь далее с другим постянным ускорением, тело, пройдя в два раза больший путь, пробрело скорость v2 = 3v0. Чему равна средняя путевая скорость тела на пути, равном 3S?

4.19.Определить отношение путей S1, S2, и S3, пройденных телом при равноускоренном движении за первую, вторую и третью секунды. Начальная скорость тела равна нулю.

4.20.Тело, двигаясь равноускоренно и имея начальную ско-

рость v0 = 2 м/с, прошло за пятую секунду путь S1 = 6,5 м. Определите путь S2, который пройдет это тело за первые десять секунд своего движения.

4.21.Тело, двигаясь равноускоренно из состояния покоя, проходит за четвёртую секунду от начала движения S = 7,0 м. Какой скорости v1 оно достигнет при t1 = 10 c?

4.22.Самолет затрачивает на разбег время tР = 20 с. Рассчитайте длину разбега самолета L и скорость v2 в момент отрыва от земли, если на половине длины разбега он имел скорость v1 = 30 м/с.

4.23.За время t1 = 2 с прямолинейного равноускоренного движения тело прошло путь S1 = 20 м, увеличив свою скорость в n = 3 раза. Определите конечную скорость тела vк.

4.24.При какой максимальной посадочной скорости самолёты

могут приземляться на посадочной полосе аэродрома длинной

L = 800 м при торможении с постоянным ускорением, модуль которого a = 3 м/с2?

4.25.Мотоциклист и велосипедист одновременно начинают равноускоренное движение. Ускорение мотоциклиста в n = 3 раза больше, чем у велосипедиста. Во сколько раз скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста: а) в один и тот же момент времени; б) в тот момент, когда они проехали одинаковый путь?

4.26.Начальная скорость движущегося с постоянным ускоре-

нием тела равна v0 = 10 м/с. Пройдя путь S = 100 м, тело увеличило свою скорость в n1 = 3 раза. Через какое время t1 после начала движения скорость тела увеличится в n2 = 5 раз?

§5. Свободное падение по вертикали

5.1. Тело падает с высоты H = 15 м без начальной скорости. Во

79

сколько раз время прохождения второго метра больше времени прохождения десятого метра?

5.2.Тело падает с некоторой высоты без начальной скорости. Во сколько раз путь, пройденный за первые три секунды, больше пути, пройденного за третью секунду?

5.3.В последнюю секунду своего падения тело прошло половину своего пути. С какой высоты h и какое время tп падало тело?

5.4.С какой начальной скоростью v0 надо бросить вертикально

вниз тело с высоты h = 20 м, чтобы оно упало на t1 = 1 с быстрее тела, свободно падающего с той же высоты?

5.5.Тело бросают вертикально вверх c поверхности земли. На-

блюдатель замечает промежуток времени t1 = 4 c между двумя моментами, когда тело проходит точку А, находящуюся на высоте h = 25 м. Найти начальную скорость v0 и время движения тела tдв.

5.6.Тело бросают с поверхности земли вертикально вверх. Во сколько раз небходимо изменить начальную скорость тела, чтобы втрое увеличить время движения тела?

5.7.Тело бросают с поверхности земли вертикально вверх. Во сколько раз небходимо изменить начальную скорость тела, чтобы вдвое увеличить максимальную высоту подъема тела?

5.8.При падении тела по вертикали при t1 = 4 с его скорость v1 = 60 м/с. Определить увеличение модуля его скорости за вторую

секунду падения v2. Чему равна скорость тела v3 при t3 = 3 с?

5.9.Камень бросают с поверхности земли вертикально вверх

со скоростью v0 = 20 м/с. Каким будет расстояние между камнем и поверхностью земли через время t1 = 3 с после броска?

5.10.Шарик свободно падает на землю с высоты H = 16 м. Определите среднюю путевую скорость шарика на третьей четверти пути. Начальная скорость шарика равна нулю.

5.11.Два камня находятся на одной вертикали на расстоянии L = 10 м друг от друга. Верхний камень бросают вертикально вниз

со скоростью v0 = 20 м/с, а нижний в тот же момент времени отпускают. Через какой промежуток времени камни столкнутся?

5.12.Воздушный шар поднимается с поверхности Земли вертикально вверх с ускорением а = 2 м/с2. На высоте H = 100 м из него выпал предмет. Через сколько времени t1 после начала подъема

80