Астахов Основные разделы механики 2011

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

v = vн + a t,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2022

Размер:

1.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

На рис. 2.8,в показана скорость vji — скорость j-й м.т. относительно i-й м.т.:

vji = vj − vi.	(2.23)
Относительные скорости материальных точек направлены в
противоположные стороны, а их модули равны:
vij = −vji.	(2.24)

§3. Ускорение

Среднее ускорение <a> — ВФВ, равная отношению приращения скорости v к промежутку времени t, за который это прира-

щение произошло:	v .
a =	v .	(3.1)
	t
Ускорение (мгновенное) a — ВФВ, равная пределу отношения
приращения скорости v к промежутку времени		t, за который это

приращение произошло, при бесконечном уменьшении промежутка времени:

a = lim	v .	(3.2)
t→0	t

Единица ускорения — метр на секунду в квадрате: [ a ] = м/с2 . Ускорение a может быть разложено на взаимно перпендикулярные тангенциальное aτ и нормальное an ускорения (показаны на

рис. 3.1,а и 3.1,б):

		a = aτ + an.				(3.3)
О	aτ	v	aτ	О		v
	α	τ			α	τ
					α
Траектория	a	a				Траектория
an	a	a			an
a)	n		б)	n
		Рис. 3.1
		11

Тангенциальное ускорение aτ характеризует изменение модуля

скорости. Оно направлено по касательной к траектории:

aτ = aττед,

(3.4)

где aτ — проекция ускорения на ось Оτ, совпадающую по направлению со скоростью v (см. рис. 3.1):

aτ	= lim	v	;	(3.5)
	t→0	t

где v — приращение модуля скорости материальной точки; τед — единичный вектор, направленный по оси Оτ:

τед	=	v	.	(3.6)

		v

Проекция ускорения на ось Оτ может быть больше нуля (рис. 3.1a), меньше нуля (рис. 3.1б) или равна нулю (например, при равномерном движении м.т. по окружности — см. §7).

Модуль тангенциального ускорения равен модулю проекции ускорения на ось Оτ:

	aτ		=		aτ		.	(3.7)

Нормальное ускорение an характеризует изменение скорости по направлению. Оно направлено перпендикулярно скорости м.т. к

центру кривизны траектории:

an = annед,

(3.8)

an — проекция ускорения на ось Оn, направленной к центру кривизны траектории (см. рис. 3.1):

an =	v2	,	(3.9)
	R

где R — радиус кривизны траектории в данной точке, nед — единичный вектор, направленный по оси Оn.

Проекция ускорения на ось Оn всегда положительна и равна модулю нормального ускорения:

an =		an		.	(3.10)

Для определения центра и радиуса кривизны траектории в т.М

(рис. 3.2)	на траектории берутся две		M
близкие к т.М точки М1 и М2 и через эти		M1
три точки	проводится окружность. Цен-		M
			2

	тром этой окружности (т. С) является точ-
	ка пересечения перпендикуляров к сере-
	динам отрезков ММ1 и ММ2. При сбли-	C
	жении точек М1 и М2 с точкой М, точка С	C
	жении точек М1 и М2 с точкой М, точка С
	будет стремиться к некоторому предель-	Рис. 3.2
	ному положению — точке С0 (на рис.3.2	Рис. 3.2
	ному положению — точке С0 (на рис.3.2
	не показана).

Точка С0 называется центром кривизны траектории в т.М, а предельное значение радиуса окружности — радиусом кривизны траектории в т.М.

Модуль ускорения материальной точки
a = aτ2 + an2 ,	(3.11)

угол между ускорением и скоростью (см. рис.3.1)


α = arctg	an	.	(3.12)

aτ

Угол между скоростью и ускорением материальной точки может изменяться от нуля до 180°(0 ≤ α ≤ 180°).

Ускорения в различных системах отсчета связаны соотноше-

нием:

aтк = aтк′ + aк′к,

(3.13)

где aтк — ускорение материальной точки относительно системы отсче-

та К (рис. 3.3), aтк′ — ускорение материальной точки относительно системы отсчета К′, aк′к — уско-

рение системы отсчета К′ относительно системы отсчета К.

y	y′		a тк	aк′к
	y′		a тк	aк′к
K aк′к	K′	0′	rтк′	aтк′
	rк′к	rтк		x′
				x′

0				x

Рис. 3.3

§4. Равнопеременное движение

Равнопеременное движение — движение, при котором за лю-

бые равные промежутки времени ( ti = const) приращения скорости материальной точки одинаковы ( vi = const).

При равнопеременном движении:

ускорение

a = <a> = const,	(4.1)
зависимость скорости от времени
v = vн + a t,	(4.2)
зависимость радиус-вектора от времени

r = r	+ v		t +	a(	t)2	.	(4.3)
		н

н					2
					2

Равнопеременное прямолинейное движение равноперемен-

ное движение, при котором приращения скорости коллинеарны скорости материальной точки.

При равнопеременном прямолинейном движении ускорение является тангенциальным, а нормальное ускорение равно нулю:

a = aτ, an = 0.

(4.4)

Согласно равенствам (4.1), (4.2) и (4.3) проекции ускорения (при движении материальной точки в одной плоскости) на оси Ох и Оу

ax	= const,	(4.5)
ay	= const;

зависимости проекций скорости от времени

vx = vнx	+ ax	t,	(4.6)
vy = vнy	+ ay	t;

зависимости координат от времени

ax (

t)2

x = xн + vнx t +

(4.7)

ay (

y = yн + vнy t +

;

траектория м.т. прямая линия,

при этом направления ускорения и

скорости м.т. либо совпадают, либо

прямо противоположны.

а)

Графики зависимостей ax(t), vx(t),

О A

x(t) представлены на рис. 4.1 а, б, в.

1) если ax(t) = 0, то vx(t) = const,

x(t) является линейной функцией

(участки АВ на графиках этих зави-

симостей на рис. 4.7, а, б, в);

2) если ax(t) = const, то vx(t) —

б)

линейная функция, x(t) — квадра-

тичная функция (на участках BD и

-v1

DF графики x(t) — параболы);

3) если в каких-либо точках vx(t) = 0, то на графике x(t) в этих точках будет либо максимум, либо минимум функции — т.С и т.Е на рис. 4.7, б, в;

4) если на графике vx(t) нет раз-		B	C	F
4) если на графике vx(t) нет раз-		B	C
рывов (т.В, т.D), то в соответст-	в) О		D	t
рывов (т.В, т.D), то в соответст-	в) О	x	E	t
вующих точках на графике x(t) на-	xн A	x
блюдается плавный переход одной	xн A
кривой в другую (касательные к
этим кривым в точке перехода сов-			Рис. 4.7
падают).

Равноускоренное прямолинейное движение — равнопеременное прямолинейное движение, при котором модуль скорости увеличива-

ется( v > 0).

Направления скорости и ускорения м.т. в начальный и последующие моменты времени совпадают (рис. 4.1).

	м.т.	vн	м.т.	vк
0	xн	a	xк a		x
			Рис. 4.1	vк>vн
			Рис. 4.1

При равноускоренном прямолинейном движении:

модуль скорости

(4.8)

(4.9)

v
vк
vн	S
О		tк	t
	Рис. 4.2
		S
		Sк
	vaн	О
		vн2 tк	t
		2a
	Рис. 4.3

График зависимости модуля скорости от времени (при tн = 0)

v = vн + at,

(4.10)

представлен на рис. 4.2.

Путь S за время t в системе координат vОt при равноускоренном движении равен площади (выраженной в единицах пути) трапеции, ограниченной графиком зависимости v(t), осью времени от начального до конечного моментов времени и от-

резками прямых t = tн и t = tк. График квадратичной зависимо-

сти пути от времени (Sн = 0 и tн = 0)

S = vнt +	at2	(4.11)
	2

представлен на рис.4.3 (на координатной плоскости SOt пунктиром показано положение вершины параболы, частью которой является график зависимости пути от времени).

При равноускоренном прямолинейном движении:

модуль конечной скорости

vк = vн2 + 2aS,			(4.12)
среднее значение модуля скорости
v =	vн + vк	.	(4.13)

2

Равнозамедленное прямолинейное движение — прямолинейное равнопеременное движение, при котором модуль скорости уменьшается ( v < 0).

Направления скорости и ускорения м.т. в начальный и последующие моменты времени противоположны (рис. 4.4), а само дви-

жение существует в промежутке времени: tн ≤ t ≤ t н +						vн	.
жение существует в промежутке времени: tн ≤ t ≤ t н +							.
						a
		a м.т.	vн	a м.т.	vк
	О	xн		xк				x
				Рис. 4.4	vк< vн
				Рис. 4.4

При равнозамедленном прямолинейном движении:

модуль скорости

(4.14)

(4.15)

Графики зависимости модуля скорости от времени (при tн = 0)

v(t) = vн – at		(4.16)
и квадратичной зависимости пути от времени (при Sн = 0)
S = vнt −	at2	(4.17)
	2

представлены на рис. 4.5 и рис. 4.6 соответственно.

Путь S за промежуток времени t в системе координат vОt равен площади (выраженной в единицах пути) трапеции (рис. 4.5), образованной графиком v(t), осью времени от начального до конечного моментов времени и отрезками прямых t = tн и t = tк.

v				S
v				S
vн				vн2
				2a
	S
			t	О	tк	vн
О	tк	vн
О	tк	vн
	Рис. 4.5	a				a
	Рис. 4.5				Рис. 4.6

При равнозамедленном прямолинейном движении:

модуль конечной скорости

vк	= vн2 − 2aS (при S ≤	vн2	),
		2a

(4.18)

среднее значение модуля скорости находится по формуле (4.13).

§5. Свободное падение по вертикали

Свободное падение материальной точки у поверхности Земли

— равнопеременное движение, происходящее при малых высотах h (h << Rз — радиуса Земли) и небольших скоростях (практически без сопротивления воздуха).

Ускорение свободного падения постоянно (g = const), направ-

лено вертикально вниз и не зависит от массы материальной точки. Модуль ускорения свободного падения g = 9,81 м/с2.

Движение материальной точки у поверхности Земли по вер-

тикали является равнопеременным прямолинейным движением в системе отсчёта, связанной с поверхностью Земли, в случаях, когда м.т. бросают вертикально вверх (рис. 5.1,а) или вниз (рис. 5.1,б) с некоторой начальной скоростью (возможно, с некоторой высоты),

либо когда м.т. падает вниз без начальной скорости (рис. 5.1,в) с

некоторой высоты.

При вертикальном движении:

скорость

v = vн + g

(5.1)

в)

радиус-вектор

( t)2

v01

б)

v02

r = rн

+ vн t +

. (5.2)

Уравнениям (5.1) и (5.2) экви-

валентны

следующие

системы

Рис. 5.1

уравнений (tн = 0):

= 0,

x = const,

(5.3)

(5.4)

vy = vнy + g y t;

y = yн + vнy t +

gy t

Согласно этим уравнениям, проекция скорости материальных точек на ось Oy в системе отсчёта, показанной на рис. 5.1, равна:

1-ой	v1y = v01 – gt ,
2-ой	v2y = – v02 – gt ,
3-ей	v3y = –gt;

y-координата материальных точек равна:

1-ой	y	= h		+ v		t −		gt2			,
1-ой	y	= h	1	+ v	01	t −					,
	1		1		01			2
								2
2-ой	y2	= h2 − v02 t −							gt2			,
2-ой	y2	= h2 − v02 t −						2				,
								2
3-ей		y3 = h3			−		gt2
										.
						2				.
						2

(5.5)

(5.6)

(5.7)

(5.8)

(5.9)

(5.10)

	Решая, например, уравнение (5.8) относительно времени t,
можно определить моменты времени, при которых м.т. находится
на высоте h (например, когда h больше начальной высоты h1), а за-
тем определить проекцию и модуль скорости на этой высоте при
движении м.т. вверх или вниз, используя уравнение (5.5).
	§6. Движение под углом к горизонту
y				Движение материальной точки,
			брошенной вверх или вниз (возмож-
H			но, с некоторой высоты) с начальной
H	vo		скоростью, направленной под неко-
			торым углом α0 (0°< α0 < 90°) к го-
	αo		ризонтальной оси Ох (рис. 6.1), яв-
	αo		ляется			равнопеременным				криволи-
О		L x	ляется			равнопеременным				криволи-
О	0,5L	L x	нейным движением в системе отсчё-
	Рис. 6.1		та, связанной с поверхностью Земли.
скорость				При таком движении:
скорость
		v = vн + g t;								(6.1)
радиус-вектор							g(	t)2
		r = r	+ v		t +		g(	t)2		(6.2)
		r = r	+ v	н	t +				;	(6.2)
		н		н				2
проекции скорости								2
проекции скорости
		vx	= vнx		+ gx			t,		(6.3)
		vy = vнy + gy						t;		(6.4)
координаты								(	t)2
		x = xн + vнx			t +		gx	(	t)2	(6.5)
		x = xн + vнx			t +			2	,	(6.5)
								2
		y = yн + vнy			t +		gy	(	t)2	(6.6)
		y = yн + vнy			t +			2	.	(6.6)
								2
	При определении проекций скорости и ускорения на оси коор-

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.20222.38 Mб2Арбатская Системы управления базами 2014.pdf
#
12.11.20229.24 Mб6Астапов Мюонная диагностика магнитосферы и атмосферы земли 2014.pdf
#
12.11.2022803.3 Кб21Астахов Електричество конспект лекций 2011.pdf
#
12.11.20221.25 Mб19Астахов Механика. Конспект лекций 2011.pdf
#
12.11.2022783.65 Кб31Астахов Молекулярная физика и термодинамика 2011.pdf
#
12.11.20221.3 Mб27Астахов Основные разделы механики 2011.pdf
#
12.11.2022297.36 Кб17Астахов Сборник задач по физике для 11 класса 2011.pdf
#
12.11.20221.2 Mб100Астахов Физика. Конспект лекций и задач для 8 класса 2011.pdf
#
12.11.2022297.36 Кб18Астахов, М.М. Сборник задач по физике.pdf
#
12.11.20221.19 Mб6Афанасев Измерение отложений ядерных материалов 2014.pdf
#
12.11.20221.29 Mб2Бабалова Алгоритмизация задач и структурирование программ 2013.pdf